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第四章 三角形
第15讲 几何图形的初步
（思维导图+5考点+2命题点15种题型（含4种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直线，射线，线段
考点二 角
考点三 相交线
考点四 相交线中的角
考点五 平行线的性质与判定
04题型精研·考向洞悉
命题点一 几何图形的初步
题型01 从不同方向看几何体
题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
题型03 正方体的展开图
题型04 平面图形旋转所得的立体图形
题型05 指出现实问题后的数学依据
题型06 与线段中点有关的计算
题型07 方向角
题型08 与角平分线有关的计算
题型09 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
题型10 三线八角的识别
命题点二 平行线的性质与判定
题型01 利用平行线的判定进行证明
题型02 根据平行线的性质求解
题型03 平行线的形状在生活中的应用
题型04 根据平行线性质与判定求角度
题型05 根据平行线性质与判定证明
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
直线和线段 ★ 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.
钟面角和角的换算 ★ 理解角、余角、补角的概念，能比较角的大小; 认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质
余角与补角 ★★
角平分线 ★★
相交线 ★★ 理解对顶角、垂线、垂线段等概念； 探索并掌握对顶角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角.
平行线 ★★★ 理解平行线的概念； 探索并证明平行线的判定定理和性质定理.
【考情分析】初中几何包括立体几何和平面几何两部分，本专题是所有几何内容的基础，包括立体几何部分常考的展开与折叠，平面几何部分的角的和、差、倍、分的计算，平行线与相交线等内容.在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2025年各地中考还将出现，试题形式以选择题、填空题为主，难度不大，常集合多个知识点进行考查. 【备考建议】该专题主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待.
002知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直线，射线，线段
1、线段
定义：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
【补充】线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数.
注意：线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线表示）.
2、射线
定义：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
【易错点】
1）表示射线时端点一定在左边，而且不能度量，因此射线BA和射线AB是不同的射线.
2）因为射线可以向一个方向无限延伸，所以射线没有延长线，但它有反向延长线.
3、有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
4、线段的性质
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量.
线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
1．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】此题主要考查了线段的性质．根据两点之间，线段最短进行解答．
【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：D．
3．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
4．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧，
，
在原点的左侧，
表示的数为
故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键．
5．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度．
【详解】A、线段不能向两边延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
B、射线向右上方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
C、射线向左下方方向延伸，
∴与会相交，故本选项正确；
D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
故选：C．
考点二 角
角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，
1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′.
角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的换算方法：
1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；
2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，.
【注意】
1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行.
2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.
3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.
1．（2023·山东临沂·中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
2．（20-21七年级上·北京海淀·期末）如图，用三角板比较与的大小，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是数形结合．由图可得，，，即可得出与的大小关系．
【详解】解：由图可得，，，
，
故选：B．
3．（2023·河北·中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．

故选D．
【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故选：C．
5．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则 ．

【答案】
【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，是的角平分线，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
考点三 相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【注意】
1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；
2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
3．（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断．
【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交，
故选：A．
4．（2023·北京·模拟预测）如图，，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到的垂线段是线段 B．与互相垂直
C．与互相垂直 D．线段的长度是点D到的距离
【答案】A
【分析】本题考查的是点到直线的距离，根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，
∴点C到的垂线段是线段，原说法错误，故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
即与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、∵，垂足为E，
∴与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴线段的长度是点D到的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（2023·浙江杭州·三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解决此题．
【详解】解：根据垂线段最短，，
∵，
∴A符合要求．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键．
考点四 相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4
邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、内错角、同旁内角
角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征
同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F”
内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z”
同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U”
【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
3、余角和补角的性质
余角的性质：同角（等角）的余角相等；
补角的性质：同角（等角）的补角相等；
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
故选∶C．
2．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解：，
故选：D．
3．（2023·青海·中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角是解题的关键．
4．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
5．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °．
【答案】35
【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵与为对顶角，，
∴．
故答案为：35．
考点五 平行线的性质与判定
平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行
性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.
平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行．
【详解】解：∵，
∴福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：B．
2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即，
又∵过作的垂线，即，
∴，
∴直线与的位置关系是平行，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．
【详解】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
4．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，
∵，则，
∴；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知时，木条a与木条b平行．即可得出答案．
【详解】解：如图，木条转动到时．木条a与木条b平行．
当时，．
即时，木条a与b平行．
故答案为：．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 几何图形的初步
题型01 从不同方向看几何体
1．（2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】
解：从左面看，得到的平面图形是，
故选：B．
2．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）从正面，左面，上面观察由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图（如图所示），则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题考查了从不同方位看简单几何组合体，熟知以上知识点是解题的关键．根据从正面看以及从左面看可得出该小正方形共有两行搭成，从上面看可确定几何体中小正方形的列数，从而得出答案．
【详解】解：从正面看左边第一列两个正方体，第二列有一个正方体；从左面来看，左边第一列两个正方体，第二列有一个正方体；说明从上面来看时，后面有两个正方体，前面一排各有一个，所以此几何体共有四个正方体，
故选：．
28．（2024深圳市三模）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的从正面、左面、上面三个不同的方向观察看到的平面图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看与从左面看到的图形相同 B．从正面看与从上面看到的图形相同
C．从左面看与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同
【答案】A
【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体从正面和左面看到的形状图相同．
故选：A．
29．（2024·河南商丘·三模）如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】考查简单几何体的三视图的画法，根据俯视图推测出左视图的情况，再根据左视图的画法画出相应的图形即可．
【详解】由俯视图可知知，几何体横向有三排，最高层有三个小方块
即从左面看，是三列三层，其中第一列高为，第二列高为，第三列高为
故选：C．
题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
1．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
【答案】/
【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为的正方形，
∴底面周长为，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作，
是等边三角形，，
，
在直角中，
，
；

