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第四章 三角形
第22讲 锐角三角函数及其应用
（思维导图+3考点+2命题点20种题型（含5种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
考点二 解直角三角形
考点三 解直角三角形的应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
题型01 理解锐角三角函数的概念
题型02 求角的三角函数值
题型03 由三角函数求边长
题型04 由特殊角的三角函数值求解
题型05 特殊角三角函数值的混合运算
题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
题型07 已知角度比较三角函数值的大小
题型08 利用同角的三角函数求解
题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
题型10 三角函数综合
题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
题型12 特殊角三角函数值的另类应用
题型13 在网格中求锐角三角函数值
命题点二 解直角三角形
题型01 解直角三角形的相关计算
题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
题型07 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
三角函数值的确定 ★★ 探索并认识锐角三角函数(sin A, cos A，tan A)； 知道30°,45°,60°角的三角函数值； 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
特殊角的三角函数值 ★
解直角三角形 ★★ 能用锐角三角函数解直角三角形.
解直角三角形的应用 ★★ 能用相关知识解决一些简单的实际问题.
【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形. 【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等. 出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型. 预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cos A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).
2. 锐角三角函数
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.
增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小.
【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
3. 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
三角函数值 特殊角
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
4. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：；
② 商数关系：.
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：
1．（2024云南真题）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算： ．
4．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．

考点二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三边之间的关系：（勾股定理）.
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = .
【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.
5）面积公式（h为斜边上的高）.
2. 解直角三角形的常见类型
已知条件 解法步骤 图示
两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A，
两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A，
一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ，
一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A，
另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A，
【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
4．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
考点三 解直角三角形的应用
1）仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
2）坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大.
3）方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m．
3．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024广州市模拟）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 求角的三角函数值
求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.
1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为2，时，求的值．
题型03 由三角函数求边长
1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．

2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
3．（2022·广西贵港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求和的长．
5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．
　　
(1)求抛物线的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
题型04 由特殊角的三角函数值求解
1．（2023·山东日照·模拟预测）在实数中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·一模）计算： ．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）化简求值： 其中
题型05 特殊角三角函数值的混合运算
有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.
1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：．
3．（2023·四川德阳·中考真题）计算：
题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
2．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及的面积．
题型07 已知角度比较三角函数值的大小
1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
2．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·四川成都·模拟预测）比较大小： （填“”“”）．
题型08 利用同角的三角函数求解
1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ．
3．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：）
（2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值．
4．（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ．
题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
1．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
题型10 三角函数综合
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
2．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段的长；
(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围；
(3)如图2，以点为圆心，为半径作．
①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ；
②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 交x轴于点A，交y轴于点 C，点B在x轴负半轴上，连接， ．
(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图1，点P在线段上，点Q在线段上，，点P的横坐标为t，过点Q作 轴交于点 D，连接， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作交于点E，过点D作 于点G，交于点F，连接交y轴于点M，连接， 求点 F的坐标．
题型12 特殊角三角函数值的另类应用
1．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ．
3．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
4．（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：
；
；
；
．
例如：．
类似地，求：
(1)的值．
(2)的值．
(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．
题型13 在网格中求锐角三角函数值
1．（2020·湖北荆州·中考真题）如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川广元·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为 ．
4．（2024茅箭区二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则 ．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
命题点二 解直角三角形
题型01 解直角三角形的相关计算
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
5．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：在中， CD=asinB，在中， ，根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，∴，∴
(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
3．（2022·江苏苏州·一模）【理解概念】
定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．
①若，则______；
②若，则______；
【巩固新知】(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；
【解决问题】(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．
4．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点．
(1)求的面积；
(2)求的长．
5（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与x轴交于A，D两点，，点A在直线l：上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，与直线l交于A，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），于M，轴交于N，求的最大值．
6．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．
题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.
2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.
1．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
2．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解.
1．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解.
1．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

4．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
1．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
2．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
3．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
4．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
题型07 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
1．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
2．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
3．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

