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第三章 函数
第10讲 一次函数的图像与性质
（思维导图+3考点+3命题点16种题型（含2种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的基础
考点二 一次函数的图像与性质
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一次函数的图像与性质
题型01 一次函数的定义
题型02 判断一次函数的图像
题型03 正比例函数的性质
题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
题型06 求一次函数解析式
题型07 一次函数与坐标轴交点问题
题型08 与一次函数有关的规律探究问题
题型09 与一次函数有关的新定义问题
题型10 以开放性试题的形式考查一次函数
命题点二 一次函数与方程，不等式
题型01 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型02 探究一次函数与方程、不等式的关系
命题点三 一次函数与几何综合
题型01 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定
题型02 与一次函数有关的图形变化问题
题型03 与一次函数有关的动点问题
题型04 一次函数与三角形、四边形、圆综合
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
一次函数的图像与性质 ★★ 理解正比例函数； 能画一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k>0和k＜0时图像的变化情况.
一次函数的增减性 ★★
一次函数的图像变换 ★★
一次函数的解析式的确定 ★★ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
一次函数与方程（组）结合 ★★ 体会一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与不等式（组）结合 ★★
【考情分析】一次函数是初中三大函数之一，一次函数的图像是一条直线，直线的位置和倾斜角度由一次函数解析式中的系数确定，可以利用“待定系数法”确定函数解析式，因为两点确定一条直线，所以已知两点的坐标即可求出一次函数解析式，一次函数的图像和性质是中考必考内容。 【命题预测】一次函数的图像与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图像与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图像的性质、图像与方程不等式的关系以及一次函数图像与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图像和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 【备考建议】在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等.针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用.
002知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
3．（2020·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，
∴，且，
解得，且，
∴，
故选：A．
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，

设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∵过点和，
∴，
解得，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
考点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴，
∴选项A符合题意．
故选：A．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
3．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键．
【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
4．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数中，，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
5．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小．
【详解】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，
又，
的值随的增大而减小．
故答案为：减小．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
3．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点，
∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
5．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一次函数的图像与性质
题型01 一次函数的定义
1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，符合题意；
B、不是一次函数，不符合题意；
C、不是一次函数，不符合题意；
D、不是一次函数，不符合题意．
故选：A
2（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限；
故选C．
3．（2020·江苏泰州·中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果；
【详解】把代入函数解析式得：，
化简得到：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
4．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查的是一次函数的性质，解一元一次方程，先根据点在函数的图象上，即可得出，然后解一元一次方程即可得出m的值．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：0．
题型02 判断一次函数的图像
1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D．
【详解】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小，
所以，故选项A、B错误，不符合题意；
如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（），
则，，
∵，即
∴，
又∵，
∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意．
故选：D
3．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键．
根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∴一次函数的图象在第一、二，四象限．
故选：B．
4．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．
联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案．
【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；
而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；
选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；
故选：．
题型03 正比例函数的性质
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求得解析式是解题的关键．
设正比例函数表达式为，将点代入正比例函数表达式为，得出，则，再将点代入，即可求解．
【详解】解：设正比例函数表达式为，将点代入，
解得，则，
将点代入，
得，解得．
故选：B．
2．（2024·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
D．无论x如何变化，y不变
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比函数的图象和性质，根据正比例函数的图象和性质即可求解．
【详解】∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴
∴y随x的增大而减小．
故选：A．
3．（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
根据题意列表表示出所有可能得情况，然后根据正比例函数的图象经过第一、三象限则，据此求解即可．
【详解】解：列表如下：
0 6
0
0
0 0 0 0
6 0
共有12种等可能结果，其中满足的有2种，
则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是．
故答案为：．
4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，先求出该正比例函数解析式，再逐个判断即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意；
故选：D．
题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
1．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数的图象经过点，
∴，则，
∴，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．
2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数的图象经过第二象限，可以得到，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二象限，
∴，
解得，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
3．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图像的平移、一次函数的性质，根据函数图像平移规则“左加右减”得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入求的m值，根据一次函数性质求解即可．
【详解】解：根据题意，将一次函数的图像向右平移2个单位长度后的函数解析式为，
∵平移后的函数图像经过原点，
∴，则，
∴一次函数的图像经过第一、三、四，不经过第二象限，
故选：B．
4．（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，求不等式组的解集，根据一次函数的性质列出关于a的不等式组是解答本题的关键．由直线经过点得，由直线不经过第一象限得，得出，进而可求出的最大值．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
∵直线不经过第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在正比例函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意可得，得到，进而得到，，再根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小，
∴，
∴，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
2．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　）

