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第四章 三角形
第16讲 三角形的概念和性质
（思维导图+3考点+2命题点22种题型（含8种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 三角形的基础
考点二 三角形中有关线段
考点三 与三角形有关的角
04题型精研·考向洞悉
命题点一 与三角形有关的线段
题型01 三角形的稳定性
题型02 画三角形的五线
题型03 与三角形高有关的计算
题型04 等面积法求高
题型05 求网格中的三角形面积
题型06 与三角形中线有关的计算
题型07 与三角形重心有关的计算
题型08 与三角形中位线有关的计算
题型09 利用角平分线的性质求解
题型10 角平分线的判定
题型11 利用垂直平分线的性质求解
题型12 垂直平分线线的判定
题型13 根据作图痕迹求解
题型14 利用三角形三边关系求解
命题点二 与三角形有关的角
题型01 利用三角形内角和定理求解
题型02 三角形内角和与平行线的综合应用
题型03 三角形内角和与角平分线的综合应用
题型04 与角度有关的折叠问题
题型05 利用三角形内角和定理解决三角板问题
题型06 利用三角形外角和定理求解
题型07 三角形外角性质与平行线的综合应用
题型08 三角形内角和定理与外角和定理的综合
01考情透视·目标导航标
中考考点 考查频率 新课标要求
三角形中的重要线段 ★★ 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 证明三角形的任意两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
三角形的三边关系 ★
三角形的内角和外角 ★★
三角形的垂直平分线 ★★
【命题预测】在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础. 所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 三角形的基础
一、三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”.
二、三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形
2）三角形按角分类：三角形
三、三角形的稳定性
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得，，，为直角三角形，
共有4个直角三角形．
故选：C．
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.
【详解】解：A、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意；
B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意；
C、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符合题意.
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键.
3．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
考点二 三角形中有关线段
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
性质 ∵AD是 ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
图形语言
性质 ∵DE是 ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ．
【答案】2
【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：是边上的中线，为的中点，
根据等底同高可知，的面积的面积，
的面积的面积的面积，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
3．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．
【详解】解：∵点D，E，分别为的中点，
∴为的中位线，
∴；
故选：C．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．
求出，由线段垂直平分线的性质推出．
【详解】解：，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
考点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
3．（2023·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意可知，，
两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：D．
4．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到 两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可．
【详解】解：根据图形可知：，，，
∵相当于的外角，
∴，故不符合题意，D符合题意．
故选：D．
5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
【详解】解：，
这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 与三角形有关的线段
题型01 三角形的稳定性
1) 三角形具有稳定性.2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（　　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．
【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．
2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于
【答案】C
【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可．
【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性，
故选：C．
3．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，
∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），
∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
题型02 画三角形的五线
1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，
图③中，线段是的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．
故选：B．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法在边上确定一点D，连接，使得平分的面积．（不写作法、保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形中线的性质，作线段的垂直平分线，交于点D，连接即可．
【详解】解：如图，点D即为所求作的点．
根据作图可知：为的中线，
∴．
4．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，．
(1)根据要求用尺规作图：作边上的高交于点；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图；
（2）利用面积相等求解．
【详解】（1）解：如图：
即为所求；
（2）在中，，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了基本作图，利用面积法计算是解题的关键．
5．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．

【答案】见解析
【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
题型03 与三角形高有关的计算
①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.
②高相等，面积之比等于底边之比.
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
2．（2024亲水县三模）如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】如图所示，连接，根据三角形面积公式得到，结合题意求出即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．
3．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
4．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，
∵AE=AE，
∴．
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
题型04 等面积法求高
等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键．
【详解】解：设中边上的高为，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即中边上的高为，
故选：B．
2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为
【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出 ，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴修建的公路的长是．
故答案为：12．
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高．
【详解】解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：，
斜边上的高为：；
若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：，
斜边上的高为：，
综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或．
故答案为：或
4．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点C到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
题型05 求网格中的三角形面积
1）利用割补法求三角形的面积.
2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1
1．（2024恩施市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形ABC的面积为 ．

