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第4章 因式分解 基础题型解题解析
题型目录
一．因式分解辨析
二．因式分解的意义
三．因式分解--提取公因式法
四．因式分解--平方差公式法
五．因式分解--完全平方公式法
六．因式分解方法的确定
一．因式分解辨析
解题解析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．首先要是等式变换，然后结果中各项之间只能用乘法连接，不能出现加减。如，2x2﹣5x＝x（2x﹣5）（所以是因式分解）；x2+2x+1＝x（x+2）+1（所以不是因式分解）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．4m﹣8n+4＝4（m﹣2n） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2 D．3ab（b﹣4）＝3ab2﹣12ab
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：4m﹣8n+4＝4（m﹣2n+1），则A不符合题意，
x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2符合因式分解的定义，则C符合题意，
3ab（b﹣4）＝3ab2﹣12ab是乘法运算，则D不符合题意，
故选：C．
2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc 7bc2
C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意；
B．﹣7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）＝m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
3．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：C．
二．因式分解的意义
解题解析：因式分解和整式乘法互为逆运算，把分解后的因式做乘法运算等于原式，即可求解。
1．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
【分析】计算（x+5）（x﹣3）后即可得出答案．
【解答】解：（x+5）（x﹣3）
＝x2+5x﹣3x﹣15
＝x2+2x﹣15
＝x2+px+q，
则p＝2，
故选：D．
2．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　6　 ．
【分析】本题可先将（x+2）（x+3）化简，得出一个二次多项式，再根据对应项系数相等可得c的值．
【解答】解：（x+2）（x+3），
＝x2+2x+3x+6，
＝x2+5x+6，
又x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
所以c＝6．
三．因式分解--提取公因式法
解题解析：划分多项式中每一项单项式，先定单项式系数最大公约数，再定单项式中都含有的字母，取相同字母的最小次数，确定公因式，提取公因式（原式除以公因式得到剩下部分），得出结果。
如，2ab-4ab2，第一步含有2ab和-4ab2两项，第二步系数最大公约数是2（异号时符号自己定，可正也可负，不影响结果），第三部都含有字母ab，且a的最小次数是1，b的最小次数是1，所以公因式是2ab，剩下部分为=1-2b,即ab+4ab2＝2ab（1-2b）。
注意：整体思想，如5（a﹣b）+m（b﹣a），把（a﹣b）当成一个整体。
1．把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．ab B．2ab C．2ab2 D．4ab2
【分析】根据公因式的确定方法解答即可．
【解答】解：2ab+4ab2＝2ab（1+2b），
应提取的公因式是2ab，
故选：B．
2．用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误；
B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误；
C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确；
D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误．
故选：C．
3．多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　）
A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y）
【分析】首先确定公因式，然后提取公因式即可．
【解答】解：xy2﹣y＝y（xy﹣1）．
故选：B．
4．分解因式：x2﹣x＝（　　）
A．x（x﹣1） B．（x+1）（x﹣1）
C．2x D．x（x+1）
【分析】用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．
故选：A．
5．把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　）
A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1
【分析】直接提取公因式﹣3x即可分解．
【解答】解：﹣9x3+6x2﹣3x＝﹣3x（3x2﹣2x+1），
故选：D．
6．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
【分析】根据提公因式，可得答案．
【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m），
另一个因式是（5﹣m），
故选：A．
四．因式分解--平方差公式法
解题解析：熟记平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，出现这个结构即可用平方差公式法进行因式分解。分解步骤，先确定是谁的平方（求算术平方根），再把正项和负项算术平方根分别相加相减，最后把结果相乘。
如，，正项算术平方根是，负项算术平方根是，相加得，相减得，结果为。
注意：整体思想，如（x2+y2）2﹣4x2y2
1．因式分解：（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：
．
故选：D．
2．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2﹣2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：B．
3．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2
