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第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时
一、 教学目标
1.掌握三角形的中线、角平分线和高线，并能在具体的三角形中画出它们，了解重心的概念.
2.能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题.
3.经历画图、观察、操作、描述等实践过程，以此加深对知识的理解，感受数学语言的准确性.
4.通过教学活动，激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生乐于探究、敢于探究.
二、 教学重难点
重点：了解三角形的中线、角平分线和高线，并能在具体的三角形中画出它们.
难点：能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题.
三、教学用具
多媒体等.
教学过程设计
环节一 创设情境
【情境导入】
教师活动：教师提出问题，学生思考.
如图，有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两人想要平分，你该怎么办呢？
说一说你的想法？
设计意图：通过说一说，试一试的创设情境，引导学生思考，为新课的学习做准备.
环节二 探究新知
教师活动：引导学生学习三角形的高线、中线、角平分线，高线的概念，并探索它们的特征.
【操作交流】
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段 AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
三角形的高：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高线，简称三角形的高.(强调高线是线段）
如图，AF是△ABC的BC边上的高.
符号语言：
∵AF是△ABC的BC边上的高.
∴∠ADB∠ADC90°
∴AF⊥BC即∠AFB=∠AFC=90°
设计意图：通过探究活动，提高学生的观察能力，并引出三角形的高的概念.发展学生的语言表述能力及用数学语言表述问题的能力.
你还能画出三角形其它边上的高吗？
【做一做】
分别指出图中△ABC 的三条高.
直角边BC边上的高是 ________ ;
直角边AB边上的高是________;
斜边AC边上的高是________ .
预设：AB，BC，BD
AB边上的高是___________;
BC边上的高是___________;
CA边上的高是__________.
预设：CF，AE，BD.
设计意图：巩固三角形的高的基本概念.
【思考交流】
如果连接顶点与对边的中点，能得到什么样的线段呢？
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.（强调中线是线段）
符号语言：
∵AE是△ABC的BC边上的中线
∴BEECBC
设计意图：通过思考交流活动，给出三角形中线的概念.
让我们先看看三角形的中线有什么特点？
【操作交流】
(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线.它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流.
(2)直角三角形和钝角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
引导学生动手画一画三种三角形的中线，并说出自己的想法.
预设：（1）锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部一点.
(2)直角、钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部一点.
提问：说一说三角形的中线有啥特征呢？
预设：(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
三角形的中线是一条线段.
(3)如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，你知道怎样确定这个支撑点的位置吗？
引导学生观察，并给出重心的概念:
三角形的重心：
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
预设：铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！
设计意图：让学生动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作，加深对三角形的中线的理解，并引出三角形的重心的概念.
【思考交流】
平分内角与对边相交的线段呢？
引导学生利用量角器尝试测量角的度数，并取一半画线，引出三角形的角平分线.
三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（强调角平分线是线段）
如图，AD是△ABC内∠BAC的角平分线.
符号语言：
∵AD是△ABC内∠BAC的角平分线
∴∠1 =∠2=∠BAC
设计意图：通过量一量初步感受角平分线，并给出角平分线的概念.
让我们来看看三角形的角平分线有什么特点？
【思考交流】
(1)请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点？
预设：
结论：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
(2)三角形的三条高是否交于一点？
预设：
锐角三角形：
①锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
②锐角三角形的三条高交于一点.
直角三角形：
①直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；
②直角三角形的三条高交于一点.
钝角三角形：
①钝角三角形的三条高都在三角形的外部；②钝角三角形的三条高不相交，但高所在的直线交于一点.
设计意图：探索三角形的三条高线、角平分线的位置关系.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 如图，AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足是点F.
(1)AF是图中哪几个三角形的高？
(2)图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由.
分析：(1)根据三角形高的定义直接判断即可.
(2)由AD是△ABC的中线，则BD=CD；再由△ABD与△ACD底边相等，且高相同，得两三角形的面积相等.
解:(1)AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF， △ADC和△AFC的高.
(2)△ABD与△ACD的面积相等，理由如下：
因为BD=DC，所以BD·AF= DC·AF.
由三角形的面积公式可知，△ABD与△ACD的面积相等.
设计意图：通过例题的解答，既检测了学生对三角形高线和中线掌握程度，又让学生感受到应用的乐趣！
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案：B
2.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
答案：B
3.如图，在△ABC中，∠BAC60°，∠B45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC60°
∴∠BAD∠DAC30°
∵在△ABD中，∠B∠ADB∠BAD180°
∴∠ADB180°∠B∠BAD
180°45°30°105°
4.如图所示，在△ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值．
解：当BPAC时，BP取得最小值；
此时：S△ABCBC·ADAC·ABP，
即：645BP.
解得：
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
　　设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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