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第四章 三角形
第20讲 图形的相似与位似
（思维导图+3考点+3命题点17种题型（含6种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 比例线段及有关性质
考点二 平行线分线段成比例
考点三 位似图形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 比例的性质
题型01 利用比例的性质求解
题型02 黄金分割
命题点二 平行线分线段成比例
题型01 由平行线分线段成比例判断式子正误
题型02 平行线分线段成比例
题型03 平行线分线段成比例—A型
题型04 由平行线分线段成比例—X型
题型05 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
题型06 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
题型07 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
命题点三 位似图形
题型01 位似图形的识别
题型02 求两个位似图形的相似比
题型03 求位似图形的对应坐标
题型04 已知位似图形的相似比求线段长度
题型05 求位似图形的周长
题型06 求位似图形的面积
题型07 在坐标系中画位似中心
题型08 在坐标系中画位似图形
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
比例的性质 ★ 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割
平行线分线段成比例 ★★ 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
位似 ★★ 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小
【考情分析】在中考中，该模块内容常出现在选择题、填空题，较为简单. 本专题内容是下一节相似三角形的基础，需要学生在复习时加以重视.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 比例线段及有关性质
1.两条线段的比
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
2.比例线段
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
【补充】
1）若a：b=b：c，则b是a，c的比例中项，所以.
2）若线段a：线段b=线段b：线段c，则线段b是线段a，c的比例中项，所以.
3.比例的基本性质：
1）基本性质：
2）推论：
3）合比性质：，分比性质：
合分比性质：
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2)，0.618又被称为黄金分割数；
1．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ．
【答案】1
【分析】根据比例的性质解答即可．
【详解】解： ，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．
3．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【答案】
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答．
【详解】因为比例尺为，且图上距离是，
所以实际距离是．
故答案为：12．
5．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得，
，
解得，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
考点二 平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有
1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
2．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
3．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
4．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
5．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
考点三 位似图形
1.位似图形
定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.
【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
2. 位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
3. 画位似图形的一般步骤：
1）确定位似中心.
2）连接位似中心和原图的关键点并延长.
3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点.
4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
注意事项：
1）两个位似图形的位似中心，有一个.
2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上.
3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
4.位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
1．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
2．（2024绥化市一模）下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查位似图形的识别，注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线）．据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意；
选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意．
故选：D．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．
【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
5．（2024·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕O点逆时针旋转的；
(2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．
（1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）以为位似中心，作出点A、B、C的位似点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形．
；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 比例的性质
题型01 利用比例的性质求解
1．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可．
【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
∴，则，
故答案为：．
2．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，则
【答案】
【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．
【详解】解：设，
则，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
3．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案．
【详解】解：设a，b的比例中项线段为，
∵线段，，
∴，
∴（负值舍去），
∴a，b的比例中项线段等于，
故答案为：．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可．
【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为，
，
即．
故答案为：2．
5．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
6．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】+/0.6875
【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，
，
解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，
．
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．
题型02 黄金分割
1．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离．
【详解】解：设，则，
，
，
解得（舍），
，
同理可求， ，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：．
3．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
【答案】/
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，，
∴
∴，
∴支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：．
5．（2020·四川泸州·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
6．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点．
类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题．
①______（填“＞”“＜”或“”）．
②是的黄金分割线吗？为什么？
【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析
(2)①；②是的黄金分割线，理由见解析
【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义．
（1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解．
（2）①，可知，，即可求解；
②由题意可知，，再结合（1）即可求解．
【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线，
理由如下：如图，过点作于点，
点是线段的黄金分割点，，
，
，
即，
线段所在直线是的黄金分割线；
（2）解：① ，
，
，
即，
故答案为：；
②是的黄金分割线，
理由：由题意可知，
，
，
，
同理，，
由（1）知，，
则有．
是的黄金分割线．
命题点二 平行线分线段成比例
题型01 由平行线分线段成比例判断式子正误
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，，点H为与的交点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据，逐一判断即可．
【详解】解： ，
，故A选项正确，不符合题意；
，
，故B选项正确，不符合题意；
，
，故C选项正确，不符合题意；
，
∴相似于，
，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
2．（2023·山西吕梁·一模）如图，在中，，．则下列比例中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，即可得出结论．
【详解】解： ，
，，
，
，
，
，
A选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2023·北京海淀·三模）如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得，依据平行线成比例的性质即可得到答案．
【详解】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；
B、根据相似三角形的性质定理，得，所以此结论错误；
C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；
D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．
故选：B．
【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
4．（2021·广东·二模）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线分线段成比例可得，，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴，，，故选项A，B，D不合题意，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
题型02 平行线分线段成比例
1．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
2．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：18．
题型03 平行线分线段成比例—A型
模型介绍 A 型 X型
图示
几何表达 ∵DE∥BC ∴ ∵DE∥BC ∴
1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】点，为边的三等分点，
，
，
，
，
，
点，为边的三等分点，，
点，为边的三等分点，
，
，
，
，
．
故答案为：
2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【详解】解： ，，
，
解得：经检验符合题意
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．
3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．

