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第四章 三角形
4.1 认识三角形
第1课时
一、教学目标
1.理解三角形概念及其基本要素.
2.探索并掌握三角形内角和是180°，并会用三角形内角和进行角度的计算.
3.掌握锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念，并会按角将三角形进行分类.
4.通过探究三角形角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，并发展学生的合情推理能力，养成独立思考的习惯.
二、教学重难点
重点：理解三角形概念及其基本要素，探索并掌握三角形内角和是180°，并会用三角形内角和进行角度的计算.
难点：能灵活运用三角形的内角和是180°解决简单的实际问题.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
　 环节一创设情境
【情境引入】
根据情境提出问题，观察下面的屋顶框架图，你能找到什么图形？
预设：三角形、正方形、长方形等.
进一步提出要求：从图中找一找三角形，看谁找得多！
可以提示学生们可以画一画，如下图：
学生可以边数边记录.
设计意图：借助可爱的小木屋引出三角形的学习，调动学生学习的积极性.
环节二 探究新知
【思考】
1.下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？
　　　
观察上面的图形，你能说出什么样的图形是三角形吗？
三角形的概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.
注意：三条线段必须满足：
①不在一条直线上，②首尾顺次相接.
设计意图：通过一些图形，让学生直观感受，三条线段要满足什么条件才能构成三角形.引出三角形的概念
2.构成三角形的要素有哪些呢？
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边AC可用b表示，顶点A所对的BC可用a表示.
3.如何用符号表示三角形？
符号表示为：△ABC(△BCA、△CAB)
注意：①字母没有先后顺序；②通常情况下按逆时针的顺序写.
设计意图：在三角形概念的基础上，进一步提出三角形的构成元素有哪些，增强学生对符号表示的意识.
【操作交流】
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
在小学，就已经研究过这个问题，我们当时是用折叠、拼剪或用量角器度量的方法进行探究的，那你还记得得到的结论是什么吗？
预设：三角形的内角和等于180°.
追问：回忆一下，我们是如何进行折叠和拼剪的呢？
折叠法(如下图)：
→
∠1+∠2+∠3=180°。
拼剪法(如下图)：
三个内角的和仍然是180°.
追问：你是怎样思考的呢？
设计意图：探究三角形的内角和是180°，结合小学的探究方法，让学生进一步认识、了解“三角形的内角和等于180°”.
【观察思考】
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的：
(1)剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3(如下左图).
(2)将∠1撕下，按照如上右图进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，∠1的一条边与∠2的一条边重合.
利用右图，小明说明了三角形三个内角的和为 180°.你知道他是如何说明的吗 说说你的想法，并与同伴进行交流.
预设：由于a与b平行，根据两直线平行，内错角相等，则∠1=∠4；
根据两直线平行，同位角相等，则∠3=∠5.
由平角的定义知，∠1+∠2+∠5=180°，则∠2+∠3+∠4=180°.
设计意图：在小学方法的基础上，进一步思考小明的做法，实现了从直观操作到推理思辨的转化与升华，不仅复习巩固了平行线的有关知识，而且为以后证明三角形的内角和定理积累经验.
追问：现在，你得到这个三角形的内角和了吗？
【归纳总结】
三角形的内角和等于180°.
符号语言：如下图，∠A+∠B+∠C=180°.
注意：对于任意三角形都成立.
设计意图：通过归纳总结三角形的内角和，培养学生的总结概括能力.
【做一做】
在△ABC中：
(1)如果∠A+∠B=∠C，那么∠C等于多少度？
(2)如果∠A+∠B=2∠C，那么∠C等于多少度？
分析：三角形的内角和等于180°.
解：(1)因为三角形的内角和等于180°，
所以∠A+∠B+∠C=180°.
又有∠A+∠B=∠C，
所以∠C=180°÷2=90°.
(2)因为三角形的内角和等于180°，
所以∠A+∠B+∠C=180°.
又有∠A+∠B=2∠C，
所以∠C=180°÷3=60°.
