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第四章 三角形
第19讲 直角三角形
（思维导图+4考点+4命题点18种题型（含5种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
考点二 勾股定理
考点三 勾股定理逆定理
考点四 勾股定理的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
题型01 由直角三角形的性质求解
题型02 根据已知条件判定直角三角形
命题点二 勾股定理
题型01 利用勾股定理求解
题型02 判断勾股数问题
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
题型05 勾股定理与网格问题
题型06 勾股定理与折叠问题
题型07 勾股定理与无理数
题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
题型09 勾股定理的证明方法
题型10 赵爽弦图
题型11 利用勾股定理构造图形解决实际问题
命题点三 勾股定理逆定理
题型01 在网格中判定直角三角形
题型02 利用勾股定理逆定理求解
命题点四 勾股定理的实际应用
题型01 用勾股定理解决实际生活问题
题型02 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
题型03 求最短路径问题
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
直角三角形 ★★★ 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
勾股定理 ★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理 ★★
【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：
性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示
几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故选：D．
2．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
4．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
中,，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
5．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．

【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
考点二 勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
变式：，，
,,.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是．
勾股定理的验证
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为，所以
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
，，化简得证
图一 图二 图三
1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）或
（2）第三边的长是或
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：（1）
或；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为．
答：第三边的长是或．
2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
【答案】/
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点的横坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）在中，，则边上的中线 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
考点三 勾股定理逆定理
1.勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形
1．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．
根据若三角形的三边（较长边）满足，，则该三角形时直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：A、，能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、，不能作为直角三角形三边，符合题意；
C、，能作为直角三角形的三边，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边，不符合题意；
故选：B ．
2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（ ）
A． B． C．7，8，9 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数的知识，理解勾股数的定义是解题关键．勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意；
D. ∵，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 度．
【答案】45
【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得：AC2=22+12=5，
BC2=22+12=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
4．（2023·吉林白城·模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在图①中，画一个边长为的线段；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是、、．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查利用勾股定理画图．
（1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为、、的三角形即可。
【详解】（1）解：如图①，线段即为边长为的线段；
（2）解：如图②，直角三角形即为所求，
三边长分别是、、．
5．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形．
考点四 勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1）从实际问题中抽象出几何图形；
2）确定与问题相关的直角三角形；
3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
2．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．

【答案】12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
3．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解．
【详解】解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点，
依题意：，
则，，
由勾股定理有，
即，
解得或（不合题意 ，舍去），
60秒后他们再次取得联系．
故选：B．
4．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．

【答案】
【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键．
【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图，
∵高为，底面周长为，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
∴，，
连接，则即为最短距离，
∵，
∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是，
故答案为：．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）在中，，则边上的中线 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
4．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是，
故选：D．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
1．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明 ，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B选项正确；
∵，，
∴ ，
∴，
∴，，故A选项正确；
∴BC为斜边上的中线，
∴，故C选项正确；
现有条件不足以证明，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．
2．（2024·福建南平·一模）如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；
（1）由圆的基本性质得 ，从而可得，即可求证；
（2）①由圆的性质得，从而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的长，由即可求解；②由旋转的性质得，，从而可求，由三角形内角和定理得，等量代换得 即可求证；
掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：①是直径，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
②折线由折线旋转得到，
，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
点C，D，F三点共线．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值；
(2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】
（1）由题意可知，将点A的坐标代入抛物线L即可得出m的值；
（2）设点D的坐标，表达的面积，并根据二次根式的性质可得出结论；
（3）由题可知，则点F是的中点，可求出的长，取的中点H，则是的中位线，则轴，由平移可得出抛物线M的解析式，联立可得点E的坐标，求出点E的坐标，即可得出轴，进而可得结论．
【详解】（1）解：，
，
在抛物线L：，
，解得：，
故答案为：；
（2）令，
解得：或，
，
令，则，
，
；
过点D作y轴的平行线于点G，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，
，
；
（3）证明：如图，连接，
，
，
，
是的中点，，
:，
在中，，
，
过点F作于点H，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
轴，
将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，
则：，
令，解得：，
，
，
轴，
，即是直角三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，含角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键．
命题点二 勾股定理
题型01 利用勾股定理求解
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，，作于G，

∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即它的内切圆半径为，
故选：D．
2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作轴，垂足为点D，
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，即，
∴，
∵轴，
∴由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故选：D．
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
故选：A．
题型02 判断勾股数问题
1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方是否等于.
1．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．
【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，为直角边，为斜边，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键．
2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
【答案】C
【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数．
(1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表．
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
【答案】(1)，当时，满足题意的最小整数
(2)，9，61
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键．
（1）根据变形式 可得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果；
（2）根据变形式得到结果，根据变形式 得即可得到c的值，根据变形成 得到a的值．
【详解】（1）解：，
把，代入中，
得，
∵n为正整数，
∴当时，满足题意的最小整数；
（2），
，，，
，，，
补全勾股数表如下：
4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：
… … …
(1)当时，______，______．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)60 61
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键．
（1）根据表格中的数据即可得到答案；
（2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案；
（3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：60，61
（2）解：由（1）可得，，
当时，
（3）解：
．
结论成立．
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
作正方形 作半圆 作等边三角形 作等腰直角三角形
图示
结论
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵，
根据勾股定理得，，
∴图①中所有正方形面积和为：，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，

∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为，
故答案为：48．
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．20
【答案】D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵矩形内接于，
∴
∴阴影部分的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键．
证，得，同理，．
【详解】解：如图所示，
在和中，
，
，
，，
，
同理可证，
．
故答案为：10．
4．（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．

【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答即可得到结论．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
；；；；；
∴
，
故答案为：7．
5．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．

【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理；根据题意得出为正方形，设，设则，根据题意，根据勾股定理建立方程，得出，进而得出，则，即可求解．
【详解】解：根据图1可得，
由图1图2两个图形可得正方形与正方形的面积和即，四边形的面积为，
根据两个图形对应，，则对应图2中可得 ，
∴四边形为矩形，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴四边形为正方形，
∵
设
∴
如图所示，
，
，，
设则
∴，
∵
∴
∴
整理得，
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：．
6．（2020·江西·中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．
【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3）
【分析】（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；
（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；
（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，由此可知，，即可计算出，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形ABCD的面积．
【详解】（1）∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴PH=AH=，
∴，，
∴，
∵，ED=2，
∴，，
∴，
∵，
∴△ABP∽△EDP，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴△ABP∽△EDP∽△CBD
∴
故最后答案为．
【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键．
题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；…按照这个规律进行下去，则的面积为 ．
【答案】．
【分析】先寻找规律求得的面积，再结合勾股定理以及三角形中线平分三角形的面积求得三角形面积是它所在矩形面积的，依此即可求得的面积．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴∠A=∠B=90°，，，，
∴，
∴,，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
同理可证， ，
依次类推，，
故 ，
在矩形中，设，则，
根据勾股定理，
即，解得，
∵，即，
同理可证，
∴
同理可证
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中线有关的面积计算，探索与表达规律，解直角三角形．解决此题的关键有两个：①寻找规律，求得；②得出三角形面积是它所在矩形面积的．需注意标序号的时候不要混淆了．
2．（2024·四川内江·二模）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理，先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为，则，即可求解．
【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴第二个正方形的边长为，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴第三个正方形的边长为，
∴，
同理可得，第四个正方形的边长为，
∴，
，
∴第n个正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图（），已知小正方形的面积为，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（））…；以此下去，则正方形的面积为 ．

【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律问题，根据勾股定理，结合正方形的面积公式，找出正方形的面积与序数的关系即可，解题的关键是找出正方形的面积与序数的关系．
【详解】由正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
正方形边长的平方为：，故正方形面积为：；
，
正方形面积为：；
∴当时，正方形的面积为，
故答案为：．
4．（2023·山东青岛·二模）【问题背景】
如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图.
【问题探究】
（1） ______ ；
（2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】
【分析】（1）根据题意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：；
（2）同理可得规律：即是第次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案；
（3）依此规律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和，
，
故答案为：；
（2）等于第次剪取后剩余三角形面积和，
第一次剪取后剩余三角形面积和为：，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：，
第十次剪取后剩余三角形面积和为：，
第次剪取后剩余三角形面积和为：，
故答案为：，；
（3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为，
故答案为：．
题型05 勾股定理与网格问题
正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.
1．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；
(2)在图②中，的面积为5
(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点；
（3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作，过点作，交于格点，