（1）若，则的长是 （结果保留）；
（2）若，则 ．
【答案】
【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解；
（2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，

∵点为的中点，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
题型04 由平行线分线段成比例—X型
1．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
2．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
4．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，比例的性质，分别利用平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质及三角形的面积得出，，再根据得，即可得，进而得到，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是等高三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与高相同，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，E 为延长线上一点，连接交对角线于F， 交于G．
(1)若，求正方形的边长．
(2)探索之间的数量关系．
(3)如图2，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形性质以及平行线分线段成比例可得，设，，利用勾股定理求出，结合，求出x的值，进而得出结果；
（2）通过平行线分线段成比例即可得出结论；
（3）如图，过点B作于点H，连接，证明，得到，得出点H在以为直径的圆上运动，取的中点O为圆心，长为半径画圆，则H在上运动，连接交于点，设，则，当D，H，O三点共线时，即H与重合，得出的最小值为，从而得出结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，，
，
设，，
，
，
，
，
，
正方形的边长为；
（2），理由如下：
，
∴，
，
，
∴
，
，
；
（3）如图，过点B作于点H，连接，
则，
在正方形中，，，
，
，
，即，
，
，
又，
，
，即，
，
点H在以为直径的圆上运动，
取的中点O为圆心，长为半径画圆，则H在上运动，连接交于点，
设，则，
当D，H，O三点共线时，即H与重合，
，
，，
的最小值为，
的最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，准确作出辅助线，得出当D，H，O三点共线时，即H与重合，，得出最小值是解题关键．
题型05 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
1．（2022·湖南湘西·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，利用为的中位线求得，借助勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：菱形中，对角线，相交于点，
，，，
，
∴，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，，
∴
在中，，，点F是中点
∴
∵，点F是中点
∴，，
∴点D是的中点，
∴
∵D是的中点，点F是中点，
∴是的中位线，
∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
3．（2020·陕西·中考真题）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是 ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
【详解】连接AC，交EF于点H，如图，

∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴
∴H是AC的中点，F是AG的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，
∴，，
而FH=EF-FH=4-，
∴CG=2FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键．
4．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中点，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
．
故答案为：．
题型06 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键.
1．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点K，
∴，．
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
3．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点K，
∴，．
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2024·北京·三模）在中，，，点D为平面内一点．
(1)如图1，若点D在线段上，且，求；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明：
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最值．
【答案】(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）过点作 交的延长线于点，证明，根据平行线分线段成比例得出，进而根据勾股定理可得，进而根据正切的定义，即可求解；
（2）过点作 ，交的延长线于点，延长至，使得，连接，证明，，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）以为斜边向下作等腰直角三角形，，以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点，根据题意得出在上，当在上时取得最小值，最小值为，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作 交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，设，则，
∴，
∴
（2），理由如下：
如图所示，过点作 ，交的延长线于点，延长至，使得，连接，
∵，
∴，
，
是等腰三角形，
，，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图所示，以为斜边向下作等腰，，
以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点，
∴，
∵，
∴在上，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当在上时取得最小值，最小值为．
【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键．
题型07 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
1．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．
（1）分别记矩形和的面积为，，则 填“”、“”或“”）；
（2）若函数的图象经过点和的中点，则的值是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形面积公式的理解、矩形的判定与性质、中位线的定义与性质、平行线分线段成比例定理、反比例函数中的几何意义等知识，正确作出辅助线构造矩形是解题的关键．
（1）根据矩形和平行四边形面积公式的理解，得出答案即可；
（2）作轴，轴，轴，设，表示出四边形的面积，利用证明，得出，根据平行线分线段成比例定理，推出是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，，即可表示出四边形的面积，然后根据的几何意义得出方程，求出，再求出的值即可．
【详解】解：（1）∵矩形的面积，的底上的高等于，
∴的面积，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点作轴，轴，轴，

∴，
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，
设，
∵点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，
∴，，，
∴矩形的面积，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵是的中点，轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴矩形的面积，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
过点C作垂足为M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．
【详解】解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，
∴，，
∴
设，则，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为等腰三角形，
当时，，
当时，
∵，
∴点与点重合，
∴，

