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第四章 三角形
第21讲 相似三角形及其应用
（思维导图+2考点+3命题点24种题型（含7种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 相似多边形
考点二 相似三角形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
题型03 补全判定相似三角形的证明过程
题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
题型05 利用相似三角形的性质求解
题型06 利用相似的性质求坐标
题型07 相似三角形在网格中的应用
题型08 相似三角形的性质与判定综合
命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
题型03 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
题型04 利用相似三角形的性质与判定求最值
题型05 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
题型06 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
题型07 利用相似三角形列函数关系式
题型08 利用三点定形法证明比例式或等积式
题型09 尺规作图与相似三角形综合应用
题型10 三角板与相似三角形综合应用
题型11平移与相似三角形综合应用
题型12 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与相似三角形有关的新考法问题
命题点三 相似三角形的应用
题型01 利用相似测量物体的高度
题型02 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
题型03 其它问题
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
相似三角形的性质 ★★★ 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性质定理.
相似三角形的有关证明与计算 ★★★
相似三角形的应用 ★★ 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
【考情分析】本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度. 【命题预测】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点. 它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察. 而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，需要考生在复习的时候给予加倍的重视!
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 相似多边形
1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.
【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.
2.相似多边形及、性质与判定
相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.
【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；
3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是我国自主研发的某汽车的广告文案．已知：将矩形对折后所得的矩形如果与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比称为白银比，则白银比的近似值是 ．（小数点后保留三位）
它们的大气端庄，主要来源于对东方传统美学中，白银比例这一规律的运用，和黄金比例相比白银比例下的作品，更为端正平街也更符合东方审美.
考点二 相似三角形
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
1．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
3．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．

4．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
相似三角形的判定方法：
判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法
1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似
4 两角分别相等的两个三角形相似
解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.
【拓展】特殊三角形相似的判定：
1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
2）两个等腰直角三角形一定相似.
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 ，使．
3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点 分别在边上，且，求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
5．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．

(1)求的值；
(2)求证：．
6．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
(1)求证：；
(2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
题型03 补全判定相似三角形的证明过程
1．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结．
分别是边的中点，
，（依据）
……；……．；
任务：(1)填空：材料中的依据是指：______．
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f．
【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
已知，，，，，当时，求证：．
证明：∵，，
∴，∴，∴，即．
同理可得，∴，即①______，
∴②______，∴，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________；
(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）；
(3)如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)．
3．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；∴；
∴即：；又∵；∴②_______；∴；
∴；
在矩形中，；
∴；∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】（2）若，求的长；
【思维拓展】（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容．
题目 测量河流宽度
目标 示意图
测量数据 ，，
(1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步；
解：由已知得，，
∴． ……第一步
又∵，
∴， ……第二步
∴， ……第三步
解得． ……第四步
(2)请你求出河流宽度的长．
2．（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则 ． 这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论．
【解决问题】(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)请将另一种情况画出相应图形并解答．
3．（2022·山西运城·一模）计算：
(1)
(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
如图，在中，点E是BC上一点，，连接BD，AE，AE与BD交于点F，已知的面积为24，求△BEF的面积．
解：作AG⊥BC于点G．
∵，∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，．
∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴．………………依据
∴．∴．
∴．……………………×
∴．
任务一：填空：①上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．
②小明的作业经过老师批改在后画了错号，这一步错误的原因是______．
任务二：请你经过正确计算直接写出△BEF的面积为______．
题型05 利用相似三角形的性质求解
利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
4．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
题型06 利用相似的性质求坐标
1．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ．
2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
3．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 ．
4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线W：交x轴于点，交y轴于点，顶点为D．
(1)求出抛物线W的解析式；
(2)已知抛物线的对称轴为直线l，点P为抛物线W上一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，连接，若，求出点P的坐标．
题型07 相似三角形在网格中的应用
1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
2．（2020·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
题型08 相似三角形的性质与判定综合
由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
4．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则
3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

4．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
1．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C．D．
题型03 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
1．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：与互相平分．
2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点H，连接，．
（ⅰ）如图2，若，求证：；
（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．
3．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3)【拓展延伸】
点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

题型04 利用相似三角形的性质与判定求最值
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ．
2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作 交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．

(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
3．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
题型05 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．

2．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
3．（2023·四川泸州·中考真题）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．