由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【答案】见解析
【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解．
【详解】解：如图所示，

如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，
如图②，，，则，则是等腰直角三角形，
如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
题型06 勾股定理与折叠问题
解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．

【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．

【答案】
【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明 ，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，
设，则，则
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴ ，
∴
在中，
即
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即．
【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，

∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折，
∴，，
∴，
则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
题型07 勾股定理与无理数
1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，设
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
故选：A
2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值．
【详解】解：由图可得，，
表示的数比表示的数小，
，
，
，
，
的值最接近的整数是，
故答案为：．
3．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴
该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想．
故选：B．
4．（2024南宁三中模拟）利用勾股定理，可以作出长为、、、的线段，如图：在中，，，，则的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、的点．

（）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）．
（）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）．
【答案】；（）作图见解析；（）作图见解析．
【分析】本题考查了勾股定理，在数轴上表示无理数，利用勾股定理正确作出直角三角形是解题的关键．利用勾股定理即可求出的长度；
（）如图，在数轴上作出直角边为的等腰直角三角形，由勾股定理得斜边长为，以原点为圆心，为半径画圆，与数轴的负半轴交于点，点表示的数即为；
（）如图，先在数轴上作出直角边为的等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边，另一条直角边为作一个直角三角形，由勾股定理可得，它的斜边为，然后以原点为圆心，为半径画圆，与数轴的正半轴交于点，点表示的数即为；
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）如图，点即为所求；
（）如图，点即为所求．
题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．
【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证；
（2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可；
（3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得．
【详解】证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，即，
∴四边形是垂美四边形；
（2）猜想，证明如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，
∴；
（3）如图，设分别交于点，交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得：，
∵是的斜边，且，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得或（不符题意，舍去），
故的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．
2．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知， 是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ， ． . ． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
(3)如图3，在四边形中，，，．求证：．
【答案】(1)有一个角是的等腰三角形是等边三角形
(2)18
(3)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理：
（1）依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，可得是等边三角形，则就是以，，为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案；
（3）连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，先证明是等边三角形，由旋转的性质可得为等边三角形，进而可得，利用勾股定理即可得证．
【详解】（1）解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，
，，，
由旋转的性质可知，
是等边三角形，
，，
就是以，，为边的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小内角的度数为，
故答案为：18；
（3）证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，
，，
是等边三角形，
，
由旋转可知，，，
为等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．

(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；
（2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证．
【详解】（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如图所示，连接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四边形中，
∴是直角三角形，
∴
又是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·陕西咸阳·一模）在中，，是的中点，作．分别交，于点，，连接
(1)【尝试探究】如图1，若，求证；
(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(3)【解决问题】如图3，若，，点，，，在同一个圆上，求面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）证明，得到，推出，由勾股定理，得到，即可得证；
（2）延长至，使，连接，易得四边形是平行四边形，得到，进而得到，，推出垂直平分，得到，即可得证；
（3）根据，推出，利用（2）的结论，设，求出之间的关系式，利用面积公式将三角形的面积转化为二次函数求最值即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），仍然成立．
证明：延长至，使，连接，
∵点O是的中点，
∴，
∴互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，点，，，在同一个圆上，
∴是圆的直径，
∴，
由②知，，
又，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴当时，的面积的最大值是．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，二次函数求最值．本题的综合性强，属于中考常考压轴题．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
题型09 勾股定理的证明方法
1．（2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：．
方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明
【答案】见解析
【分析】利用面积法，根据大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方形面积求解即可．
【详解】证明：方法一：由图可得：
∴；
方法二：由图可得：，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用数形结合，得出大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方形面积是解题的关键．
2．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务．
从勾股定理的“无字证明”谈起
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方法：过正方形的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．