【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
B、﹣x2﹣y2不符合平方差公式结构，故本选项符合题意；
C、49x2﹣z2符合平方差公式结构，故本选项不合题意；
D、16m2﹣25n2符合平方差公式结构，故本选项不合题意．
故选：B．
4．将多项式﹣m2+n2用公式法进行因式分解，正确的是（　　）
A．（m+n）（m﹣n） B．（n﹣m）2
C．（﹣m﹣n）（m+n） D．（n+m）（n﹣m）
【分析】根据平方差公式将﹣m2+n2分解为（n+m）（n﹣m）即可．
【解答】解：﹣m2+n2＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m）．
故选：D．
5．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
6．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　（x﹣y）2（x+y）2　 ．
【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
＝（x﹣y）2（x+y）2．
故答案为：（x﹣y）2（x+y）2．
五．因式分解--完全平方公式法
解题解析：熟记完全平方公式的结构特点，两个平方项+2倍算术平方根的积，出现这个结构即可用完全平方公式法进行因式分解。分解步骤，先确定是谁的平方（求算术平方根），再把两个算术平方根相加减（加减由第三项符号确定），最后写成平方的结构。
如，9a2﹣6a+1中9a2和+1是完全平方项，算术平方根为3a和1，第三项是﹣6a=2（3a）（1），第三项为“负”，所以9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2
注意：有时要先化简再因式分解，如（x﹣3）（x﹣5）+1
1．因式分解：9a2﹣6a+1＝　（3a﹣1）2　 ．
【分析】运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【解答】解：依题意，9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2．
故答案为：（3a﹣1）2．
2．分解因式：4m2﹣4m+1＝ 　（2m﹣1）2　 ．
【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝（2m﹣1）2，
故答案为：（2m﹣1）2．
3．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2
C．x2﹣xy D．x2﹣5xy+10y2
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2+2xy﹣y2，不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、x2﹣xy+4y2另一项不是x、2y的积的2倍，不符合完全平方公式；故此选项错误；
C、x2﹣xy（x）2，符合完全平方公式；故此选项正确；
D、x2﹣5xy+10y2，10y2＝（y）2，另一项不是x、y的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误；
故选：C．
4．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　）
A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy
【分析】根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，
∴墨迹覆盖的这一项是4xy，
故选：A．
5．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　9或﹣7　 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7
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6．分解因式：（x﹣3）（x﹣5）+1＝　（x﹣4）2　 ．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣5）+1
＝x2﹣8x+15+1
＝x2﹣8x+16
＝（x﹣4）2，
故答案为：（x﹣4）2．
六．因式分解方法的确定
解题解析：1.从整式项数出发，只有两项只能是提取公因式法和平方差公式法；有三项只能是提取公因式法和完全平方公式法。2.从整式结构出发，熟记平方差公式和完全平方公式，满足结构的用公式法，不满足的用提取公因式法。
注意：本节内容只涉及因式分解基础题型，如分组分配因式分解法，十字相乘法等不在本节内容之内。
1．分解因式：a2b﹣ab2＝　ab（a﹣b）　 ．
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．
故答案为：ab（a﹣b）．
2．因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　（x﹣2y）2　 ．
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，
故答案为：（x﹣2y）2．
3．因式分解：4a2﹣b2＝　（2a+b）（2a﹣b）　 ．
【分析】根据平方差公式分解因式即可；
【解答】解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）；
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
4．因式分解．
（1）12mn﹣3n2；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）12mn﹣3n2＝3n（4m﹣n）；
（2）8a2﹣16ab+8b2
＝8（a2﹣2ab+b2）
＝8（a﹣b）2．
5．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2；
（2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
【分析】（1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．第4章 因式分解 基础题型解题解析
题型目录
一．因式分解辨析
二．因式分解的意义
三．因式分解--提取公因式法
四．因式分解--平方差公式法
五．因式分解--完全平方公式法
六．因式分解方法的确定
一．因式分解辨析
