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第八章 三角形
8.1 与三角形有关的边和角
第4课时 三角形的外角及外角和
本节课《三角形的外角及外角和》是华东师大版初中数学七年级下册第八章第一节《与三角形有关的边和角》第四课时的内容．本节课的内容是在学习了三角形的内角和基础上进行探究的，前面已经初步了解了三角形外角的概念，本节课重点探究并掌握三角形的外角性质及外角和，学会用几何方法证明三角形的外角和，并且学会应用三角形外角性质及外角和解决几何问题．
学生已了解了三角形外角的概念，但三角形的外角究竟有什么样的性质，外角和是怎样的，都没有进行深入的探究．到了本节课，学生已经具备了一定的几何知识和逻辑推理能力，能够利用三角形的内角和及简单的几何推理得到三角形的外角性质及外角和．然而，部分学生可能在几何语言的表达和逻辑推理上存在困难，因此教学中需要注重引导和启发，帮助学生逐步掌握几何证明的方法．
1．理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和．
2．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．
3．联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和．
4．结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间的关系转化．
重点：理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和．
难点：应用三角形外角性质及外角和解决简单的几何问题．
复习回顾
问题1：如图，△ABC中内角是什么，有什么关系？
答：每两条边所组成的角．三角形的内角和等于180°．
问题2：什么是外角呢？
答：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．
问题3：三角形的外角具有哪些性质呢？
设计意图：回顾旧知，为接下来探究三角形的外角性质做铺垫．
探究新知
活动一：三角形的外角性质
探究：以同桌为一个小组，请同学们拿出撕开的三角形，观察三角形的内角与外角之间有什么联系，看看哪个小组完成的最快，最先发现问题．
大家得出了什么结论呢？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
归纳：一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．
外角＋相邻的内角＝180°
思考：外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于180°，我们有
由上面两个式子，可以推出
因而可以得到外角∠CBD与两个不相邻的内角之间的关系：
归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
如图，
试一试：判断下列角的大小．
∠CBD______∠C，∠CBD______∠A
解：根据，可得，．
归纳：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
设计意图：通过动画演示，感受三角形的内角与外角的关系，并进行推导证明，从而得到外角的两个性质．
活动二：三角形的外角和
思考：(1)观察图形，形成了几个外角？
师生活动：教师提出问题，学生观察思考，再举手回答问题．
答：（1）三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角．
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
思考：（2）如何求三角形的外角和？
做一做：求三角形的外角和．
如图，，，．
三式相加，可以得到
， ①
而②
将①与②相比较，你能得出什么结论？
答：
由此可知：三角形的外角和等于360°．
思考：还有其它的方法说明这一结论吗？
如图，试说明△ABC的外角和等于360°．
解：过点A作，
∴，（两直线平行，同位角相等）．
又∵，
∴．
∴△ABC的外角和等于360°．
设计意图：明确三角形外角和的概念，并引导学生推导三角形的外角和，培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高几何逻辑推导能力．
应用新知
经典例题
例 如图，D是△ABC的边BC上一点，，，．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数．
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
（2）∵（三角形的内角和等于180°），
∴（等式的性质）．
又∵（已求），（已知），
∴（等量代换）．
设计意图：通过例题的学习，明确解题的思路，规范学生的作答的书写格式，培养学生的动手动脑能力，感受几何的魅力．
课堂练习
1．一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或锐角吗？为什么？
解：一个三角形不可以有两个内角都是直角，不可以有两个内角都是钝角，可以且一定有两个内角都是锐角．
当一个三角形中有两个直角或钝角时，三个内角之和会大于180°，这与三角形的内角和等于 180°矛盾．
2．说出下列各图中∠1的度数．
答：①90°，②95°，③85°．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：(1)∵（已知），
∴．
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴（等量代换）．
(2)∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴（等式的性质）．
∵（已知），∴（等量代换）．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形的外角及外角和，培养学生的应用意识．
课堂检测
限时训练
如图，∠CBD是△ABC的一个外角，若，，则_____．
答：36°．
2．如图，说出图形中∠1和∠2的度数．
答：40°，140°；110°，70°；50°，140°．
3．如图，是一个五角星，求的度数．
解：∵，
，
，
∴．
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对本节课所学内容的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．三角形的外角性质有哪些？
3．三角形的外角和是多少？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
你还有其他方法证明三角形外角和是360°吗？与同学交流！
《三角形的外角及外角和》是初中几何的核心内容之一，它不仅是探究多边形内角和的基础，更是培养学生逻辑推理能力和严谨数学思维的关键环节．课堂中通过小组合作、问题链引导，激发学生主动探究，逐步掌握性质的证明与应用．整体来看，学生通过实践操作和思维碰撞，能够较好地掌握外角和定理及其推导方法，并能在例题和变式练习中灵活运用，为以后的学习打下基础．

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