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第八章 三角形
8.1 与三角形有关的边和角
第2课时 三角形的中线、角平分线和高
本节课《三角形的中线、角平分线和高》是华东师大版初中数学七年级下册第八章第一节《与三角形有关的边和角》第二课时的内容．本节课的学习内容是三角形的中线、角平分线和高，并学习三角形的中线、角平分线和高在各类型三角形的特征，这是在学习了三角形的基本概念及分类的基础上，对三角形的进一步认知，为后续学习三角形的性质、多边形等知识奠定基础．
学生在上节课已经接触过三角形的概念及分类，已经具备了一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，但对三角形的的认识还不够多，需要进一步的探究和学习．同时，学生对新鲜事物充满好奇，喜欢动手操作，但注意力容易分散，需要教师进行有效的引导和激励．
1．掌握三角形的中线、角平分线和高线，并能在具体的三角形中画出它们．
2．能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题．
3．经历画图、观察、操作、描述等实践过程，以此加深对知识的理解，感受数学语言的准确性．
4．通过教学活动，激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生乐于探究、敢于探究．
重点：掌握三角形的中线、角平分线和高线．
难点：能在具体的三角形中对应的中线、角平分线和高线．
情境导入
观察动画，回答问题：
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？
师生活动：学生通过观察动画，思考并回答．
设计意图：让学生观察后思考，发现在变化过程中出现的特殊的线段，为新课的学习做好准备．
探究新知
活动一：三角形的中线
思考：一块三角形蛋糕，如何经过一个顶点，将其分成面积相等的两块蛋糕？
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
答：将三角形蛋糕看成一个三角形，取三角形一边的中点与对角连线，所分的两个三角形面积相等，即把蛋糕分成了两个面积相等的蛋糕．
三角形的中线：如图所示，取△ABC边AB的中点E，连结CE．
线段CE就是△ABC的一条中线．
符号语言：∵CE是△ABC的中线，∴．
提问：你能画出几条中线？
答：三角形有3条边，所以可以画3条中线
设计意图：通过探究活动，提高学生的观察能力，并引出三角形的中线的概念．发展学生的语言表述能力及用数学语言表达问题的能力．
【操作】
（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线．它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
（2）直角三角形和钝角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．
引导学生动手画一画三种三角形的中线，并说出自己的想法．
预设：（1）锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部一点．
（2）直角、钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部一点．
提问：说一说三角形的中线有啥特征呢？
归纳：（1）任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
（2）三角形的中线是一条线段．
设计意图：让学生动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作，加深对三角形的中线的理解．
活动二：三角形的角平分线
问题：（1）任意画一个角，并画出这个角的角平分线，你能得出什么结论？
（2）在纸上画一个三角形，你能画出它的一个内角的角平分线吗？
答案：角的平分线是一条射线，
三角形的角平分线是一条线段．
三角形的角平分线：如图所示，作△ABC的内角∠BAC的平分线交对边BC于点D．
线段AD就是△ABC的一条角平分线．
符号语言：∵AD是△ABC的角平分线，
∴
提问：你能画出几条角平分线？
答：三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线
设计意图：通过操作活动，提高学生的观察能力，并引出三角形的角平分线的概念．发展学生的语言表述能力及用数学语言表达问题的能力．
【操作】
画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的角平分线．你发现了什么？
归纳：三角形的三条角平分线交于三角形内一点
设计意图：让学生动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作，加深对三角形的角平分线的理解．
活动三：三角形的高
问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
三角形的高：如图所示，过顶点B作△ABC边AC的垂线，垂足为点F．线段BF就是△ABC的一条高．
符号语言：∵BF是△ABC的高，
∴，()．
提问：你能画出几条高？
答：三角形有3条边，所以可以画3条高
设计意图：通过回忆画已知直线的垂线，引出三角形的高的概念．发展学生的语言表述能力及用数学语言表达问题的能力．
【操作】
画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高．你发现了什么？
答：
归纳：
设计意图：让学生动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作，加深对三角形的高的理解．
应用新知
经典例题
例 如图，AD是△ABC的中线，，垂足是点F．
（1）AF是图中哪几个三角形的高？
（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由．
分析：（1）根据三角形高的定义直接判断即可．
（2）由AD是△ABC的中线，则；再由△ABD与△ACD底边相等，且高相同，得两三角形的面积相等．
解：（1）AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC和△AFC的高．
（2）△ABD与△ACD的面积相等，理由如下：
因为，所以．
由三角形的面积公式可知，△ABD与△ACD的面积相等．
设计意图：通过例题的解答，既检测了学生对三角形高线和中线掌握程度，又让学生感受到应用的乐趣！
课堂练习
1．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点
答：A．
2．如图，△ABC是等腰三角形，．试画出边BC上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？
答：如图所示，等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线三条线重合，即三线合一．
3．在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论．
解：若该直角三角形是等腰直角三角形，
则图形中有3个等腰三角形；
若该直角三角形不是等腰三角形，
则图形中有2个等腰三角形．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形的中线、角平分线和高．
课堂检测
限时训练
1．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：B．
2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
答案：B．
3．如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴
∵在△ABD中，
∴
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对三角形的中线、角平分线和高的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．什么是三角形的中线、角平分线和高？
3．三角形的中线、角平分线和高的特征？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
任意的画一个三角形，分别画出这个三角形的高、中线和角平分线！
《三角形的中线、角平分线和高》是认识三角形的重要内容之一，不仅是学生学习后续几何知识的基础，也是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要环节．在本节课中，我把三角形中的线与实际生活紧密联系起来，让学生体会到数学从生活中来，又到生活中去，感受数学就在身边，生活离不开数学．整堂课通过动手画三角形的中线、角平分线和高，抽象出它们的特征．它不仅帮助学生认识三角形这一基本几何图形，并理解三角形的中线、角平分线和高的特征，也是后续学习更复杂几何知识的基础．因此，确保学生能够准确理解三角形的中线、角平分线和高，对于培养他们的空间想象力和几何思维至关重要．

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