解题解析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．首先要是等式变换，然后结果中各项之间只能用乘法连接，不能出现加减。如，2x2﹣5x＝x（2x﹣5）（所以是因式分解）；x2+2x+1＝x（x+2）+1（所以不是因式分解）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．4m﹣8n+4＝4（m﹣2n） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2 D．3ab（b﹣4）＝3ab2﹣12ab
2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc 7bc2
C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
3．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
二．因式分解的意义
解题解析：因式分解和整式乘法互为逆运算，把分解后的因式做乘法运算等于原式，即可求解。
1．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
2．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　 　 ．
三．因式分解--提取公因式法
解题解析：划分多项式中每一项单项式，先定单项式系数最大公约数，再定单项式中都含有的字母，取相同字母的最小次数，确定公因式，提取公因式（原式除以公因式得到剩下部分），得出结果。
如，2ab-4ab2，第一步含有2ab和-4ab2两项，第二步系数最大公约数是2（异号时符号自己定，可正也可负，不影响结果），第三部都含有字母ab，且a的最小次数是1，b的最小次数是1，所以公因式是2ab，剩下部分为=1-2b,即ab+4ab2＝2ab（1-2b）。
注意：整体思想，如5（a﹣b）+m（b﹣a），把（a﹣b）当成一个整体。
1．把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．ab B．2ab C．2ab2 D．4ab2
2．用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab）
B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c）
D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
3．多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　）
A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y）
4．分解因式：x2﹣x＝（　　）
A．x（x﹣1） B．（x+1）（x﹣1）
C．2x D．x（x+1）
5．把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　）
A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1
6．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
四．因式分解--平方差公式法
解题解析：熟记平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，出现这个结构即可用平方差公式法进行因式分解。分解步骤，先确定是谁的平方（求算术平方根），再把正项和负项算术平方根分别相加相减，最后把结果相乘。
如，，正项算术平方根是，负项算术平方根是，相加得，相减得，结果为。
注意：整体思想，如（x2+y2）2﹣4x2y2
1．因式分解：（　　）
A． B．
C． D．
2．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
3．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2
4．将多项式﹣m2+n2用公式法进行因式分解，正确的是（　　）
A．（m+n）（m﹣n） B．（n﹣m）2
C．（﹣m﹣n）（m+n） D．（n+m）（n﹣m）
5．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
6．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　 　 ．
五．因式分解--完全平方公式法
解题解析：熟记完全平方公式的结构特点，两个平方项+2倍算术平方根的积，出现这个结构即可用完全平方公式法进行因式分解。分解步骤，先确定是谁的平方（求算术平方根），再把两个算术平方根相加减（加减由第三项符号确定），最后写成平方的结构。
如，9a2﹣6a+1中9a2和+1是完全平方项，算术平方根为3a和1，第三项是﹣6a=2（3a）（1），第三项为“负”，所以9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2
注意：有时要先化简再因式分解，如（x﹣3）（x﹣5）+1
1．因式分解：9a2﹣6a+1＝　 　 ．
2．分解因式：4m2﹣4m+1＝ 　 　 ．
3．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2
C．x2﹣xy D．x2﹣5xy+10y2
4．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　）
A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy
5．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 ．
6．分解因式：（x﹣3）（x﹣5）+1＝　 　 ．
六．因式分解方法的确定
解题解析：1.从整式项数出发，只有两项只能是提取公因式法和平方差公式法；有三项只能是提取公因式法和完全平方公式法。2.从整式结构出发，熟记平方差公式和完全平方公式，满足结构的用公式法，不满足的用提取公因式法。
注意：本节内容只涉及因式分解基础题型，如分组分配因式分解法，十字相乘法等不在本节内容之内。
1．分解因式：a2b﹣ab2＝　 　 ．
2．因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　 　 ．
3．因式分解：4a2﹣b2＝　 　 ．
4．因式分解．
（1）12mn﹣3n2；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
5．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2；
（2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．

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