意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为，图丙中空白部分的面积为．
任务：
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整．
解：根据题意，得________
．
∵，
∴________，即________．
(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若，，则的长度为________．
(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想 B．公理化思想 C．数形结合思想 D．从特殊到一般的思想
(4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号）
①； ②；
③； ④．
(5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式．
【答案】(1)；；
(2)
(3)；C
(4)②
(5)，图形见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查勾股定理的几何证明、完全平方式在几何中的应用，涉及了正方形的性质、相似三角形的性质和判定以及勾股定理的应用等知识点，熟练掌握面积的不同表示方法得到相应的等式是解题的关键．
（1）根据图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，即可求出，再进行化简即可求解；
（2）根据正方形的性质以及勾股定理求出，再根据相似三角形的判定和性质即可求出；
（3）根据“大正方形的面积9个小正方形面积之和”即可求解，主要体现的是数形结合的思想；
（4）根据“大正方形的面积稍大正方形面积稍小正方形面积2个长方形面积”即可求解；
（5）借助数形结合的思想，设计一个边长为的正方形即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
．
∵，
∴，即．
故答案为：；；．
（2）∵，，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由图可知，，体现了数形结合的思想，
故答案为：；
故选：C．
（4）由图可知，，
故选：②．
（5），图形如图所示：

题型10 赵爽弦图
内弦图模型 外弦图模型
条件 在正方形内部，有四个全等的直角三角形.
图示
结论 1）四边形ABMN为正方形 2） 3） 1）四边形CMHG为正方形 2） 3）
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ．
【答案】
【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到．
【详解】解：作交于点，不妨设，设
四边形是正方形
在和中，，
由题意可知，
正方形的面积，
正方形的面积
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．

【答案】
【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键．
3．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．

【答案】
【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵图中，，
∴
∵与的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则：
（1）正方形的面积为 ．
（2）的长为 ．
【答案】 100 7.9
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为．，则，进而得出{，勾股定理得出，即可求解；
（2）设交于点，证明，利用同角的三角函数性质求出，，，即可求解．
【详解】解：（1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为．
正方形的面积为196，正方形的面积为4，
．
，，
．
解得：．
．
正方形的面积为：．
故答案为100；
（2）设交于点．
由题意得：，，
．
．
．
四边形是正方形，
．
．
由题意得：，．
．
同理．
．
由题意得：，，．
．
．
故答案为：7.9．
题型11 利用勾股定理构造图形解决实际问题
1．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即．
故选：C
2．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）

A．96 B． C． D．90
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理、代数式求值等知识．设，根据题意可知，，，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，然后结合矩形的面积公式可得 ，整体代入即可获得答案．
【详解】解：如下图，

设，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理，可得，即，
∴该矩形的面积
．
故选：A．
3．（2022·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解．
【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点，
设， ，
∴，，
∴在、、中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
4．（2023·湖南衡阳·一模）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．
(1)当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度；
(2)当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于，在中，由三角函数可知，，可解得， ，然后在中由勾股定理即可获得答案；
（2）作的延长线于点，在中，由三角函数和勾股定理可解得，，再在中，可有，代入求解即可获得答案．
【详解】（1）解：如图①，作于，
在中，，，，
∴，，
∴， ，
∵，，
∴，
∴；
答：连接杆的长度为 ；
（2）如图②，作的延长线于点，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴点滑动的距离为：．
答：这个过程中点滑动的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理等知识，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键．
命题点三 勾股定理逆定理
题型01 在网格中判定直角三角形
1．（2022·四川广元·中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．
【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
2．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
3．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键．
先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
4．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积、勾股定理及逆定理，先利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理得，再根据即可求解，熟练掌握扇形的面积公式及勾股定理及逆定理是解题的关键．
【详解】解：取的中点，连接，，如图：
根据勾股定理得：，，
，
，
为圆的直径，点是的中点，
，，
，
故答案为：．
题型02 利用勾股定理逆定理求解
1．（2023·湖北·中考真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，