4（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
5．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
示意图
说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据 ，，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
6．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）第四章 三角形
第22讲 锐角三角函数及其应用
（思维导图+3考点+2命题点20种题型（含5种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
考点二 解直角三角形
考点三 解直角三角形的应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
题型01 理解锐角三角函数的概念
题型02 求角的三角函数值
题型03 由三角函数求边长
题型04 由特殊角的三角函数值求解
题型05 特殊角三角函数值的混合运算
题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
题型07 已知角度比较三角函数值的大小
题型08 利用同角的三角函数求解
题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
题型10 三角函数综合
题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
题型12 特殊角三角函数值的另类应用
题型13 在网格中求锐角三角函数值
命题点二 解直角三角形
题型01 解直角三角形的相关计算
题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
题型07 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
三角函数值的确定 ★★ 探索并认识锐角三角函数(sin A, cos A，tan A)； 知道30°,45°,60°角的三角函数值； 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
特殊角的三角函数值 ★
解直角三角形 ★★ 能用锐角三角函数解直角三角形.
解直角三角形的应用 ★★ 能用相关知识解决一些简单的实际问题.
【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形. 【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等. 出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型. 预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cos A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).
2. 锐角三角函数
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.
增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小.
【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
3. 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
三角函数值 特殊角
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
4. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：；
② 商数关系：.
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：
1．（2024云南真题）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义．
2．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．
【详解】解： ，
∵，
∴原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算： ．
【答案】9
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
4．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．

【答案】/
【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．
【详解】解： ，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，．
【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．
考点二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三边之间的关系：（勾股定理）.
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = .
【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.
5）面积公式（h为斜边上的高）.
2. 解直角三角形的常见类型
已知条件 解法步骤 图示
两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A，
两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A，
一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ，
一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A，
另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A，
【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
【详解】解：设半径为，由题意得，，
解得，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴弦所对应的弦心距为，
∴．
故选：B．
3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
故答案为：
4．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，

∵,
∴，
则，
故选：
【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
考点三 解直角三角形的应用
1）仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
2）坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大.
3）方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
【答案】处距离处有140海里．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可．
【详解】解：由题意：，
∴；
故答案为：．
3．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024广州市模拟）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
【答案】B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．
故选：B．
2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．
本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．
【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．
故选：A．
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
题型02 求角的三角函数值
求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.
1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：，
设，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
2．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
【答案】/
【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，设 ，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；
（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
，
则，
设 ，，
，
，
为的直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的切线，则，又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得由线段垂直平分线的性质可得由可得证明AD//OC，从而可得结论；
（2）连接AF，由线段垂直平分线的性质可得再由勾股定理求出相关线段长即可．
【详解】（1）∵O为圆心，
∴OA=OB，
∵AC=BC，
∴即∠
∵DF是AC的垂直平分线，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴
∴∠，即
又AB是圆O的直径，
∴是的切线；
（2）连接AF，如图，

由（1）知，
∵∠
∴
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理以及求锐角余弦值，熟练运用相关知识解答本题的关键
6．（2024·甘肃·中考真题）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为2，时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，证明垂直平分，得出，证明，得出，说明，即可证明结论；
（2）根据是的直径，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出，证明，得出即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴点O、B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
题型03 由三角函数求边长
1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．

【答案】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴的面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证；
（）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解；
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即的直径为．
3．（2022·广西贵港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
【详解】（1）连接OE，

方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，

∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cos∠OAE＝cos∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；
（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．
【详解】（1）证明：延长交于点F，连接，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的角平分线，
∵，
∴，且平分线段，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，
∴，
∴，
解得，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．
　　
(1)求抛物线的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)或1
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；
（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ．
【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令，则，所以，
直线中，令，则，所以，
分别过，向轴作垂线，垂足为，，

根据题意可得，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中，
，
，
，
设，
则，
，，
从而，，
则有或，
解得（舍去），或，或
故点的横坐标为：或1；
（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
，
可设，则，
∴，
则，