不存在的情况；
综上：的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．
6．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过作，交于点N，可得，得到EM与 平行，再由为中点，得到，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即 ，
，
四边形为矩形，
，
平分，， ，
，
，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
9．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到与也垂直，可得为的切线；
（2）连接，证明，再证明是等边三角形，则，由得到，则，即，由得到，即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，且为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
∵为直径的交于点D，交于点G，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形判定和性质、平行线分线段成比例定理、切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
命题点三 位似图形
题型01 位似图形的识别
识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形.
1．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
2．（2024·贵州安顺·二模）如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断．
【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，，
的三边长分别为2，4，，
与的三边对应成比例，
∴与相似，
∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴与是位似图形，
故选∶D．
3．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键．
根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可．
【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的，
所以这两张图片之间的关系是位似，
故选：D．
题型02 求两个位似图形的相似比
1．（2023·广西河池·模拟预测）如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ．
【答案】．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，，
∴．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
2．（2024·贵州贵阳·一模）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，点与点是对应顶点，，的坐标分别为，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换，根据点、点的坐标求出、，然后求得位似比．掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，的坐标分别为，，则，．
．
与的相似比为，
故选：B．
3．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比，
与的相似比，即，
，
故选：B．
4．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，即可求解．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∵和的周长之比为，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2023·四川巴中·一模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
∴
∴
点在反比例函数上，点在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故选：．
题型03 求位似图形的对应坐标
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
1．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为，
则，
∵点A的坐标为，
则的坐标为
故答案为：．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

【答案】或/或
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，，
当在第一象限时，点的坐标为，即；
当在第三象限时，点的坐标为，即；
综上可知，点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
4．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，
∴四边形和四边形的相似比为，
∵，
∴第一象限内点 ，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
题型04 已知位似图形的相似比求线段长度
位似图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线，利用位似比求线段的长度与利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度一样，要找准对应关系.
1．（2020·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
2．（2024·云南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查坐标与位似，根据两个位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，进行求解即可．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选A．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ）

A．cm B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点，

由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，
∴，
∴相似比为：，
∴对应高的比为：，
∴，
∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为，
故选：C．
4．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图，有一斜坡OA，已知斜坡上一点A的坐标为，过点A作AB轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点0为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是 ，此时斜坡OA的坡度为 ．
【答案】 2
【分析】根据位似图形的性质结合A点坐标直接得出点C的坐标，再利用勾股定理及坡度的定义进行计算即可得出答案．
【详解】∵点，AB⊥x轴，将以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到，
∴，
∴，，
∴在中，，
斜坡OA的坡度为．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查了坐标与位似变换，坡度的计算，熟练掌握变换规律及坡度的定义是解题的关键．
题型05 求位似图形的周长
1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ．
【答案】21
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的六边形周长的比等于边长比进行求解即可．
【详解】解：由位似图形的性质，可得，
六边形的周长：六边形的周长，
六边形的周长为，
则
六边形的周长为，
故答案为：21．
2．（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【答案】D
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，
，，
，
，
，
，
的周长为9，
的周长为36．
故选：D
3．（2023·重庆南岸·一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 ，得，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
【详解】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，，
∴，
正方形ODEF与正方形OABC的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或．
题型06 求位似图形的面积
1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据位似变换的性质、相似三角形的性质求出，进而求出过点的反比例函数表达式．
【详解】解：点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，
∴，
∴，
∴过点的反比例函数表达式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，涉及到位似，灵活运用所学知识是解题关键．
2．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴ 且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，，
∴的面积为24，
故选：C
3．（2023·广东佛山·三模）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
【详解】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
四边形的面积是2，
四边形的面积是18，
故选：D．
题型07 在坐标系中画位似中心
1．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
2．（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接，并延长交于一点，交点即为所求．
【详解】解：如图，