【思考交流】
教师活动：通过思考交流活动，引出三角形进行按角分类的内容，接着讲解了直角三角形的相关概念及两锐角互余的性质，最后通过观察几个不同三角形边的长度引出三角形按边进行分类，从而探索三角形的三边之间的关系.
(1)下图中第一个三角形被遮住的两个内角是什么角？第二个三角形的呢？试着说明理由．
预设：两个三角形被遮住的两个内角都是锐角.理由：因为露出的角分别是直角和钝角，根据三角形的三个内角和等于180°，所以另外两个内角都是锐角.
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角
预设：三角形被遮住的两个内角可能是两个锐角、或是一锐角一直角、或是一钝角一锐角.
设计意图：通过活动，让学生知道三角形的内角有三种情况，目的是引出三角形按角进行分类的内容.鼓励学生有条理地表达自己的思考过程.
（3）对比(1)与(2)的结果，你能得到什么？
预设：对于任意一个三角形，三个内角可能：
①都是锐角；
②一个直角两个锐角；
③一个钝角两个锐角.
概念：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形.
设计意图：通过对比(1)与(2)的结果，得出了三角形的按角分类的内容及三种三角形的概念.
追问：你能按角给三角形分类吗？
预设：我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
追问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角？
直角三角形的相关概念：
直角三角形的表示法：用符号“Rt△”表示.
直角三角形的写法：直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”. 如图：把直角所对的边称为直角三角形的斜边, 夹直角的两条边称为直角边.
【尝试思考】
直角三角形两个锐角之间有什么关系呢？
预设：根据∠A+∠B+∠C=180°，
又因为∠C=90°，
所以∠A+∠B=180°- ∠C=90°.
归纳：直角三角形的两个锐角互余.
设计意图：明确直角三角形的相关概念及直角三角形两锐角互余.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 如下图，在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A，∠B，∠C的度数.
分析：三角形的内角和等于180°；
由“∠B=3∠A，∠C=5∠A”可得到三个角之间的倍数关系；
根据三个角的关系，及其它们的和是180°计算即可.
解：(1)因为三角形的内角和等于180°，
所以∠A+∠B+∠C=180°.
所以∠A+3∠A+5∠A=180°，
即9∠A=180°.
所以∠A=20°，∠B=3×20°=60°，
∠C=5×20°=100°.
例2 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，∠ADB=90°，∠1=∠B.若按角分类，△ABC是什么形状的三角形？为什么？
分析：由∠ADB=90°,则∠B+∠2=90°，从而∠1+∠2=90°，即可判断△ABC是直角三角形.
解:△ABC是直角三角形.理由如下：
因为∠ADB=90°，所以△ADB是直角三角形.
所以∠B+∠2=90°.
又因为∠1=∠B，
所以∠BAC=∠1+∠2=∠B+∠2=90°.
所以△ABC是直角三角形.
设计意图：通过典型例题的分析和讲解,让学生能够熟悉并掌握如何运用三角形的内角和知识解决问题.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 在△ABC中：
(1)已知：∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C= ；
(2)已知：∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C= .
解析：根据“三角形的内角和等于180°”计算即可.
答案：(1) 30°；(2) 75°.
2. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数.
解：在△ABC中，
∠B=70°，∠BAC=46°，
所以∠C=180°–70°–46°=64°.
在Rt△ADC，
∠C=64°，∠ADC=90°，
所以∠CAD=180°–64°–90°=26°.
3.解：(1)直角三角形有3个，分别是：
Rt△ACB，直角边是AC、BC，斜边AB.
Rt△ADC，直角边是AD、CD，斜边AC.
Rt△BDC，直角边是BD、CD，斜边BC.
(2) ∠ACD和∠A互余,∠BCD和∠A相等.
理由：在Rt△ADC中，
∵ CD⊥AB ，
∴∠ADC =90°.
又∵ ∠ACD＋∠A ＋ ∠ADC =180°，
∴ ∠ACD＋∠A =90°.
又∵ ∠ACD＋ ∠BCD= 90°，
∴ ∠BCD=∠A.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

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