【答案】14
【分析】利用割补法求解即可，
【解答】
解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点，，的对应点分别为，，．
(1)请画出；
(2)点的坐标为_________；的面积为_________．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】本题主要考查了作图-平移作图，点的坐标平移规律，以及割补法求三角形面积．
（1）先将A、B、C向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的对应点描出来，再顺次连接为，，即可；
（2）按照平移规律求解即可得点的坐标为．再根据网格利用割补法求的面积即可．
【详解】（1）解：如图，为所求，
（2）解：点的坐标为，
的面积为．
故答案为：，．
3．（2024浙江模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，作，使，，，并求的面积．
【答案】作图见解析；
【分析】本题考查的是勾股定理，格点三角形，三角形的面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据勾股定理画出图形即可．利用割补法求出三角形的面积即可．
【详解】解：如图，为所求作的三角形．
根据勾股定理得：，
，
；
．
4．（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；
（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．
【详解】（1）四边形的面积；
（2）解：连接，
根据勾股定理得，，
，，
，，，
∴，
∴．
题型06 与三角形中线有关的计算
1．（2024珠海区模拟）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解： 的周长为45，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
的周长是．
故选：B．
2．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作，交于点，证明，结合三角形中线的性质，得到，，根据题意得到，进而得到，证明，利用相似三角形性质得到，，即可解题．
【详解】解：作，交于点，
，
是的中线，
，即，，
点D是边靠近顶点B的一个三等分点，
，
，
，
，
，
即，，
，
故选：B．
3．（2024·云南昆明·二模）如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中点，
，
故选：B
4．（2024南宁市模拟）如图，点是的边上任意一点，点是线段的中点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．利用角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，，推出，即可求解．
【详解】解：点是的边上任意一点，点是线段的中点，
，，
，
阴影部分的面积为，
故选：C．
题型07 与三角形重心有关的计算
1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；
（1）分别作的中线，交点即为所求；
（2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面积等于，
∴
又∵是的中点，
∴
故答案为：．
3．（2024·山东青岛·一模）三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
下面是小亮证明性质的过程：
已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点O．
求证：
证明：连接，
D，E分别是边的中点
∴（依据1）

性质应用：
(1)如图1，在中，点G是的重心，连接并延长交于点E，若，则______；

(2)如图2，在中，中线相交于点G，若的面积为48，则的面积为______；

(3)如图3，在中，若，，的面积为m，则的面积为______．

【答案】(1)6
(2)8
(3)
【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答；
（2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可；
（3）如图：连结，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可．
【详解】（1）解：在中，点G是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
（2）解：在中，中线相交于点G，G为的重心．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
（3）解：如图：连结．

∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型08 与三角形中位线有关的计算
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的中线，E，F分别是，的中点，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了三角形的中线和中位线，先利用中位线性质求得，再由中线知即可解答，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故答案为：．
2．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，，，，分别是的中点，则的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理得出，即可解答．
【详解】解：∵，，，分别是的中点，
∴，
∴的周长，
故答案为：9．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ．
【答案】42
【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：四边形各边中点分别是、、、，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：42．
题型09 利用角平分线的性质求解
1．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解： 如图，
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故选：C．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
【答案】D
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是△ABC的内心，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
4．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

【答案】/
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
题型10 角平分线的判定
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E
(1)尺规规范作图，写出已知
(2)求证：平分
(3)求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理、三角形面积公式、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法结合题意画出图形即可；
（2）作于，于，于，由角平分线的性质定理得出，即可判定出平分；
（3）由和等高，得出，作于，于，由角平分线的性质定理可得：，得出，从而推出，同理可得：，，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示：
已知：为锐角三角形，平分，平分，与交于O，连接并延长交于E；
（2）证明：如图，作于，于，于，
∵平分，，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平分；
（3）证明：∵和等高，
∴，
如图：作于，于，
由角平分线的性质定理可得：，
∵，，
∴，
∴，即，
同理可得：，，
∴．
3．（2024·江西赣州·二模）【课本再现】
思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且．
求证：平分．
【知识应用】
（2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，．
①求的度数；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】此题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，特殊角的三角函数和勾股定理，判断出角平分线并用角平分线的性质求出角的度数是解题的关键．
（1）此问只需证明即可
（2）①判断出、、是角平分线，用平分线的性质及三角形内角和是即可求出的度数；
②由①得构造特殊直角三角形从而求出,,在中用勾股定理即可求出．
【详解】解：（1）证明：，，
．
在与中
；
；
；即平分．
（2）①，
由（1）中定理得：，．
．
②过点作于点．
，
．
，
，
．
，
．
题型11 利用垂直平分线的性质求解
已知垂直平分线，立马得到以下三个结论:
1）垂直；2）平分；3）连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
54．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 ．（结果保留）

【答案】/
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算．
【详解】解：由作图知∶垂直平分，
扇形的半径是2，
故答案为∶．
2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

【答案】/10度
【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．
3．（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .

【答案】13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线．
，
，
的周长，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
题型12 垂直平分线线的判定
1）根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分；
2）可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.
1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明垂直平分，再利用勾股定理用分别表示出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的外接圆，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形，．用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，作图-线段垂直平分线等知识， 证明，则可知点P在线段的垂直平分线上，由此求解即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
∴只有选项D中的作图方法符合题意．
故答案为：D．
3．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形中，，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质是解题的关键．如图，取的中点，连接、，延长交于点，由勾股定理得，利用中线的性质得，再证， ，最后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，取的中点，连接、，延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
故选∶．
题型13 根据作图痕迹求解
1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．

【答案】1
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．
【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
①；②垂直平分线段；③；④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
由作图可知平分，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
题型14 利用三角形三边关系求解
若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形.
1．（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴即，故A说法正确；
当时，，
若以为底，高，
∴，故B说法正确；
设内切圆的半径为r，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故C说法错误；
当时，，
∴是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．
2．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
3．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．
【详解】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．
不妨设第三边长为a，则4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值，实数与数轴，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，
4．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，，
解得＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
命题点二 与三角形有关的角
1）三角形的内角和为180°；
2）直角三角形中两锐角和为90°；
3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
题型01 利用三角形内角和定理求解
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
3．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．

【答案】
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
题型02 三角形内角和与平行线的综合应用
1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
2．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解
【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解．
【详解】解∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型03 三角形内角和与角平分线的综合应用
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了角的计算，关键是正确作出辅助线．
首先计算出的度数，再计算出的度数，利用角的和差关系可得答案．
【详解】如图所示；分别作出边上的高和的平分线．

在中，，
平分，
，
在中，，
，
故选：C．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义，推出，利用三角形内角和定理得到，求得，据此即可求解．
【详解】解：分别是的平分线，，
．
由翻折可知，， ，
∴，故选项AC都不正确；
∴，故选项B不正确；故选项D正确；
故选：D．
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2023·陕西西安·二模）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据,平分,即可得到的度数,再根据进行计算即可．
【详解】解：,
,
又,平分,
，
,
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
题型04 与角度有关的折叠问题
1．（2020·湖南邵阳·中考真题）将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【答案】C
【分析】由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，且，
∴，即，
∵折叠，
∴，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
2．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．

【答案】或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得：；
∵，
∴；
①当在下方时，如图，
∵，
∴，
∴；

②当在上方时，如图，
∵，
∴，
∴；

综上，的度数为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

【答案】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；
（2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；
（3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
【详解】解：（1）如图①，在中，，
∵是斜边上的中线，，
∴．
（2）四边形是菱形．
理由如下：
如图②∵于点，
∴，
∴；
由折叠得，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图③，点与点在直线异侧，
∵，
∴；
由折叠得，，
∴；
如图④，点与点在直线同侧，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
题型05 利用三角形内角和定理解决三角板问题
1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：设交于点，

∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】
解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
【答案】/140度
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型06 利用三角形外角和定理求解
1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得．
【详解】解：如图：
∵，，
∴设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，
∴，
如图：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案为：．
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
3．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，

由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
题型07 三角形外角性质与平行线的综合应用
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
3．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
4．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
题型08 三角形内角和定理与外角和定理的综合
1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
【详解】解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数．
【详解】解：如图：

