资源简介

第八章 三角形
8.1 与三角形有关的边和角
第3课时 三角形的内角和
本节课《三角形的内角和》是华东师大版初中数学七年级下册第八章第一节《与三角形有关的边和角》第三课时的内容．本节课的学习内容是通过复习小学时学习的三角形内角和简拼方法，理解并掌握三角形的内角和，学会用几何方法证明三角形内角和及直角三角形的锐角的关系，并且学会应用三角形内角和解决复杂几何问题．这是在初步认识三角形和研究了平行线基础上进行的，是进一步研究三角形的外角的性质，进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础．
学生在小学阶段已经通过测量和拼接的方法初步验证了三角形的内角和为180°，但缺乏严格的几何证明．到了七年级下册，学生已经具备了一定的几何知识和逻辑推理能力，能够理解平行线的性质和简单的几何证明．然而，部分学生可能在几何语言的表达和逻辑推理上存在困难，因此教学中需要注重引导和启发，帮助学生逐步掌握几何证明的方法．
1．能理解三角形的内角和是180°及直角三角形两个锐角的关系．
2．在探究三角形内角和的过程中，通过对三角形内角和及其推论进行推导证明，培养学生的几何直观能力．
3．学会应用三角形内角和定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，培养逻辑推理能力，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识．
4．经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力．
重点：理解并掌握三角形内角和等于180°及直角三角形两个锐角的关系．
难点：应用三角形内角和定理及直角三角形的性质解决简单的几何问题．
情境导入
我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角．
还有折叠的方法:
得出结论：三角形的内角和等于180°．
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
设计意图：回顾小学以简拼和折叠的方法得到三角形的内角和，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下伏笔．
探究新知
活动一：证明三角形的内角和是180°
思考：我们学过哪些与180°有关的角？
答：1平角＝180°．
通过撕拼的过程，能不能发现一些证明的思路呢？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明．
证明：如图，延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作，
则（同位角相等，两直线平行），
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换）．
追问：你还有其他方法吗？
证明：过点A作直线l，使．
∵ ，
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
思考：通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
小结：借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角．
归纳：三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°．
几何语言：
在△ABC中，
°．
设计意图：通过几何推导，进一步巩固三角形内角和是180°的理解，提高推导证明能力，为后面探究三角形外角的性质做准备．
活动二：直角三角形的性质
思考：如图，在直角三角形ABC中，，∠A与∠B有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生动手测量，再举手回答问题．
答：∠A与∠B互余，理由如下：
由三角形的内角和等于180°，得
．
又∵，
∴．
即∠A与∠B互余．
归纳：直角三角形的两个锐角互余．
几何语言：如图，在直角△ABC中，
∵，
∴．
注意：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
设计意图：培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高几何逻辑推导能力．
应用新知
经典例题
例1 如图，AD是△ABC的边BC上的高，，．求∠BAC的度数．
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
解：在Rt△ABD中，
∵（直角三角形的两个锐角互余），
∴（等式性质）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
在△ABC中，
∵(三角形的内角和等于180°)，
∴（等式性质）．
又∵（已求），（已知），
∴（等量代换）．
活动三：直角三角形的判定
思考：我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
答：是直角三角形．理由如下：
由三角形的内角和等于180°，得
．
又∵，
∴．
即△ABC是直角三角形．
归纳：有两个角互余的三角形是直角三角形．
几何语言：如图，在△ABC中，
∵，
∴△ABC是直角三角形
例2 在△ABC中，，则此三角形是（ ）．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解：，所以，
根据，所以，解得
所以，，
所以，此三角形是直角三角形．故选B．
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深对三角形内角和的证明方法的认识．激发学生的求知欲望，感受几何的魅力．
课堂练习
如图，，则_____．
答：280°．
2．在△ABC中，，．求∠A、∠B和∠C的度数．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
3．在△ABC中，，．求△ABC的各内角的度数．
解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
如图，在Rt△ABC中，，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，． 试说明△BDE是直角三角形．
解：∵，∴．
在△BDE中，∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴△BDE 是直角三角形．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形的内角和及直角三角形中两锐角的关系．
课堂检测
限时训练
1．在一个三角形中，有两个内角度数分别是25°和55°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
答：B．
2．在△ABC中，，求∠A、∠B、∠C的度数．
解：设，则、
因为三角形内角和等于180°，所以：
，解得，
，
答：∠A为45°，∠B为45°，∠C为90°．
3．将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中，较长的边，则∠FAD的度数是（ ）．
A．30° B．25° C．10° D．15°
解：因为，，所以，
由题意得，，所以，
由题意得，，，
所以．故选D．
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对本节课所学内容的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．三角形的内角和是多少？
3．如何推导得到三角形内角和？
4．直角三角形两个锐角的关系如何？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
你还有其他方法证明三角形内角和是180°吗？跟小伙伴们分享吧！
《三角形的内角和》是初中几何的核心内容之一，它不仅是探究多边形内角和的基础，更是培养学生逻辑推理能力和严谨数学思维的关键环节．本节课通过“猜想—验证—应用”的主线展开，将数学知识与生活实际紧密结合．教学中，充分利用学生动手测量（如撕拼法、量角器验证）等直观手段，帮助学生从具体操作中抽象出数学结论，深化对“三角形内角和为180°”的理解．课堂中通过小组合作、问题链引导，激发学生主动探究，逐步掌握定理的证明与应用．整体来看，学生通过实践操作和思维碰撞，能够较好地掌握内角和定理及其推导方法，并能在例题和变式练习中灵活运用，为以后的学习打下基础．

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