A．该函数的最大值为6 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【详解】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法正确，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法正确，故本选项不合题意；
C．设时，，则，
解得，
，
当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项符合题意；
D．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：C
题型06 求一次函数解析式
1）【解答题】可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知两点的坐标代入解析式，得，求解关于k，b的方程组，就可以求出解析式.简称：一设二代三求解.
2）【选择、填空题】根据两点坐标快速求k
将已知两点的坐标代入解析式，得，将两式相减，得，可化为，进而求出b，就可以求出解析式.
3）【选择、填空题】根据两点坐标快速求b
一次函数图像与y轴交点的纵坐标即为b值.
1．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．

【答案】50
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为，
当时，，
故答案为：50．
【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键．
2．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可．
【详解】解：设与的函数关系式为，
由题意，得，
解得：，
故与之间的关系式为：，
当时，．
故答案为：．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：
x … 0 1 2
y … 4 1 …
小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．
【详解】解：设该一次函数的解析式为（），
将，代入得，，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
当时，；
当时，；
当时，．
故选：B．
4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；
(2)连接，求点到线段的距离．
【答案】(1)，，
(2)点到线段的距离为
【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【详解】（1）点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
（2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
题型07 一次函数与坐标轴交点问题
1．（2024·江苏扬州·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．设直线交轴于，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得．
【详解】解：设直线交轴于，如图：
在中，令得，令得，
，；
，，
，
将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线与轴的交点坐标为；
故选：B．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴交点问题，先得出直线与轴交于点，，根据轴对称的性质得出直线过点，，待定系数法的求得解析式，进而即可求解．
【详解】∵直线、关于轴对称，直线与轴交于点，
∴直线过点，
设直线的解析式为，
∴将点，代入中得，
解得，
∴，
令，解得，
∴与轴的交点坐标为．
故选：C．
3．（2024·天津·三模）已知直线向下平移5个单位后经过点，平移后的直线与x 轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数的图象上点的坐标特征，求一次函数与x轴的交点坐标，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
直接根据“上加下减”的原则得到平移后的直线的解析式（用k表示），再把点代入求出k值，从而得出平移后的直线解析式，然后把代入所得的解析式解答即可．
【详解】解：直线向下平移5个单位后，得
，
把点代入，得
解得：
∴
令，则
解得：，
∴平移后的直线与x 轴的交点坐标为．
4（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 ．
【答案】或/或
【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：当x=2时，y≥1，
即，解得：，
当x=-2时，y≥3，
即，解得：，
∴的取值范围是或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
题型08 与一次函数有关的规律探究问题
1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可．
【详解】 轴，点的坐标为，
，则点的纵坐标为3，代入，
得：，则点的坐标为．
，，
，
由旋转可知，，，，
，，
，
．
设点的坐标为，
则，
解得或（舍去），则，
点的坐标为．
故选C．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．写出一部分点的坐标，探索得到规律，，，，(是正整数)，，即可求解．
【详解】解：依题意，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
依次得： ，，，，
由此发现规律：，，，，(是正整数)，
，
∴，即：，
故选：D．
3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决．
【详解】解：作轴于点H，
均在直线上，
，
，
，，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，
，
即点的横坐标是，
故答案为：．
4．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别将，…代入解析式，求得与的坐标，的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：把代入；中，
得到，，
∴，
∴，
同理，把代入，中，
得到，，
∴，
∴，
…
代入；中
得到，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
5．（20-21八年级下·浙江台州·阶段练习）在轴正半轴上有个连续的整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作轴的垂线与三条直线，，相交，其中，则图中阴影部分的面积总和是 ．
【答案】
【分析】分别把，，，...，代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可．
【详解】解：把分别代入，，得，
，，
∴，
同理，，， ，，...，
， ， ，，...，
∴图中阴影部分的面积是：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和三角形的面积公式，会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用面积公式求解是关键．
题型09 与一次函数有关的新定义问题
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
2．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m，
∴点B的坐标为，
∵点A的坐标为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当取得最小值时，应满足的条件是，
故选：C
3．（2024·河南商丘·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”．下列函数图象上不存在“倍值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新概念，函数图象上点的坐标特征，解方程等知识，理解新概念“倍值点”是关键．根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足，即为；把此点坐标分别代入四个选项中的函数式中，若方程无解则函数图象上不存在“倍值点”，即可求解．
【详解】解：根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足．
把点代入，得，此方程无解；