∵正六边形的一个外角的度数为：，
∴正六边形的一个内角的度数为：，
即：，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键．
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
4．（2023·黑龙江·中考真题）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
【答案】34
【分析】首先根据等边对等角得到，然后利用外角的性质得到，利用切线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵切于点A，
∴，
∴．
故答案为：34．
【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．第四章 三角形
第16讲 三角形的概念和性质
（思维导图+3考点+2命题点22种题型（含8种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 三角形的基础
考点二 三角形中有关线段
考点三 与三角形有关的角
04题型精研·考向洞悉
命题点一 与三角形有关的线段
题型01 三角形的稳定性
题型02 画三角形的五线
题型03 与三角形高有关的计算
题型04 等面积法求高
题型05 求网格中的三角形面积
题型06 与三角形中线有关的计算
题型07 与三角形重心有关的计算
题型08 与三角形中位线有关的计算
题型09 利用角平分线的性质求解
题型10 角平分线的判定
题型11 利用垂直平分线的性质求解
题型12 垂直平分线线的判定
题型13 根据作图痕迹求解
题型14 利用三角形三边关系求解
命题点二 与三角形有关的角
题型01 利用三角形内角和定理求解
题型02 三角形内角和与平行线的综合应用
题型03 三角形内角和与角平分线的综合应用
题型04 与角度有关的折叠问题
题型05 利用三角形内角和定理解决三角板问题
题型06 利用三角形外角和定理求解
题型07 三角形外角性质与平行线的综合应用
题型08 三角形内角和定理与外角和定理的综合
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
三角形中的重要线段 ★★ 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 证明三角形的任意两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
三角形的三边关系 ★
三角形的内角和外角 ★★
三角形的垂直平分线 ★★
【命题预测】在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础. 所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 三角形的基础
一、三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”.
二、三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形
2）三角形按角分类：三角形
三、三角形的稳定性
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
考点二 三角形中有关线段
类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
性质 ∵AD是 ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是 ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是 ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC
用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线
文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线
图形语言
性质 ∵DE是 ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ．
2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
3．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
考点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A．70° B．65° C．60° D．50°
3．（2023·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到 两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 与三角形有关的线段
题型01 三角形的稳定性
1) 三角形具有稳定性.2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（　　　）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于
3．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 画三角形的五线
1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法在边上确定一点D，连接，使得平分的面积．（不写作法、保留作图痕迹）
4．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，．
(1)根据要求用尺规作图：作边上的高交于点；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的长．
5．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．

题型03 与三角形高有关的计算
①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.
②高相等，面积之比等于底边之比.
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
2．（2024亲水县三模）如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

4．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
题型04 等面积法求高
等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ．
4．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点C到的距离．
题型05 求网格中的三角形面积
1）利用割补法求三角形的面积.
2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1
1．（2024恩施市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形ABC的面积为 ．

2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、，将向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点，，的对应点分别为，，．
(1)请画出；
(2)点的坐标为_________；的面积为_________．
3．（2024浙江模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，作，使，，，并求的面积．
4．（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形的面积；
(2)求的度数．
题型06 与三角形中线有关的计算
1．（2024珠海区模拟）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
2．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·二模）如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2024南宁市模拟）如图，点是的边上任意一点，点是线段的中点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型07 与三角形重心有关的计算
1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
3．（2024·山东青岛·一模）三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
下面是小亮证明性质的过程：
已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点O．
求证：
证明：连接，D，E分别是边的中点∴（依据1）

性质应用：
(1)如图1，在中，点G是的重心，连接并延长交于点E，若，则______；

(2)如图2，在中，中线相交于点G，若的面积为48，则的面积为______；

(3)如图3，在中，若，，的面积为m，则的面积为______．

题型08 与三角形中位线有关的计算
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的中线，E，F分别是，的中点，，则的长为 ．
2．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）在中，，，，分别是的中点，则的周长为 ．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ．
题型09 利用角平分线的性质求解
1．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
4．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

题型10 角平分线的判定
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E
(1)尺规规范作图，写出已知
(2)求证：平分
(3)求证：
3．（2024·江西赣州·二模）【课本再现】
思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且．
求证：平分．
【知识应用】
（2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，．
①求的度数；
②若，，求的长．
题型11 利用垂直平分线的性质求解
已知垂直平分线，立马得到以下三个结论:
1）垂直；2）平分；3）连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
54．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 ．（结果保留）

2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

3．（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .

题型12 垂直平分线线的判定
1）根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分；
2）可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.
1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形，．用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形中，，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型13 根据作图痕迹求解
1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为 ．

2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
①；②垂直平分线段；③；④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型14 利用三角形三边关系求解
若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形.
1．（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
2．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
3．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
4．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
命题点二 与三角形有关的角
1）三角形的内角和为180°；
2）直角三角形中两锐角和为90°；
3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
题型01 利用三角形内角和定理求解
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
3．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ．

4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型02 三角形内角和与平行线的综合应用
1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
4．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
题型03 三角形内角和与角平分线的综合应用
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
4．（2023·陕西西安·二模）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
题型04 与角度有关的折叠问题
1．（2020·湖南邵阳·中考真题）将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
2．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．

3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

4．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，直接写出的度数．
题型05 利用三角形内角和定理解决三角板问题
1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
4．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
题型06 利用三角形外角和定理求解
1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
题型07 三角形外角性质与平行线的综合应用
1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
题型08 三角形内角和定理与外角和定理的综合
1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

4．（2023·黑龙江·中考真题）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．

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