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第十章 二元一次方程组
10.1《二元一次方程组的概念》
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第十章 二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念.
方程是重要的数学基本概念，也是解决问题的重要工具、思想、模型，是代数学的核心内容.一元一次方程是在用字母表示未知数的基础上，进一步用含有未知数的式子表示实际问题中的相关量，再根据实际问题中的相等关系列出方程，由于限定只能用一个未知数，这就要找到其它的未知量和未知数之间的等量关系，利用这个等量关系来把其它的未知量也用含有这个未知数的式子表示出来．如果根据实际问题的需要设两个(或三个)未知数，则可以不必费心地用一个未知数来表示其它的未知量，直接利用实际问题中的等量关系列出多个方程，组成方程组，这样可以简化思考的过程，使问题解决变得更简单.
通过发现和表达具体问题中的数量及数量关系，找出等量关系，引入未知数，进而列出方程(组),归纳方程(组)特征并进行命名，再进行解方程(组)得到方程(组)的解，并检验是否为实际问题的解，是解决实际问题的一种方法，更是落实“数学抽象、数学建模”核心素养的极好载体．
基于以上分析，本节课的教学重点是：了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
学生已经了解一元一次方程、解一元一次方程及一元一次方程的解等概念，通过设未知数，寻找等量关系，列一元一次方程解诀问题，由此，本课时教学选择合适的情境，通过有针对性的问题，引导学生设两个未知数，列二元一次方程组来解决实际问题，从而发现与解一元一次方程的方法、思路是一样的，体会列二元一次方程组解决实际问题的简洁性和优越性，从而提高学习二元一次方程组的积极性.
基于以上分析，本节课的教学难点是：通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程组，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.
1.了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
2.通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程组，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．
3.通过对实际问题的分析及解决，学会用多种方法解决问题，培养学生的创新意识.
4.实际生活与数学息息相关，存在紧密的联系，增强学生学习数学的兴趣.
重点：了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
难点: 通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程组，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.
本章引入
问题1：什么是一元一次方程？
答：只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形，例如：新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1h 完成1 hm2棉田的采摘.
问：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
在这个问题中，要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢
在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.在此基础上，学习三元一次方程组及其解法，通过本章的学习，你将对方程(组)有新的认识.
情境导入
问题2：七(1)班要开展数学节活动，为了奖励表现优秀的同学，小明为班级购买奖品后与小颖的对话如下：
小明：我买了两种水笔，共 10支，单价分别为 6元和 10 元，买奖品前我领了 100 元，现在还剩26元.
小颖：你肯定搞错了！
请用方程的知识帮助小明计算一下，为什么小颖说他搞错了.
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
设计意图：通过学生熟悉的实际问题引入，吸引学生的课堂注意力:由浅入深，激发学习兴趣.
探究新知
活动一：探究二元一次方程组的定义
问题3：列方程要先找到相等关系，本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系 若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗
师生活动:学生独立思考然后讨论列出方程，教师巡视，选两名学生作答.
答：相等关系：问题包含两个必须同时满足的相等关系：
①大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数
x+y=6
②大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积
2x+y=8
设计意图：用引言的问题引入本节课内容，列二元一次方程，为后面教学做好了铺垫.
问题4：观察思考：
(1)上面的两个方程有什么特点
(2)它们与一元一次方程有什么不同
师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而解决问题.
答：特点：①含有两个未知数；
②等式两边都是整式；
③含有未知数的项的次数都是1.
含有两个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
设计意图：从实际出发，引入二元一次方程的概念，符合学生的认知过程.
问题5：二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结.
答：相同：都是一次方程.
不同：含未知数个数不同.
总结：判断一个方程是否是二元一次方程必须满足以下条件：
(1)有且只有两个未知数；
(2)含有未知数的项的次数都是1；
(3)方程的左右两边都必须是整式；
(4)化简后未知数的系数不为0.
设计意图：培养学生的自主学习能力和归纳总结能力，锻炼学生的实践能力.
问题6：方程 x+y＝6 和 2x+y＝8中，x的含义相同吗？y呢？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考并举手回答.
答：x所代表的都是大型采棉机；y所代表的都是小型采棉机
所以x，y必须同时满足方程x+y＝6 ①
和 2x+y＝8. ②
把这两个方程合在一起，写成
x＋y＝6，
2x＋y＝8.
组成一个方程组.
含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的两个方程组成的方程组叫做二元一次方程组.
总结：二元一次方程组的特点：
①方程组中共有2个不同未知数；
②方程组有2个一次方程；
③一般用大括号把2个方程连起来.
设计意图：让学生经历合作探究的过程，通过类比一元一次方程得出二元一次方程(组)的概念；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力.
活动二：探究二元一次方程(组)的解的定义
问题7：满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些 把它们填入表中.
上表中哪对x，y的值还满足方程②
师生活动:教师提出问题，学生思考后举手回答.
答：
由上表可知，x=1，y=5；x=2，y=4；…；x=5，y=1使方程 x+y=6 两边的值相等，它们都是方程 x+y=6 的解.
设计意图:通过表格的形式呈现符合要求的x与y的值，帮助学生有效观察.