由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
【答案】A
【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题．
【详解】解：，，．
，
是直角三角形，
，
点是斜边的中点，
，
是直角三角形，是斜边的中线，
，
，
点、、都在圆内，
这三栋楼都在该基站覆盖范围内．
故选：A
4．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知点，点C在第一象限，且，，则直线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的解析式，勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，坐标与图形，连接，过点C作轴，垂足为D，求出的长，证明是直角三角形，证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出，得到点C的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作轴，垂足为D，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为，
故答案为：．
命题点四 勾股定理的实际应用
题型01 用勾股定理解决实际生活问题
1．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
【答案】．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
2．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 海里就开始有触礁的危险．
【答案】4.5
【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【点睛】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．
3．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)秋千绳索的长度为尺
(2)能，
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
4．（2024·湖南永州·模拟预测）如图某货船以海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心海里以内的圆形区域会受到影响．（）问：
(1)处是否会受到台风的影响？请说明理由．
(2)如果处受到台风影响，那么求出影响的时间．
【答案】(1)会受台风影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理解三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识．
（1）处是否会受到台风影响，其实就是到的垂直距离是否超过海里，如果超过则不会影响，反之受影响，过点作交于点，求出即可求解；
（2））结合题意可得在点右侧相同的距离内点也受影响，即可求出时间；将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1，过点作交于点，
在中，，
，
海里，
海里，
，
会受台风影响；
（2）如图2，
如图，海里，
在中，海里，
同时在点右侧相同的距离内点也受影响，
小时，
影响的时间为小时．
题型02 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
1．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行．
【答案】北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
2．（2023·海南海口·模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷．已知四边形中，，，，，，若张师傅的收割价格为元，请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？

【答案】元
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
如图，连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，

由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴ ，
∴（元），
∴这块田地张师傅应该收费元．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．
(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
（2）过点F作，垂足为H，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：过点F作，垂足为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
题型03 求最短路径问题
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，
∵，，则
∵，则
∴，，

故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．
3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）

【答案】10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的应用，将长方体沿着它的两条高展开，连接，此时线段的长即为最短路线长，证明得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，将长方体沿着它的两条高展开，连接，此时线段的长即为最短路线长，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（ ）

A．11 B．13 C． D．
【答案】B
【分析】依题意， ，令，则转化为求，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解．
【详解】解： ，令，
原式
如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，

已知，，，设，线段的长可表示为
当、、三点共线时，的值最小；
过点作 交的延长线于点，得矩形，
，，
，
所以 ，
即的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．第四章 三角形
第19讲 直角三角形
（思维导图+4考点+4命题点18种题型（含5种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
考点二 勾股定理
考点三 勾股定理逆定理
考点四 勾股定理的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
题型01 由直角三角形的性质求解
题型02 根据已知条件判定直角三角形
命题点二 勾股定理
题型01 利用勾股定理求解
题型02 判断勾股数问题
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
题型05 勾股定理与网格问题
题型06 勾股定理与折叠问题
题型07 勾股定理与无理数
题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
题型09 勾股定理的证明方法
题型10 赵爽弦图
题型11 利用勾股定理构造图形解决实际问题
命题点三 勾股定理逆定理
题型01 在网格中判定直角三角形
题型02 利用勾股定理逆定理求解
命题点四 勾股定理的实际应用
题型01 用勾股定理解决实际生活问题
题型02 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
题型03 求最短路径问题
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
直角三角形 ★★★ 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
勾股定理 ★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理 ★★
【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：
性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示
几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．

考点二 勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
变式：，，
,,.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是．
勾股定理的验证
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为，所以
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
，，化简得证
图一 图二 图三
1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）在中，，则边上的中线 ．
4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
考点三 勾股定理逆定理
1.勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形
1．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（ ）
A． B． C．7，8，9 D．
3．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 度．
4．（2023·吉林白城·模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在图①中，画一个边长为的线段；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是、、．
5．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ．
考点四 勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1）从实际问题中抽象出几何图形；
2）确定与问题相关的直角三角形；
3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
2．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．