4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当时，求t的值；
(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型06 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
题型07 利用相似三角形列函数关系式
解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
3．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．
(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
题型08 利用三点定形法证明比例式或等积式
1．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接．
(1)证明：；（用图1）
(2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2）
(3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3）
4．（2024·山东·模拟预测）如图，点是上的一个动点，点是圆外任意两点，连接，作的外接圆，恰好为外接圆的直径，且外接圆过点，点是的中点，共线．
(1)作的边上的高，垂足为点，证明：①；②；
(2)若的半径为，，，求线段的长度的最小值．
题型09 尺规作图与相似三角形综合应用
1．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
2．（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即．
学习任务：
(1)填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明：
3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的面积．
题型10 三角板与相似三角形综合应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是 ．
3．（2024·内蒙古包头·三模）如图，将一个三角板放在上，使三角板的一直角边经过圆心测得，，则的半径长为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·山西运城·一模）综合与实践
数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

(1)问题发现：如图1，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边，分别交于E、F两点，则线段与的数量关系是______；
(2)拓展探究：如图2，将一个足够大的三角板的角（）顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两边与，的延长线分别交于E、F两点，当时，试确定与的数量关系，并说明理由；
(3)类比提升：如图3，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两直角边与，分别交于E、F两点，请直接写出线段与的数量关系（无需证明）．
题型11平移与相似三角形综合应用
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
3．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
4．（2021·四川雅安·中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型12 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型13 与相似三角形有关的新考法问题
1．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
3．（2021·山西·中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
4．（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究：
课本再现：
（1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少
类比探究
（2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
命题点三 相似三角形的应用
题型01 利用相似测量物体的高度
利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得.
1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
2．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

3．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）
(1)求阿育王塔的高度；
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．
4．（2023·福建漳州模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
题型02 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据相似三角形的对应边成比例，求出物体的宽度.
1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
3．（2023·福建三明·一模）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
题型03 其它问题
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
3．（2022·江苏盐城·中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
4．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．第四章 三角形
第21讲 相似三角形及其应用
（思维导图+2考点+3命题点24种题型（含7种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 相似多边形
考点二 相似三角形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
题型03 补全判定相似三角形的证明过程
题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
题型05 利用相似三角形的性质求解
题型06 利用相似的性质求坐标
题型07 相似三角形在网格中的应用
题型08 相似三角形的性质与判定综合
命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
题型03 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
题型04 利用相似三角形的性质与判定求最值
题型05 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
题型06 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
题型07 利用相似三角形列函数关系式
题型08 利用三点定形法证明比例式或等积式
题型09 尺规作图与相似三角形综合应用
题型10 三角板与相似三角形综合应用
题型11平移与相似三角形综合应用
题型12 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与相似三角形有关的新考法问题
命题点三 相似三角形的应用
题型01 利用相似测量物体的高度
题型02 利用相似测量物体（不易测量）的宽度
题型03 其它问题
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
相似三角形的性质 ★★★ 了解相似三角形的判定定理； 了解相似三角形的性质定理.
相似三角形的有关证明与计算 ★★★
相似三角形的应用 ★★ 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
【考情分析】本专题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似的性质求线段的长度、图形的面积等，试题形式多样，难度不一，相似三角形的判定方法较多，合理的选择方法是解题的关键，常见的相似模型有“A”字形、8”字形及“一线三等角”等，熟练掌握这些模型能提升解题速度. 【命题预测】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点. 它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察. 而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段，需要考生在复习的时候给予加倍的重视!
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 相似多边形
1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形.
【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关.
2.相似多边形及、性质与判定
相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”.
【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；；
3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转
【答案】A
【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：A．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，
又四边形的面积是2，
∴四边形的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为，
∴与相似，他们的相似比为，
∴与的面积比为，
故选：A．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是我国自主研发的某汽车的广告文案．已知：将矩形对折后所得的矩形如果与原矩形相似，那么原矩形的长与宽之比称为白银比，则白银比的近似值是 ．（小数点后保留三位）
它们的大气端庄 主要来源于对东方传统美学中 白银比例这一规律的运用 和黄金比例相比白 银比例下的作品 更为端正平街 也更符合东方审美
【答案】1.414
【分析】本题考查相似矩形、折叠性质、新定义问题等知识，读懂题意，理解白银比概念，设原来矩形的长为，宽为，由折叠性质及相似多边形定义得到白银比的数学表示，求解即可得到答案，读懂题意，理解白银比是解决问题的关键．
【详解】解：设原来矩形的长为，宽为，
根据白银比定义可得，即，解得，
白银比为．
考点二 相似三角形
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
1．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
2．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
【答案】．(答案不唯一)
【分析】有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加，即得结论．
【详解】解： ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），，
∴△ABO∽△CDO．
故答案为：．(答案不唯一)
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．