∴该直三棱柱的表面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2020·湖南怀化·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留）．
【答案】24π cm
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm )．
故答案为：24π cm ．
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
3．（2022·贵州贵阳·三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了．原来这个圆柱的体积是 ．
【答案】
【分析】增加的面积等于底面半径乘以高，再乘以2，由此可以计算出圆柱的底面半径，进而可以算出圆柱的体积．
【详解】解：圆柱的底面半径为：36÷2÷9=2（分米），
故圆柱的体积为：（立方分米），
故答案：．
【点睛】本题考查圆柱的体积，长方形的面积，长方体的表面积，掌握圆周的体积公式是解决本题的关键．
4．（2021·辽宁抚顺·一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；
（2）由（1）得到的答案可以得到表面展开图；
（3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案 ．　　
【详解】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六棱柱；
（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图：
（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12，底面边长为5，
∴六棱柱的侧面积为．
又∵密封纸盒的底面面积为：，
∴六棱柱的表面积为：．
【点睛】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．
题型03 正方体的展开图
一个正方体的展开图共有11种
1-4-1 2-3-1 2-2-2与3-3 口诀
1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意， 2）“三个二”成阶梯， 3）“二个三”“日”相连，异层必有“日”. 4） “一线超过四”“凹” “田”“L型”弃之.
6种 3种 2种
1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
【答案】B
【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．
【详解】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
3．（2023·江苏南京·二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：
A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；
B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；
C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；
D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．
【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：
“盐”的对面是“之”，
“地”的对面是“都”，
“湿”的对面是“城”，
故选C．
5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
6．（2023·山东青岛·二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．
【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；
A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻；
的展开图是
故选：B．
【点睛】正方体展开图“1 4 1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．
题型04 平面图形旋转所得的立体图形
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
3．（2024·广东中山·三模）如图，在中，，，，将绕所在直线旋转一周所得到的几何体的表面积是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，解直角三角形，平面图形旋转后的几何图形等知识，过点B作于D，解直角三角形求出的长，再根据旋转后的几何体是两个圆锥组成的结合圆锥侧面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作于D，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕所在直线旋转一周所得到的几何体可以看做底面圆半径为，高分别为的长的两个圆锥组成的几何体，
∴将绕所在直线旋转一周所得到的几何体的表面积为，
故答案为：．
4．（2024·陕西渭南·二模）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．
(1)立体图形①的名称是_______；
(2)请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？(用含a和π的式子表示，
【答案】(1)圆锥；
(2)立体图形②比立体图形①的体积大 ．
【分析】本题主要考查了圆锥的定义、圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．
（1）根据立体图形的定义即可解答；
（2）设图形①、②的体积分别为，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
【详解】（1）解：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆锥．
故答案为：圆锥．
（2）解：设图形①、②的体积分别为，
则 ，，
即立体图形②比立体图形①的体积大．
题型05 指出现实问题后的数学依据
1．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（ ）
A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市
【答案】A
【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案．
【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市，
故选：A．
2．（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，
根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；
故选：A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
4．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
5．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线．由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙．这样做蕴含的数学道理是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
6．（2022·浙江温州·三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等． B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等． D．同位角相等，两直线平行．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【详解】解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，
所以根据两直线平行，内错角相等可得，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
题型06 与线段中点有关的计算
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
51．（2023花都区零模）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点的计算公式，设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为，再根据数轴上两点中点计算公式得到点M表示的数为，点N表示的数为，则．
【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为，
∵点始终为的中点，点始终为的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
故选：A．
52．（2024·河北沧州·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求：
(1)A，D两站的距离；
(2)C，D两站的距离；
(3)若，C为的中点，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了整式的加减，线段和差关系；
（1）根据题意列出关系式，合并即可得到结果；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（3）根据中点的定义列出方程计算即可求解．
【详解】（1）
∴A，D两站的距离是；
（2）
∴C，D两站的距离为；
（3）由（2）得：C，D两站的距离为，
∵A，C两站的距离为，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型07 方向角
1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
2．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
【答案】50
【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．
3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【答案】90
【分析】根据题意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34，∠BPC＝56，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
题型08 与角平分线有关的计算
1．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、 即可求解.
【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴
故选：B
2．（2023·四川德阳·中考真题）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明，，结合角平分线可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
故选B
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

