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第四章 三角形
4.4 利用三角形全等测距离
教学目标
1.能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题，体会数学与实际生活之间的联系．
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．
3.经历多种方案的设计过程及应用，培养学生的应用意识．
二、教学重难点
重点：能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题．
难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【情境引入】
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，需要想出一个办法．如何测量呢？
一位战士想出这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
你能解释其中的道理吗？
设计意图：通过实际问题的引入，增强趣味性，激发学生学习的积极性，为讲解新知作铺垫．
环节二 探究新知
【探究】
问题1：分析两个三角形中存在的边角关系，填写下表：
已知 问题
边
角
教师活动：引导学生分析具体的测量步骤，得出已知的边、角相等的条件，找出实际问题的结论，并转化为数学语言描述．
预设答案：
已知 问题
边 身高：AD=AD 说明：AB=AC
角 直角：∠BAD=∠CAD； 视角：∠BDA=∠CDA
追问：你能证明AB=AC吗？
如图，已知△ABD与△ACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAD=90°，∠CAD=90°，请说明AB=AC．
预设答案：
证明：在△ABD与△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(ASA)．
所以AB=AC．
设计意图：经历分析问题、解决问题的过程，在这个过程中，培养学生的运用全等三角形的知识解决问题的能力．
【拓展】
仰望星空的人——泰勒斯曾利用日影来测量金字塔的高度，利用全等三角形的知识用不同的方法测量出轮船与海岸的距离．并准确地预测了公元前585年发生的日食．
如图，泰勒斯利用一种简单的工具进行测量．
1.竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A 转动，但可以固定在任一位置上．
2.将该细竿调准到河对岸B的位置，然后转动EF(保持与地面垂直)，将细竿对准岸上的某一点C．
3.则根据角边角(ASA)定理，DC = DB．
设计意图：通过数学历史典故，进一步梳理利用三角形全等测距离的步骤，再次强调原理，巩固所学知识，同时也加强学生对数学史的理解，激发学习兴趣．
【观察思考】
问题2： 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B两点间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个注意：
先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，
连接AC并延长到D，使CD=CA；
连接BC并延长到E，使CE=CB；
连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B两点间的距离．
你能说明其中的道理么？
预设答案：
证明：在△ABC与△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(SAS)．
所以AB=DE．
追问：还有别的方法吗？
教师活动：组织学生小组讨论，教师巡视，如遇有困难的小组，适当给出提示，小组内充分交流后，选代表回答，教师汇总并补充．待学生说出方案后，引导学生说明理由．
预设答案：
方案二：
1.戴一顶太阳帽，在点B立正站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A；
2.然后转过一个角度，保持刚才的姿势，帽檐不动，这时再望出去，仍让视线通过帽檐，视线所落的位置为点C；
3.测出BC的长，就是A，B间的距离．
方案三：
1.戴一顶太阳帽，在点B立正站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A；
2.保持姿势和帽檐不动，仍让视线通过帽檐，慢慢往后移动，当视线落到点B时停止，此时所站的位置为C；
3.测出BC的长，就是A，B间的距离．
设计意图：进一步利用三角形全等测距离的方法，并在此基础上给出不同的构造全等三角形的方法，使学生能够举一反三，培养学生的发散思维．
【归纳】
测量两点间距离问题的常见思路：
设计意图：总结梳理测量两点间距离问题的常见类型及解题思路，使学生对所学知识有更加全面、系统的了解．
环节三 应用新知
【典型例题】
【例1】把两根钢条AB′，BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得A、B间的距离为5 cm，则槽宽为______cm．
证明：在△AOB与△B'OA'中，
所以△AOB≌△B'OA'(SAS)．
所以AB=B'A'．
因为AB=5 cm，所以B'A'=5 cm．
【例2】某城市搞亮化工程，如图，在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯．已知A灯恰好照到 B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部，如果两盏灯的光线与水平线的夹角是相等的，那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍？说说你的看法．
解：能，理由如下：
在△ABD和△CBD中，
所以 △ABD≌△CBD(ASA)
所以AD=CD，所以AC=2AD．
因为AD=BE，所以AC=2BE．
设计意图：通过例题的训练，让学生进一步熟悉利用三角形全等测距离的方法，提高学生对所学知识的应用意识．
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑.
1.如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA．可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是(　　)
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
解：在△A′BC和△ABC中，
由已知∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA．
又BC=BC，
根据ASA可得：△A′BC≌△ABC．
故选B．
2.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是(　　)
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
解：在△AOD和△BOC中，
由已知OA＝OB，OD＝OC．
又∠AOD=∠BOC，
根据SAS可得：△AOD≌△BOC．
故选A．
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请你说明理由．
解：因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，
所以△MOP≌△NOP(SSS)，
所以∠MOP＝∠NOP，
所以OP平分∠MON，
即OP是∠AOB的平分线．
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现
设计意图：通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.

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