【答案】/0.5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
4．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 相似三角形的性质与判定-基础
题型01 选择或补充一个条件使两个三角形相似
相似三角形的判定方法：
判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法
1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似
4 两角分别相等的两个三角形相似
解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.
【拓展】特殊三角形相似的判定：
1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
2）两个等腰直角三角形一定相似.
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 ，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
题型02 选择合适的方法证明两个三角形相似
1．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：若选①，
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②，不能证明．
若选③，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．
由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明
【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到，
由旋转性质，得，，，
，
，
，
即，
∽
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点 分别在边上，且，求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】证明：②，
④，
①又，
③，
．
故选：B．
5．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．

(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）把代入即可求解；
（）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵在直线上，
∴，
解得：；
（2）由（）得，
∴所在直线的方程为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
又，
∴．
6．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
(1)求证：；
(2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，由，，即，可证．
（2）由（1）知，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，即，
解得，，
答：水果园的面积为 ．
题型03 补全判定相似三角形的证明过程
1．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结．
分别是边的中点，
，（依据）
……；……．
；
任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______．
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______．
【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；
（2）证明，即可解答；
（3）如图中，连接．设的面积为．证明，得出，从而得出，，再根据，得出，，即可求解．
【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．
（2）解：补充如下：
，
，
，
，
；
（3）解：如图中，连接．设的面积为．
，
，
，
，，
，
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f．
【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
已知，，，，，当时，求证：．
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
同理可得，
∴，即①______，
∴②______，∴，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________；
(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）；
(3)如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)．
【答案】(1)相似三角形的性质
(2)①，②
(3)
【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再利用等量代换可得即可；
（3）作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，同理可得，证明，，可得，，进而可得，即 ，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形的性质，
故答案为：相似三角形的性质；
（2）解：由题意可得，，即①，
∴②，
故答案为：①，②；
（3）解：如图，作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，，，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；；（2）；（3）或或．
【分析】（1）证明推出，再证明，得到，据此即可求解；
（2）由（1）得到，推出，得到，根据勾股定理求得相关数据，再代入求解即可；
（3）分三种情况讨论，①当点与点重合时；②当点落在直线上时，过点作交分别为，证明，用表示出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点落在直线上时，过点作交分别为，用表示出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度数不变．
故答案为：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时；
②当点落在直线上时，由旋转得，，，
过点作交分别为，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴；
③当点落在直线上时，过点作交分别为，
同理四边形为矩形，
∴，
由旋转得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去负值），
∴，
综上，或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
题型04 以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程
1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容．
题目 测量河流宽度
目标 示意图
测量数据 ，，
(1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步；
解：由已知得，，
∴． ……第一步
又∵，
∴， ……第二步
∴， ……第三步
解得． ……第四步
(2)请你求出河流宽度的长．
【答案】(1)三
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的应用：
（1）根据题意可得：开始出现错误的是第三步；
（2）先证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）解：开始出现错误的是第三步；
故答案为：三
（2）解：由已知得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴ ，
解得：．
2．（22-23九年级上·河北保定·期中）【阅读与思考】
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则 ． 这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论．
【解决问题】
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)请将另一种情况画出相应图形并解答．
【答案】(1)，；
(2)见解析．
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论；
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点作，则，可得出结论．
【详解】（1）正确比例式为：，
，
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点作，