【答案】/20度
【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
4．（2021·陕西西安·模拟预测）问题探究
（1）如图①，已知点P为的内心，，则________．
（2）如图②，已知中，和分别是和外角的角平分线，，请把的值用表示出来，写出必要过程．
问题解决
（3）如图③，有一块三角形花坛，且周长为40.为了改善和美化环境，市政工程处对其改造方案进行优化，以O为原点，、所在直线为坐标轴建立直角坐标系，点，改造后的花坛为四边形，其中保持原来的周长不变，点P在的外角的平分线上试探究是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【答案】（1）∠BPC=120°；（2）∠Q=；（3）S四边形OAPB最大=．
【分析】（1）由点P为△ABC的内心，可得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，由∠A=60°，可求∠ABC+∠ACB =120°，可求∠CBP+∠BCP=，由三角形内角和求∠BPC即可；
（2）由和分别是和外角的角平分线，可得∠1=∠2=，∠3=∠4=，由外角性质∠4=∠Q+∠2，∠3+∠4=∠A+∠1+∠2变形的∠4=∠A+∠2，可得∠Q=∠A即可；
（3）过P作PC⊥x轴于C，OP⊥y轴于D，连结OP，四边形PDOC为正方形，可得OD=OC=20，可求OD+OC=40，由三角形周长OA+OB+AB=40，可得AD+BC=AB，把△PAD绕着点P逆时针方向旋转90°得到△PA′C，可证△APB≌△A′PB（SSS），S四边形OAPB=S正方形ODPC-S△DPA-S△CPB，AB，由最大时，AB最小，S四边形OAPB最大，可证，可得，仅当OA=OB时AB=OA成立，可得AB=OA，可求S四边形OAPB最大 =．
【详解】解：（1）∵点P为△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠ABP=∠CBP=，∠BCP=∠ACP=，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∴∠CBP+∠BCP=+=，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，
故答案为120°；
（2）∵和分别是和外角的角平分线，
∴∠1=∠2=，∠3=∠4=，
∵∠4=∠Q+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴∠4=∠A+∠2，
∴∠Q=∠A=；
（3）过P作PC⊥x轴于C，OP⊥y轴于D，连结OP，
∴∠PDO=∠PCO=∠DOC=90°，
∴四边形PDOC为矩形，
∵点P（20，20），
∴PC=PD=20，
∴矩形PDOC为正方形，
∴OD=OC=20，
∴OD+OC=40，
∴OA+AD+OB+BC=40，
∵OA+OB+AB=40，
∴AD+BC=AB，
把△PAD绕着点P逆时针方向旋转90°得到△PA′C，
在△APB和△A′PB中，
，
∴△APB≌△A′PB（SSS），
∴S四边形OAPB=S正方形ODPC-S△DPA-S△CPB= S正方形ODPC-，
=400-，
，
，
∵OA+OB+AB=40，OA2+OB2=AB2，
∴OA+OB=40-AB，
∴，
∴，
∴AB，
∴最大时，AB最小，S四边形OAPB最大，
∵|OA-OB|≥0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
仅当OA=OB时AB=OA成立，
此时OA+OB+AB=2OA+OA=（2+）OA=40，
∴OA=，
∴AB=OA=，
S四边形OAPB最大 ，
，
=．
【点睛】本题考查三角形内心，角平分线定义，外角性质，解方程组，正方形判定与性质，三角形旋转变换，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，不等式成立的条件，掌握三角形内心，角平分线定义，外角性质，解方程组，正方形判定与性质，三角形旋转变换，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，不等式成立的条件，利用辅助线，图像旋转准确画出图形是解题关键．
题型09 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】。
则的补角为．
故选：D．
2．（2022·甘肃武威·中考真题）若，则的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【分析】用90°减去40°即可求解．
【详解】解：∵，
∴的余角=，
故选A
【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键．
3．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
4．（2024·重庆·中考真题）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则 ．
【答案】
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【详解】解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
题型10 三线八角的识别
判断同位角、内错角、同旁内角时，需要弄清它们是由哪两条直线被第三条直线所截而成的.具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而不在同一直线上的两边，它们所在的直线就是被截的两条直线.
1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；
∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
2．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
【答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，
可知它们构成的一对角可以看成是同位角，
故选：A．
3．（2023昭平县一模）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
【答案】B
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义依次判断即可解答.
【详解】A. 与是同位角，该结论正确，故不符合题意.
B. 与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，该结论错误，故符合题意.
C. 与是同旁内角，该结论正确，故不符合题意.
D. 与是内错角，该结论正确，故不符合题意.
故选：B
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握相关定义是解题的关键.
命题点二 平行线的性质与判定
题型01 利用平行线的判定进行证明
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，于点C，且，点E是边上一点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，直接根据已知证明，得到，即可证明．
【详解】证明：在和中，
∴，
∴，
∴．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：①（或②）
题型02 根据平行线的性质求解
解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解．
【详解】∵ ，
∴，
∵ ，则，
∴，
故选：A．
3．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
题型03 平行线的形状在生活中的应用
解题方法：在平行线的性质在实际生活中的应用中，需正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，从而得到相等或互补的角，解决这类问题，在准确理解题意的同时，还需将实际问题转化为数学问题.
1．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论．
【详解】解：水面和杯底互相平行，
，
∵，
．
水中的两条光线平行，
．
故选：B．
2．（2024景德镇市模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与反射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，先根据反射角等于入射角求出的度数，再求出的度数，最后根据平行线的性质得出即可．能灵活运用平行线的性质定理推理是解题的关键．
【详解】解：∵入射角等于反射角，，
∴，
∴，
∵入射光线与反射光线平行，
∴．
故选：B．
4．（2024株洲市模拟）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点）
【答案】20
【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解，
本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
5．（2023定州市模拟）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证；
（2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案．
【详解】（1）证明：由题可知，，，
∵，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴；
（2），
由题可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的概念，能够将实际问题转化为我们所学的数学知识是解题的关键．
题型04 根据平行线性质与判定求角度
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·湖北荆州·中考真题）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，
，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
题型05 根据平行线性质与判定证明
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，请直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰直角三角形．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；
（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
4．（2023昆山市模拟）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．第四章 三角形
第15讲 几何图形的初步
（思维导图+5考点+2命题点15种题型（含4种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直线，射线，线段
考点二 角
考点三 相交线
考点四 相交线中的角
考点五 平行线的性质与判定
04题型精研·考向洞悉
命题点一 几何图形的初步
题型01 从不同方向看几何体
题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
题型03 正方体的展开图
题型04 平面图形旋转所得的立体图形
题型05 指出现实问题后的数学依据
题型06 与线段中点有关的计算
题型07 方向角
题型08 与角平分线有关的计算
题型09 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
题型10 三线八角的识别
命题点二 平行线的性质与判定
题型01 利用平行线的判定进行证明
题型02 根据平行线的性质求解
题型03 平行线的形状在生活中的应用
题型04 根据平行线性质与判定求角度
题型05 根据平行线性质与判定证明
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
直线和线段 ★ 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.
钟面角和角的换算 ★ 理解角、余角、补角的概念，能比较角的大小; 认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差； 探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质
余角与补角 ★★
角平分线 ★★
相交线 ★★ 理解对顶角、垂线、垂线段等概念； 探索并掌握对顶角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角.
平行线 ★★★ 理解平行线的概念； 探索并证明平行线的判定定理和性质定理.
【考情分析】初中几何包括立体几何和平面几何两部分，本专题是所有几何内容的基础，包括立体几何部分常考的展开与折叠，平面几何部分的角的和、差、倍、分的计算，平行线与相交线等内容.在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2025年各地中考还将出现，试题形式以选择题、填空题为主，难度不大，常集合多个知识点进行考查. 【备考建议】该专题主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直线，射线，线段
1、线段
定义：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
【补充】线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数.
注意：线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线表示）.
2、射线
定义：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
【易错点】
1）表示射线时端点一定在左边，而且不能度量，因此射线BA和射线AB是不同的射线.
2）因为射线可以向一个方向无限延伸，所以射线没有延长线，但它有反向延长线.
3、有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
4、线段的性质
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量.
线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
1．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短
3．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
5．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
考点二 角
角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，
1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；
2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″；
3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′.
角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°
角的换算方法：
1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；
2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，.
【注意】
1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行.
2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.
3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.
1．（2023·山东临沂·中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21七年级上·北京海淀·期末）如图，用三角板比较与的大小，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．不能确定
3．（2023·河北·中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则 ．