把点代入，得，解得或；
把点代入，得，解得或；
把点代入，得，等式恒成立，可为任意值，
故选A．
4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
【答案】0或4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解．
【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：，
代入得：，
整理得：，
由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，．
故答案为：0或4．
题型10 以开放性试题的形式考查一次函数
1．（2023·山东·中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，
∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵随着的增大而减小，
∴一次函数的比例系数，
又∵函数图象与轴正半轴相交，
∴，
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键．
【详解】解：∵的值随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴的值可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
命题点二 一次函数与方程，不等式
题型01 求两直线与坐标轴围成的图形面积
类型一 一直线与坐标轴围成的面积
解题大招：一直线与坐标轴围成的面积为
类型二 两直线与一坐标轴围成的面积
图示：
解题方法：
1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
2）求直线和x轴或y轴的交点;
3）如图一，若求与x轴围成的图形面积(即△ABD的面积)，则以在x轴上的线段AB为底，高即为D点到x轴的距离，然后利用面积公式求出面积;
4）如图二，若求与y轴围成的图形面积(即△CDE的面积)，则以在y轴上的线段CE为底，高即为D点到y轴的距离，然后利用面积公式求出面积.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，，
∴．
故答案为：9．
2．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质得到A，B，C的坐标，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
∴,，
∵一次函数与正比例函数的图象交于点，
∴ 可得，
∴的面积为，的面积为，
∴与的面积比为，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线的解析式为：，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线，
联立两直线方程：，
解得：，
∴
∵，，
∴，，
根据题意有：，
即，
，
解得：,
故答案为：．
4．（2023·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】
本题考查了一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积问题，关键点在于一次函数与坐标轴交点的求解．
先求出与坐标轴交点，继而得到直角三角形的底和高，然后列出含有k的绝对值方程，再求解即可．
【详解】解：当时，与x轴交点为 ，
当时，与x轴交点为，
∴，
解得：．
故答案为：或．
5．（2024·广东清远·模拟预测） 与的图象交于点M，设点M的坐标为，求边长分别为 m、n的矩形面积．
【答案】8
【分析】本题考查了两直线的交点，矩形的面积．熟练掌握两直线的交点，矩形的面积是解题的关键．
联立得，可求，则点M的坐标为，即，进而可求矩形的面积．
【详解】解：联立得，
解得，
∴点M的坐标为，即，
∴，
∴边长分别为 m、n的矩形面积为8．
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合．
（1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）先求出，再根据图象即可求解；
（3）设，根据或即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴将点代入得，
∴；
∵的长为4，
∴，
设直线的解析式为，
将点和代入得：
，
解得：，
故直线的解析式为；
（2）解：令，得，
，
；
（3）解：根据题意得：，
设，
令，得，
，
如图：
，
解得：，
或，
解得：，
故或．
题型02 探究一次函数与方程、不等式的关系
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
3．（2022·湖北荆门·中考真题）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）．
(1)当a＝时，解此不等式组；
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
【答案】(1)﹣2＜x＜4
(2)0＜a≤1
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组可得 2a 1＜x＜2a＋3，然后令b1＝ 2a 1，b2＝2a＋3，画出函数图象并求出临界情况下a的值，然后结合题意得出a的取值范围．
【详解】（1）解：当a＝时，不等式组化为：，
解得： 2＜x＜4；
（2）解不等式组得： 2a 1＜x＜2a＋3，
令b1＝ 2a 1，b2＝2a＋3，
函数图象如图所示，
当a＝0时，b1＝3，b2＝－1，此时为有1个奇数解和3个奇数解的临界情况，
当a＝1时，b1＝－3，b2＝5，此时为有3个奇数解和5个奇数解的临界情况，
∵ 2a 1＜x＜2a＋3，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，利用一次函数图象求不等式解集，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
4．（2020·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解
解这个方程组，得
交点的坐标为
直线与轴的交点的坐标为
直线与轴交点的坐标为
的面积为
在图象中把直线在直线上方的部分
描黑加粗，图示如下:
此时自变量的取值范围为
【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
命题点三 一次函数与几何综合
题型01 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定
1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线，
故选：D．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
3．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
题型02 与一次函数有关的图形变化问题
1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
【详解】解：∵点是函数图象上的点，
∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、
∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为．
故选A．
【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为．
2．（2021·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与关于直线对称，若直线的表达式为，则直线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解与轴的交点坐标，再求解关于的对称点的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图， ，
令 令
作关于直线对称的点
直线与关于直线对称，即上图中的直线与直线关于直线对称，
所以直线与y轴的交点坐标为：
故选：
【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．
3．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于点E，
中，令，则，令，解得，
，，
，，
绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
四边形是正方形．
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将四个点的一个坐标代入中可解答．
【详解】解：∵点，点，