，则，
，
，
综上可得：DE为或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
3．（2022·山西运城·一模）计算：
(1)
(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
如图，在中，点E是BC上一点，，连接BD，AE，AE与BD交于点F，已知的面积为24，求△BEF的面积．
解：作AG⊥BC于点G．
∵，∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，．
∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴．………………依据
∴．∴．
∴．……………………×
∴．
任务一：填空：①上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．
②小明的作业经过老师批改在后画了错号，这一步错误的原因是______．
任务二：请你经过正确计算直接写出△BEF的面积为______．
【答案】(1)
(2)①两组角对应相等的两个三角形相似；②；③1
【分析】（1）先计算平方，负整数指数幂，绝对值，然后进行除法和加减运算即可；
（2）①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的三角形相似；进而可得答案；②由①可知，由与的底边，上的高相等，可得，进而可得答案；③由题意知，，根据，，，计算求解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：①由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的两个三角形相似；
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似．
②由①可知
∵与底边，上的高相等，
∴
故答案为：．
③解：由题意知，
∴，
∵
∴
解得
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方，负整数指数幂，绝对值，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
题型05 利用相似三角形的性质求解
利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选C
2．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·江苏连云港·中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
4．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【答案】C
【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
题型06 利用相似的性质求坐标
1．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）（1）将代入，得，
∴．
将代入，得，
∴．
如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
3．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解位似图形的定义和性质是解题关键．分与在轴同侧和与在轴异侧两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论，
①如下图，当与在轴同侧时，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∵将按相似比放大，得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴；
②如下图，当与在轴异侧时，过点作轴于点，过点作轴于点，
由①可知，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴
∴．
故答案为：或．
4．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线W：交x轴于点，交y轴于点，顶点为D．
(1)求出抛物线W的解析式；
(2)已知抛物线的对称轴为直线l，点P为抛物线W上一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，连接，若，求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求二次函数解析式：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先把解析式化为顶点式得到抛物线对称轴为直线，顶点D的坐标为，设，则，可得，再求出，根据相似三角形的性质可得，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线W：交x轴于点，交y轴于点，
∴，
∴，
∴抛物线W的解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴或，
∴或，
解得（舍去）或或，
∴点P的坐标为或．
题型07 相似三角形在网格中的应用
1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
【答案】
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
2．（2020·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
【答案】5
【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求．
（2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求．
（3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q
【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使，且，
连接，交于点M，
则，
，
即，
则点M即为所求．
（2）如图②，取格点E，F，使，且，
连接，交于点N，
则，
，
即，
则点N即为所求．
（3）如图③，取格点G，连接交于点Q，
则点Q即为所求．
题型08 相似三角形的性质与判定综合
由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小.
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，同理可得：，再进一步证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案；
（3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
4．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，得出，即可证明结论；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出；
（3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
命题点二 相似三角形的性质与判定-拔高
题型01 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可．
【详解】解：如图，交于点，
∵矩形，
∴，
由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
∵，
由①②得，
解得，则，
在中，，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
2．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F 若， 则
【答案】/
【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折，菱形的性质，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点E作，
设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

【答案】
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到，则，进而证明，再由平行线的性质证明即可证明；
（2）如图，延长交于点．证明得到，，
设，则，．由，得到．则．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
题型02 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图像
1．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作于H，
，
∵，，
∴，
∴
当时，
如图，重叠部分为，此时，，
，
∴，
∴，即，
∴
∴；
当时，
如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当 时
如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
综上，，
∴符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先证明，过点做于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点．
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明是解本题的关键．
3．（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，按的方向在，边上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为5；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值5；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
题型03 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
1．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：与互相平分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果；
（2）过点作，交延长线于点，先证明，可得，再证得，再由相似三角形的判定可得结论；
（3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，得出， 得出，再由平行线判定得出，，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．
【详解】（1），且是的直径，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
（2）过点作，交延长线于点．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
（3）如图，连接．
是的直径，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键．
2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点H，连接，．
（ⅰ）如图2，若，求证：；
（ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)（ⅰ）见详解，（ⅱ）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出．
（2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
在与中，
∴．
∴．
（2）（ⅰ）∵
∴，
又．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（ⅱ）∵是菱形，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵．，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
故．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．
3．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3)【拓展延伸】
点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．
【答案】(1)画图见解析，90
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解；
（2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
（3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：90；
（2）证明：过P作于C，
由（1）知：四边形是矩形，
∵点P在的平分线上，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G，
由（2）知，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G
由（2）知：四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
题型04 利用相似三角形的性质与判定求最值
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值．
【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点、、三点共线时有最大值，．
故答案为： ．
2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作 交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．

(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，的最大值为
【分析】（1）过点作于点，连接，证明是等边三角形，可得，进而证明，得出，根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，

∵顶点的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，,，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵ ，，则，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特殊角的三角函数值，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，
设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可；
（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可；
（）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，则，
解得：或，
∴或；
（2）设，则，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当时，有最大，最大值为；
（3）连接，
∵四边形是正方形，
∴，
即点在对角线所在直线上运动，
如图，作关于的对称点，连接，过作于点，
∴，四边形为矩形，
则点三点共线，，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
题型05 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件.
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，

∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
2．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵， ，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
3．（2023·四川泸州·中考真题）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．