考点三 相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【注意】
1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；
2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
4．（2023·北京·模拟预测）如图，，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（ ）
A．点C到的垂线段是线段 B．与互相垂直
C．与互相垂直 D．线段的长度是点D到的距离
5．（2023·浙江杭州·三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
考点四 相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4
邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°
2.同位角、内错角、同旁内角
角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征
同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F”
内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z”
同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U”
【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
3、余角和补角的性质
余角的性质：同角（等角）的余角相等；
补角的性质：同角（等角）的补角相等；
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·青海·中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
5．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °．
考点五 平行线的性质与判定
平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行
性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.
平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列尺规作图不能得到平行线的是（　　）
A．B．C． D．
4．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 几何图形的初步
题型01 从不同方向看几何体
1．（2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　）
A．B．C． D．
2．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）从正面，左面，上面观察由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图（如图所示），则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2024深圳市三模）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的从正面、左面、上面三个不同的方向观察看到的平面图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看与从左面看到的图形相同 B．从正面看与从上面看到的图形相同
C．从左面看与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同
29．（2024·河南商丘·三模）如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（ ）
A．B．C． D．
题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
1．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
2．（2020·湖南怀化·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留）．
3．（2022·贵州贵阳·三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了．原来这个圆柱的体积是 ．
4．（2021·辽宁抚顺·一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
题型03 正方体的展开图
一个正方体的展开图共有11种
1-4-1 2-3-1 2-2-2与3-3 口诀
1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意， 2）“三个二”成阶梯， 3）“二个三”“日”相连，异层必有“日”. 4） “一线超过四”“凹” “田”“L型”弃之.
6种 3种 2种
1．（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
3．（2023·江苏南京·二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
6．（2023·山东青岛·二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）
A． B． C． D．
题型04 平面图形旋转所得的立体图形
1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·广东中山·三模）如图，在中，，，，将绕所在直线旋转一周所得到的几何体的表面积是 ．
4．（2024·陕西渭南·二模）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、2a的直角三角形，图形乙是边长为a的正方形．
(1)立体图形①的名称是_______；
(2)请问立体图形②比立体图形①的体积大多少？(用含a和π的式子表示，
题型05 指出现实问题后的数学依据
1．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（ ）
A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市
2．（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．C．D．
3．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