连接，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为．
故答案为：．
3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的 ．
【答案】点O
【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案．
【详解】如图所示，位似中心是点O．
故答案为：点O．
题型08 在坐标系中画位似图形
1．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示
（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】题目主要考查位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析，A1(-2，-4)；（2）见解析，．
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，
∵OA=
∴的长为：．
【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
3．（2020·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出关于x轴成轴对称的；
（2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．
【答案】（1）如图所示为所求；见解析； （2）如图所示为所求；见解析．
【分析】（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
（２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
【详解】（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到．
如图所示为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，和在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得．
第二种，在的对侧
A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），
连接各点，得．
综上所述：如图所示为所求；
【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．第四章 三角形
第20讲 图形的相似与位似
（思维导图+3考点+3命题点17种题型（含6种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 比例线段及有关性质
考点二 平行线分线段成比例
考点三 位似图形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 比例的性质
题型01 利用比例的性质求解
题型02 黄金分割
命题点二 平行线分线段成比例
题型01 由平行线分线段成比例判断式子正误
题型02 平行线分线段成比例
题型03 平行线分线段成比例—A型
题型04 由平行线分线段成比例—X型
题型05 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
题型06 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
题型07 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
命题点三 位似图形
题型01 位似图形的识别
题型02 求两个位似图形的相似比
题型03 求位似图形的对应坐标
题型04 已知位似图形的相似比求线段长度
题型05 求位似图形的周长
题型06 求位似图形的面积
题型07 在坐标系中画位似中心
题型08 在坐标系中画位似图形
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
比例的性质 ★ 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割
平行线分线段成比例 ★★ 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
位似 ★★ 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小
【考情分析】在中考中，该模块内容常出现在选择题、填空题，较为简单. 本专题内容是下一节相似三角形的基础，需要学生在复习时加以重视.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 比例线段及有关性质
1.两条线段的比
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
2.比例线段
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
【补充】
1）若a：b=b：c，则b是a，c的比例中项，所以.
2）若线段a：线段b=线段b：线段c，则线段b是线段a，c的比例中项，所以.
3.比例的基本性质：
1）基本性质：
2）推论：
3）合比性质：，分比性质：
合分比性质：
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2)，0.618又被称为黄金分割数；
1．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
2．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ．
3．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ．
5．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
考点二 平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有
1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
3．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

4．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
5．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点三 位似图形
1.位似图形
定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.
【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
2. 位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
3. 画位似图形的一般步骤：
1）确定位似中心.
2）连接位似中心和原图的关键点并延长.
3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点.
4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
注意事项：
1）两个位似图形的位似中心，有一个.
2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上.
3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
4.位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
1．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
2．（2024绥化市一模）下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕O点逆时针旋转的；
(2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为．；
04题型精研·考向洞悉
命题点一 比例的性质
题型01 利用比例的性质求解
1．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
2．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，则
3．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ．
5．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A． B． C． D．
6．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
题型02 黄金分割
1．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号）
2．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
3．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号）
5．（2020·四川泸州·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点．
类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题．
①______（填“＞”“＜”或“”）．
②是的黄金分割线吗？为什么？
命题点二 平行线分线段成比例
题型01 由平行线分线段成比例判断式子正误
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，，点H为与的交点．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山西吕梁·一模）如图，在中，，．则下列比例中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京海淀·三模）如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ）

A． B．
C． D．
4．（2021·广东·二模）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（　　）
A． B． C． D．
题型02 平行线分线段成比例
1．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．12
2．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ．
题型03 平行线分线段成比例—A型
模型介绍 A 型 X型
图示
几何表达 ∵DE∥BC ∴ ∵DE∥BC ∴
1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．

（1）若，则的长是 （结果保留）；
（2）若，则 ．
题型04 由平行线分线段成比例—X型
1．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

2．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，E 为延长线上一点，连接交对角线于F， 交于G．
(1)若，求正方形的边长．
(2)探索之间的数量关系．
(3)如图2，连接，求的最小值．
题型05 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
1．（2022·湖南湘西·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
3．（2020·陕西·中考真题）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是 ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
4．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ．
题型06 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线
当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键.
1．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
2．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
3．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
4．（2024·北京·三模）在中，，，点D为平面内一点．
(1)如图1，若点D在线段上，且，求；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明：
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最值．
题型07 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线
1．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．
（1）分别记矩形和的面积为，，则 填“”、“”或“”）；
（2）若函数的图象经过点和的中点，则的值是 ．

3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．

6．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
命题点三 位似图形
题型01 位似图形的识别
识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形.
1．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
2．（2024·贵州安顺·二模）如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
题型02 求两个位似图形的相似比
1．（2023·广西河池·模拟预测）如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ．
2．（2024·贵州贵阳·一模）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，点与点是对应顶点，，的坐标分别为，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为，则 ．
5．（2023·四川巴中·一模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型03 求位似图形的对应坐标
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
1．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ．
2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

4．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．

5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ．

题型04 已知位似图形的相似比求线段长度
位似图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线，利用位似比求线段的长度与利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度一样，要找准对应关系.
1．（2020·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2024·云南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ）

A．cm B． C． D．
4．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图，有一斜坡OA，已知斜坡上一点A的坐标为，过点A作AB轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点0为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则OC的长度是 ，此时斜坡OA的坡度为 ．
题型05 求位似图形的周长
1．（2024·吉林长春·一模）如图，六边形和六边形是以点．O为位似中心的位似图形，．若六边形的周长为，则六边形的周长为 ．
2．（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
3．（2023·重庆南岸·一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A． B． C． D．
题型06 求位似图形的面积
1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为 ．
2．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
3．（2023·广东佛山·三模）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
题型07 在坐标系中画位似中心
1．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．

3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的 ．
题型08 在坐标系中画位似图形
1．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
3．（2020·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出关于x轴成轴对称的；
（2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．

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