∴轴，，
由旋转得：，
如图，过点B作轴于C，
∴，
∴，
∴），
设直线的解析式为：，
则，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点不在直线上，
当时，，
∴在直线上，
当时，
∴不在直线上，
当时，，
∴不在直线上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
题型03 与一次函数有关的动点问题
1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得．
【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图：
∴，，
∴，此时周长最小，
由得，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵C、D关于AB对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，可得直线DG解析式为，
在中，令得，
∴，
由，得，
∴，
∴的坐标为，的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．
2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
【答案】
【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当 时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．

(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得；
（2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故．
【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时，
当时，，P与B重合，
∴，，
∴的长为4，的面积为，
故答案为：4，；
（2）∵A在直线上，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴；
当时，设交于E，如图：

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：

设直线解析式为，把，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当时，；当时，；
(2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或
【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，
连接，

由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；

（2）函数图象如图：

当时，y随t的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
题型04 一次函数与三角形、四边形、圆综合
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
2．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，
【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识．
（1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线；
（2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可；
（3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F．
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
即直线是点A，B的一条等距线；
（2）如图，直线就是所有的直线，
（3）设直线的解析式为，
，
∴解得：
∴直线的解析式为．
，
两点到直线的距离相等，
∴或过中点，
如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为；
②当直线过中点时，
，
∴中点E的坐标为，
∴设直线的函数解析式为，
代入，得，解得：，
∴直线的函数解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为．
综上所述，满足条件的点P的坐标为．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）解：过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，等腰三角形的个数是8个，，， ，
【分析】（1）解方程得到，的长，从而得到点B的坐标；
（2）由，，得．由，是中点，得到点M的坐标，代入直线中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得．过点C作于H，过点N作于K．从而，，进而得到，易证，可得，因此，由可得，，，从而通过解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最终可得结果；
（3）分，，三大类求解，共有8种情况．
【详解】（1）解方程，得，．
，
，．
；
（2），
．
四边形是平行四边形，
，．
是中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：由（2）知：直线解析式为，，
设，，
①当时，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如图，、、、都是以5为腰的等腰三角形，
；
②当时，
由①知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如图，，都是以5为腰的等腰三角形，
；
③当时，
由①知：，，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
综上，等腰三角形的个数是8个，
符合题意的Q坐标为，， ，
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．第三章 函数
第10讲 一次函数的图像与性质
（思维导图+3考点+3命题点16种题型（含2种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的基础
考点二 一次函数的图像与性质
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一次函数的图像与性质
题型01 一次函数的定义
题型02 判断一次函数的图像
题型03 正比例函数的性质
题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
题型06 求一次函数解析式
题型07 一次函数与坐标轴交点问题
题型08 与一次函数有关的规律探究问题
题型09 与一次函数有关的新定义问题
题型10 以开放性试题的形式考查一次函数
命题点二 一次函数与方程，不等式
题型01 求两直线与坐标轴围成的图形面积
题型02 探究一次函数与方程、不等式的关系
命题点三 一次函数与几何综合
题型01 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定
题型02 与一次函数有关的图形变化问题
题型03 与一次函数有关的动点问题
题型04 一次函数与三角形、四边形、圆综合
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
一次函数的图像与性质 ★★ 理解正比例函数； 能画一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0) 探索并理解k>0和k＜0时图像的变化情况.
一次函数的增减性 ★★
一次函数的图像变换 ★★
一次函数的解析式的确定 ★★ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
一次函数与方程（组）结合 ★★ 体会一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与不等式（组）结合 ★★
【考情分析】一次函数是初中三大函数之一，一次函数的图像是一条直线，直线的位置和倾斜角度由一次函数解析式中的系数确定，可以利用“待定系数法”确定函数解析式，因为两点确定一条直线，所以已知两点的坐标即可求出一次函数解析式，一次函数的图像和性质是中考必考内容。 【命题预测】一次函数的图像与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图像与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图像的性质、图像与方程不等式的关系以及一次函数图像与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图像和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 【备考建议】在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等.针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
3．（2020·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　）
A．2 B． C． D．3
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）