设，
轴，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，则，
，，
，
代入抛物线解析式中有：，
解得：或，
当时，，
当时，．
【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题．
题型04 由特殊角的三角函数值求解
1．（2023·山东日照·模拟预测）在实数中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数中，有理数是 ，
所以，有理数的个数为2，
故选：B
2．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
【详解】解：，是负数，共2个，
故选：B．
3．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．
【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
4．（2023·山东青岛·一模）计算： ．
【答案】
【分析】本题实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值和二次根式化简，再计算即可．
【详解】，
故答案为：．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ．
【答案】/
【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点．
【详解】解：，
点，
∵点与点 关于轴对称
∴点为，
函数的图象经过点，
．
故答案为：．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）化简求值： 其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算，根据特殊角的三角函数值求出x，最后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵
，
∴原式
．
题型05 特殊角三角函数值的混合运算
有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.
1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算．根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案．
【详解】解：
．
3．（2023·四川德阳·中考真题）计算：
【答案】4
【分析】先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，求解算术平方根，特殊角的三角函数值，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
【答案】24﹣64π
【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．
【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四边形DCBE24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣64π，
故答案为：24﹣64π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形；
（2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下，
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵宽度相等，即，且，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
∵，
∴，
由（1）可得四边形是菱形，
∴，
在中，，
即，
∴．
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∵将正比例函数图象向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∴的解析式为，
当时，，则，
∴，，则
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
题型07 已知角度比较三角函数值的大小
1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
2．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
当，，
，
，
，
综上所述，与的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．
【详解】解：∵0°＜25°＜30°
∴
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
4．（2020·四川成都·模拟预测）比较大小： （填“”“”）．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
【详解】∵．
在锐角范围内，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．
题型08 利用同角的三角函数求解
1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键．
设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答．
【详解】
解：设，，则，，，，
∵在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，负值舍去，
∴，，
∴；
故答案为：．
3．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：）
（2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值．
【答案】（1）（2）或
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算．
（1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题；
（2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：
；
（2）解： a、b是一元二次方程的两个实根，
，
解得，或，，
当，时，
则
；
当，时，
则
；
4．（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解
【详解】过点作的垂线，交于点
是矩形
在与中，
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线
题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
1．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ．
【答案】15．
【分析】根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵且四边形为平行四边形，
∴，，
又∵,
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴mm．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题考查了圆周角定理，三角函数以及垂直平分线的尺规作图，根据圆周角定理可知：，即在中，，结合，即可得，本题即作等于已知角，即点D即为所求．
【详解】解：作图如下：点D即为所作．
3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
(3)
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
题型10 三角函数综合
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或．
【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
综上，直角三角形的面积为4或16或12或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；
（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，

∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
2．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
(3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的横坐标为或或或
【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）解：由题意可得如图所示：
分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段的长；
(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)抛物线与交于定点
【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有；
（2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得；
（3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点．
【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴，整理得，解得
∴
则；
（2）当时，抛物线：，
则
设 ，则，
设直线解析式为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，则，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得，
∴点，
过点D作于点H，则，
则；
（3）设直线解析式为，
则，解得，
那么直线解析式为，
过点D作，如图，
则，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴
解得，
则抛物线解析式为
∵
整理得，解得，
∴抛物线与交于定点．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围；
(3)如图2，以点为圆心，为半径作．
①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ；
②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，待定系数法求出直线的解析式为，则，得出，设点，则，即，再表示出，，，结合，，得出，求出，结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）①连接，在轴上取点，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，推出，即当、、共线时，最小，最小值即为的长度，再由勾股定理计算即可得出答案；②分两种情况：当在轴正半轴时；当在轴负半轴时，分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把、，代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
设点，则，即，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，
∴当时，的值最大，为，当时，的值最小，为，
∴的取值范围为；
（3）解：①连接，在轴上取点，连接，，如图，
，
∵的半径，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵当、、共线时，最小，
∴当、、共线时，最小，最小值即为的长度，
∵，，
∴，
∴的最小值为；
②当在轴正半轴时，作的外接圆，作轴于，连接，，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵为定值，
∴当最小时，最大，
∵，
∴当最小时，最小，
∴当轴时，最小，
此时，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴负半轴上时，同理可得,
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 交x轴于点A，交y轴于点 C，点B在x轴负半轴上，连接， ．
(1)如图1，求直线 的解析式；
(2)如图1，点P在线段上，点Q在线段上，，点P的横坐标为t，过点Q作 轴交于点 D，连接， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作交于点E，过点D作 于点G，交于点F，连接交y轴于点M，连接， 求点 F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，，根据，算出，根据待定系数法即可求解；
（2）先求出，，求出，即可表示出，即可求解；
（3）如图，延长 至点 K，使，连接．根据，，得出，，，证明，得出，过点M作 于L，算出，证明，得出，过点 E 作 轴于点 N，证明，解出 延长 交x轴于点R，证明，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
令，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
设解析式为，
，
，
∴解析式为 ；
（2）解：∵P的横坐标为t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴于Q，
∴D的横坐标为 ，
将代入 中， ，
，
，
的面积为S，
，
∴；
（3）解： 如图，延长 至点 K，使，连接．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点M作 于L，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵ ，
∴，
∴，
，
过点 E 作 轴于点 N，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
解得
延长 交x轴于点R，
∵于点 G，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数综合，结合相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角函数解直角三角形知识点，数形结合、画出图象分析、推理和计算是解题的关键．
题型12 特殊角三角函数值的另类应用
1．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵为锐角，
∴．
∵
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
3．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
4．（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：
；
；
；
．
例如：．
类似地，求：
(1)的值．
(2)的值．
(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由 ，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解；
（2）由 ，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解；
（3）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
．
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
题型13 在网格中求锐角三角函数值
1．（2020·湖北荆州·中考真题）如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．
3．（2021·四川广元·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为 ．
【答案】
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
4．（2024茅箭区二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则 ．
【答案】2
【分析】连接，先利用勾股定理求出、、的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理，含乘方的有理数混合运算，勾股定理的逆定理，求角的正切值，二次根式的除法，求一个数的算术平方根等知识点，连接并利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形是解题的关键．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
命题点二 解直角三角形
题型01 解直角三角形的相关计算
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可．
【详解】解：如图，过点F作，垂足为H，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，即，
解得：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又 ，
即，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】(1)，证明见解析
(2)米
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB，
AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可．
【详解】（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，
．
．
．
．
．
（2）（解答问题）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．
3．（2022·江苏苏州·一模）【理解概念】
定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．
①若，则______；
②若，则______；
【巩固新知】
(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；
【解决问题】
(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．
【答案】(1)①15；②10或25
(2)或
(3)的面积为48或24
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据题意可分为①当时，过点D作于H，结合勾股定理求解；②，结合相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）过点C作于F，，交的延长线于E，设，
根据和可得，即可证明，可得，进而分情况讨论求解：当时和当．
【详解】（1）①当时，则，
∴（不合题意舍去），
当，则，
∵，
∴，
∴，
综上所述：，
故答案为：15；
②当时，则，
∴，
当，则，
∵，
∴，
∴，
综上所述：或，
故答案为：10或25；
（2）当时，如图①，过点D作于H，
在中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）如图②，过点C作于F，，交的延长线于E，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
当时，
又∵，
∴，
由（2）可知： ，
设，则，
∴，
∴，
∴，
当，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
综上所述：的面积为48或24．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
4．（2023·安徽·二模）如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点．
(1)求的面积；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可以得到，根据勾股定理求长，然后求出面积即可；
（2）连，过点A作于点D，则，解直角三角形解题即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
（2）连，过点A作于点D，
∵E为半圆的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵,
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与x轴交于A，D两点，，点A在直线l：上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，与直线l交于A，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），于M，轴交于N，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点A、D坐标，再将代入中即可求解；
（2）先求出将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线：，再由可得，即可得，求出的最大值即可得出的最大值．
【详解】（1）解：当时，，解得：，
∴，
∵，
∴点，
将代入中，
得解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）∵抛物线：，将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，
∴抛物线：，
∴联立抛物线与直线l得：
，
解得：，，
∴点、
如图：交x轴于点H，直线交y轴于E，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∵直线l：与y轴交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为．
∴点的坐标为，其中．
∴点的坐标为．
．
，
∵当时，取得最大值为，
的最大值为，
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线的轴对称变换，解三角形的应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
6．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）证明见解析；【问题拓展】
【分析】（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解；
（2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解；
问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解．
【详解】（1）解：∵为中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴D到线段的距离即为的长，
∵,
∴；
（2）作于于N，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
问题拓展：，
连接，作于P，设，
则，
∵为中点，
∴，，
∵，是公共角，
∴，
，
由（2）得
∴
由（2）得
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中．
题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.
2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.
1．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
【答案】(1)，
(2) ，
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过作于，结合，设 ，则 ，再建立方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：， ， ，
， ，
∴ ， ，，
∴，
∴，；
（2）解：∵ ，，
∴ ，
如图，过作于，
∵，设 ，则 ，
∴，
解得：，
∴ ，
∴．
2．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
【答案】(1)见解析
(2)塑像的高约为
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则．
【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
【答案】楼的高度为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴楼的高度为米．
题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解.
1．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】(1)，两港之间的距离海里；
(2)甲货轮先到达港．
【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解；
（）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可；
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【详解】（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作于点，
由题意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为
【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解．
【详解】解：过点B作于点D，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解.
1．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
(3)测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
【答案】(1)；
(2)山高为69米；
(3)山高的高为米．．
【分析】（1）利用互余的性质即可求解；
（2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；
（3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，

∴；
（2）解：在中，．

∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，

设山高，则，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
1．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
2．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
3．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)点到地面的距离为；
(2)顶部线段的长为．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为 由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
4．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)秋千绳索的长度为尺
(2)能，
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由题可知，，．在中，得

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