【答案】
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：
(1)当时，求t的值；
(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用得，即，进而求解；
（2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式；
（3）当时，易证，得出，则，进而求出t值．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
∵绕点A按逆时针方向旋转得到
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
答：当时，t的值为．
（2）解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：假设存在某一时刻t，使
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴存在时刻，使．
【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
题型06 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
2．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析
【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；
（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明；
（3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足．
【详解】证明：（1） 是的中位线，
且．
又 绕点D按逆时针方向旋转得到
．
（2）由题意可知：，，．
作，则且，
又 ，
．
根据外角定理
，
，
．
又 ，是的中位线，
，
，
，
，
，
．
（3）存在点使得．
∵，
∴，
∴在中，，
过点C作于点M，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M是的中点，
∴是的垂直平分线，
过点D作，交于点P，连接，，
∴，
∴根据三线合一得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
过点P作于点N，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点N是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
∴当点G与点P重合时，满足．
【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．
题型07 利用相似三角形列函数关系式
解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．
【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
（法二：同理，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．）
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
故答案为：2，．
3．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．
(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长；
（2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵过点P作的垂线，与相交于点Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵与重叠部分的面积为S
∴的面积为S
即，
∵点P不与点A，D，C重合，
∴，
即．
当在上运动时，如图，设交于点，
则
即
综上所述，
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系．
题型08 利用三点定形法证明比例式或等积式
1．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析
【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论；
实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：，
得到，根据，易证，得到，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接并延长交于点M，连接，
是直径，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：
解： 由旋转的性质得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
问题解决：
证明：过点E作交于点N，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明 可得；
（2）证明 ，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．
【详解】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明： 是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又 ，
；
（3）解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
又 ，
，
，
设，，
则，
，
，
又 ，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接．
(1)证明：；（用图1）
(2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2）
(3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）由条件可证得，根据相似三角形对应边成比例得，即；
（2）先根据函数关系式求出的长度，然后作出对应的图2，可证明，从而得到，设，，结合对应边成比例，得到，则，解方程得到，所以，，再由（1）的结论，可计算出．
【详解】（1）
证明：已知射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，
，
，
，
,
，
又，
，
；
（2）
解：直线，当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
如图2，，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
由（1）知：，
，
（3）
解：如图3，由对称得：,
则动点F在以O为圆心，以为半径的半圆上运动，
当F在y轴上，此时在B的正上方，的值最小，如图4，
此时，即的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键．
4．（2024·山东·模拟预测）如图，点是上的一个动点，点是圆外任意两点，连接，作的外接圆，恰好为外接圆的直径，且外接圆过点，点是的中点，共线．
(1)作的边上的高，垂足为点，证明：①；②；
(2)若的半径为，，，求线段的长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可证①，证明可证②；
（2）取中点N，连接，则是的中位线，，可得点M在以N为圆心，为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上点的距离求最小值．
【详解】（1）证明：①如图，作的边上的高，垂足为点，
恰好为外接圆的直径，
，
，
，
，，
，
又 ，
，
，
；
② ，，
，
，
；
（2）解： ，，，
，
取中点N，连接，则，
点是的中点，
是的中位线，
，
N为定点，
点M在以N为圆心，为半径的圆上，
连接交于点，此时线段的长度最小，
最小值为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，圆外一点到圆上点的距离等，综合性较强，有一定难度，找到点M的运动轨迹是解题的关键．
题型09 尺规作图与相似三角形综合应用
1．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
又
，
解得：
故选C
【点睛】本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
2．（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即．
学习任务：
(1)填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明：
【答案】(1)菱形，四条边相等的四边形为菱形
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的判定与性质解答即可；
（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：由作法可知：，
四边形的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：四边形的形状是菱形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
．
3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
（1）连接并延长，交于H，证明，得，由作图得，得，从而得出结论；
（2）过E作交于F，证明，得出，再证明和，求出的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
题型10 三角板与相似三角形综合应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1放置，O是边的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是 ．
【答案】
【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即cm，根据，得，即，解得，即可得．
【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，，，，，BC=DF=12，
在中，，
，
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴（cm），
∴（cm），
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴（cm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
3．（2024·内蒙古包头·三模）如图，将一个三角板放在上，使三角板的一直角边经过圆心测得，，则的半径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角．如图，延长交于，连接、，根据直径所对的圆周角是直角得，证明，利用相似比计算出的长，然后计算出的长，从而得到的半径长．通过作辅助线构造并找出相似三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，连接、，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的半径长为．
故选：C．
4．（2024·山西运城·一模）综合与实践
数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

(1)问题发现：如图1，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边，分别交于E、F两点，则线段与的数量关系是______；
(2)拓展探究：如图2，将一个足够大的三角板的角（）顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两边与，的延长线分别交于E、F两点，当时，试确定与的数量关系，并说明理由；
(3)类比提升：如图3，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两直角边与，分别交于E、F两点，请直接写出线段与的数量关系（无需证明）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证明，即可得出结论；
（2）连接，根据斜边上的中线，得到为等边三角形，进而证明，得到，利用锐角三角函数求出与的数量关系，即可得出结果；
（3）过点作，易得四边形为矩形，证明，得到，分别解，，求出，进行求解即可

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