3．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
4．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
3．（2023·湖南郴州·中考真题）在中，，则边上的中线 ．
4．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
1．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．
2．（2024·福建南平·一模）如图1，点是的边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

(1)求证：是直角三角形；
(2)如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值；
(2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形．
命题点二 勾股定理
题型01 利用勾股定理求解
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1 B．2 C． D．
2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，为点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
题型02 判断勾股数问题
1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方是否等于.
1．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数．
(1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表．
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：
… … …
(1)当时，______，______．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）．
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
作正方形 作半圆 作等边三角形 作等腰直角三角形
图示
结论
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．20
3．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
4．（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．

5．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．

6．（2020·江西·中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．
题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；…按照这个规律进行下去，则的面积为 ．
2．（2024·四川内江·二模）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为 ．
3．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图（），已知小正方形的面积为，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（））…；以此下去，则正方形的面积为 ．

4．（2023·山东青岛·二模）【问题背景】
如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图.
【问题探究】
（1） ______ ；
（2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
题型05 勾股定理与网格问题
正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.
1．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；
(2)在图②中，的面积为5
(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．
2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

3．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
题型06 勾股定理与折叠问题
解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．

3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．

4．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．

题型07 勾股定理与无理数
1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
3．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
4．（2024南宁三中模拟）利用勾股定理，可以作出长为、、、的线段，如图：在中，，，，则的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、的点．

（）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）．
（）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）．
题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．
2．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知， 是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ， ． . ． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
(3)如图3，在四边形中，，，．求证：．
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．

(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
4．（2023·陕西咸阳·一模）在中，，是的中点，作．分别交，于点，，连接
(1)【尝试探究】如图1，若，求证；
(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(3)【解决问题】如图3，若，，点，，，在同一个圆上，求面积的最大值．
题型09 勾股定理的证明方法
1．（2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：．
方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明
2．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务．
从勾股定理的“无字证明”谈起
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方法：过正方形的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．

意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为，图丙中空白部分的面积为．
任务：
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整．
解：根据题意，得________
．
∵，
∴________，即________．
(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若，，则的长度为________．
(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想 B．公理化思想 C．数形结合思想 D．从特殊到一般的思想
(4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号）
①； ②；
③； ④．
(5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式．
题型10 赵爽弦图
内弦图模型 外弦图模型
条件 在正方形内部，有四个全等的直角三角形.
图示
结论 1）四边形ABMN为正方形 2） 3） 1）四边形CMHG为正方形 2） 3）
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ．
2．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．

3．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．

4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则：
（1）正方形的面积为 ．
（2）的长为 ．
题型11 利用勾股定理构造图形解决实际问题
1．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川泸州·一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成．若，，则该矩形的面积为（　　　　）

A．96 B． C． D．90
3．（2022·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡阳·一模）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．
(1)当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度；
(2)当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，，）
命题点三 勾股定理逆定理
题型01 在网格中判定直角三角形
1．（2022·四川广元·中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
3．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）．
4．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
题型02 利用勾股定理逆定理求解
1．（2023·湖北·中考真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
4．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知点，点C在第一象限，且，，则直线的函数表达式为 ．
命题点四 勾股定理的实际应用
题型01 用勾股定理解决实际生活问题
1．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
2．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 海里就开始有触礁的危险．
3．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
4．（2024·湖南永州·模拟预测）如图某货船以海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心海里以内的圆形区域会受到影响．（）问：
(1)处是否会受到台风的影响？请说明理由．
(2)如果处受到台风影响，那么求出影响的时间．
题型02 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
1．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行．
2．（2023·海南海口·模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷．已知四边形中，，，，，，若张师傅的收割价格为元，请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？

3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．
(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
(2)当，时，求的长．
题型03 求最短路径问题
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）

4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为9，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么的长为 ．
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、，已知，，，设．线段的长可表示为，当、、三点共线时，的值最小，根据上述方法，求代数式的最小值为（ ）

A．11 B．13 C． D．

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