A． B． C． D．
考点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
3．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
4．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
5．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
考点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一次函数的图像与性质
题型01 一次函数的定义
1．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020·江苏泰州·中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ．
题型02 判断一次函数的图像
1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
2．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西西安·三模）若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型03 正比例函数的性质
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
D．无论x如何变化，y不变
3．（2024·广东阳江·二模）先从，，0，6四个数中任取一个数记为，再从余下的三个数中任取一个数记为．若，则正比例函数的图象经过第一、三象限的概率是 ．
4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
1．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ．
题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在正比例函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
3．（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　）

A．该函数的最大值为6 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
题型06 求一次函数解析式
1）【解答题】可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知两点的坐标代入解析式，得，求解关于k，b的方程组，就可以求出解析式.简称：一设二代三求解.
2）【选择、填空题】根据两点坐标快速求k
将已知两点的坐标代入解析式，得，将两式相减，得，可化为，进而求出b，就可以求出解析式.
3）【选择、填空题】根据两点坐标快速求b
一次函数图像与y轴交点的纵坐标即为b值.
1．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．

2．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：
x … 0 1 2
y … 4 1 …
小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
(1)求、的值和一次函数的表达式；
(2)连接，求点到线段的距离．
题型07 一次函数与坐标轴交点问题
1．（2024·江苏扬州·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线关于轴对称，则直线与轴的交点坐标为( )
A． B． C． D．
3．（2024·天津·三模）已知直线向下平移5个单位后经过点，平移后的直线与x 轴的交点坐标为 ．
4（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 ．
题型08 与一次函数有关的规律探究问题
1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．
4．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．
5．（20-21八年级下·浙江台州·阶段练习）在轴正半轴上有个连续的整数点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作轴的垂线与三条直线，，相交，其中，则图中阴影部分的面积总和是 ．
题型09 与一次函数有关的新定义问题
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南商丘·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”．下列函数图象上不存在“倍值点”的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
题型10 以开放性试题的形式考查一次函数
1．（2023·山东·中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交．
4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ．
命题点二 一次函数与方程，不等式
题型01 求两直线与坐标轴围成的图形面积
类型一 一直线与坐标轴围成的面积
解题大招：一直线与坐标轴围成的面积为
类型二 两直线与一坐标轴围成的面积
图示：
解题方法：
1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
2）求直线和x轴或y轴的交点;
3）如图一，若求与x轴围成的图形面积(即△ABD的面积)，则以在x轴上的线段AB为底，高即为D点到x轴的距离，然后利用面积公式求出面积;
4）如图二，若求与y轴围成的图形面积(即△CDE的面积)，则以在y轴上的线段CE为底，高即为D点到y轴的距离，然后利用面积公式求出面积.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
2．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
4．（2023·浙江·模拟预测）一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为 ．
5．（2024·广东清远·模拟预测） 与的图象交于点M，设点M的坐标为，求边长分别为 m、n的矩形面积．
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标．
题型02 探究一次函数与方程、不等式的关系
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
3．（2022·湖北荆门·中考真题）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）．
(1)当a＝时，解此不等式组；
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
4．（2020·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
命题点三 一次函数与几何综合
题型01 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定
1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ）
A．B．C． D．
3．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型02 与一次函数有关的图形变化问题
1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与关于直线对称，若直线的表达式为，则直线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）

A． B． C． D．
题型03 与一次函数有关的动点问题
1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
3．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．

(1)的长为 ___________；的面积为 ___________；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
题型04 一次函数与三角形、四边形、圆综合
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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