5．（2024·吉林松原·模拟预测）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的数学依据是 ．
6．（2022·浙江温州·三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等． B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等． D．同位角相等，两直线平行．
题型06 与线段中点有关的计算
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．

51．（2023花都区零模）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
52．（2024·河北沧州·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求：
(1)A，D两站的距离；
(2)C，D两站的距离；
(3)若，C为的中点，求b的值．
题型07 方向角
1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
4．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：________，________， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
题型08 与角平分线有关的计算
1．（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳·中考真题）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

4．（2021·陕西西安·模拟预测）问题探究
（1）如图①，已知点P为的内心，，则________．
（2）如图②，已知中，和分别是和外角的角平分线，，请把的值用表示出来，写出必要过程．
问题解决
（3）如图③，有一块三角形花坛，且周长为40.为了改善和美化环境，市政工程处对其改造方案进行优化，以O为原点，、所在直线为坐标轴建立直角坐标系，点，改造后的花坛为四边形，其中保持原来的周长不变，点P在的外角的平分线上试探究是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
题型09 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃武威·中考真题）若，则的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
3．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·重庆·中考真题）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则 ．
题型10 三线八角的识别
判断同位角、内错角、同旁内角时，需要弄清它们是由哪两条直线被第三条直线所截而成的.具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而不在同一直线上的两边，它们所在的直线就是被截的两条直线.
1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
3．（2023昭平县一模）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是内错角
命题点二 平行线的性质与判定
题型01 利用平行线的判定进行证明
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，于点C，且，点E是边上一点，，求证：．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
题型02 根据平行线的性质求解
解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型03 平行线的形状在生活中的应用
解题方法：在平行线的性质在实际生活中的应用中，需正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，从而得到相等或互补的角，解决这类问题，在准确理解题意的同时，还需将实际问题转化为数学问题.
1．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024景德镇市模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与反射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024株洲市模拟）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点）
5．（2023定州市模拟）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？
题型04 根据平行线性质与判定求角度
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东泰安·中考真题）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·湖北荆州·中考真题）如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）

A． B． C． D．
题型05 根据平行线性质与判定证明
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，请直接写出的形状．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
4．（2023昆山市模拟）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：
(2)若，求的度数．

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