问题8：如果不考虑方程表示的实际意义，方程①还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
答： x=-1，y=7；x=0.1，y=5.9；……也都是方程 x+y=6的解，能找到无数多组x，y的值满足方程①.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
表示形式：
注意：一个二元一次方程有无数个解.
问题9：上表中，哪对x，y的值还满足方程 2x+y＝8 ②
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结.
答：x=2，y=4既满足方程①x+y＝6，又满足方程②2x+y＝8.也就是说x=2，y=4是方程①与方程②的公共解.
我们把x=2，y=4叫作二元一次方程组 的解，这个解通常记作.
联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.
注意：一般，二元一次方程组有且只有一组解.
设计意图:发展抽象能力和推理能力，初步培养模型意识和观念.
你能运用本节课所学的知识，解决情境中的问题吗？
两种水笔，共 10支，单价分别为 6元和 10 元，买奖品前领了 100 元，现在还剩26元.
分析：设单价为6元的水笔购买了x支，单价为10元的水笔购买了y支．
由题意得：
列表格找出满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的解.
上面数据没有一个能满足方程，所以小明搞错了.
设计意图:通过解决课前问题，前后呼应，使课堂教学变得完整.同时，也达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力，并让学生尝试成功的喜悦!
应用新知
【经典例题】
例1 已知 3xm-1＋(n＋2)y＝10 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值．
分析：x 的指数必须是 1，y 的系数必须不等于 0，上述方程才是二元一次方程．
解：根据二元一次方程的概念，得
m－1＝1，且n＋2≠0，
所以m＝2，n≠－2．
总结：根据条件列出关于字母参数的式子：含有未知数的项的次数都是 1，且两个未知数的系数都不为0．进而得到相应字母参数的值．
例2 已知二元一次方程组的解是 ，求a与b的值.
分析：把二元一次方程组的解带入原方程组，即可求出a与b的值．
解：把带入到方程组，得：
解得，.
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.培养发散思维能力，完善学生列方程组解决实际问题的认知结构，从而对本章的学习内容、学习方法和研究思路有一个较清晰的认识，对今后学习的多元方程的解法有基本的思路.
课堂练习
【教材练习】
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
1.某村乡村振兴项目计划把 28 t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务.这个项目改进加工方法前、后各用了多少天
2.在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在 10 场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少
分析：1题中必须满足两个条件：
①改进加工方法前用的天数+改进加工方法后用的天数=8；
②改进加工方法前加工的总量+改进加工方法后加工的总量=28.
解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天.
由题意，得.
列表格找出满足方程x+y=8，且符合问题的实际意义的解.
当x=2，y=6时，也满足方程 .
所以当是方程组的解.
答：改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.
分析：2题中必须满足两个条件：
①胜的场数+负的场数=10；
②胜场得分+负场得分=16.
解：设胜x场，负y场.
由题意，得.
列表格找出满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的解.
当x=6，y=4时，也满足方程 .
所以当是方程组的解.
答：在篮球联赛中，这个队胜6场，负4场.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.下面的方程组中，属于二元一次方程组的是( ).
A. B. C. D.
分析：满足二元一次方程组的条件：
1.含有两个未知数；
2.未知数的最高次数为1；
3.整式方程.
答：A
2.下列各组值中是二元一次方程组的解的是( ).
A. B. C. D.
分析：要判断哪一组值是该二元一次方程组的解，只需要将每组值分别带入方程组的两个方程，看是否成立.
答：C
3.已知是方程的一组解，则 .
分析：二元一次方程的解，必满足使二元一次方程两边的值相等，将解代入方程即可就出a的值.
答：
4.若方程2x2m+3+3y3n-8=0是关于x、y的二元一次方程，则m= ，n= .
分析：∵方程2x2m+3+3y3n-8=0是关于x、y的二元一次方程.
∴2m+3=1，且3n-8=1.
解得m=-1，n=3.
答：-1; 3.
5.甲种物品每个4 kg，乙种物品每个7 kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共有76 kg.
(1)列出关于x、y的二元一次方程为 ;
(2)若x=12，则y的值为 ;
(3)用列表的方式列出甲、乙两种物品个数的所有可能情况.
分析：(1)题中必须满足的等量关系为：甲种物品的重量+乙种物品的重量=76.
(2)当x=12时，带入(1)中的二元一次方程，即可求出y的值.
答：(1) 4x+7y=76
(2) 4
(3)
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.二元一次方程和二元一次方程的解的概念是什么？
3.二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
随便写一个二元一次方程，然后在平面直角坐标系中描出这个二元一次方程的解，你能发现什么？
本节课是概念教学，从学生熟悉的实际生活中，用两个未知数表示等量关系，导出二元一次方程及二元一次方程组的概念，进而探究它们的解的特征，让学生经历、体验、探究由实际问题到数学模型的完整的构建过程.
因为学生上学期已经学习了一元一次方程的知识，对方程已经有一定的了解，所以本节课学习起来相对来说难度不大.同时，本节课在设计时力求由浅入深，同时对比一元一次方程来学习，学生学习起来更容易接受和消化.
在教学环节设计时，本着以学生为主体，老师是主导的原则，尽可能给学生提供充分的探索交流空间，使大多数同学融入到教学的每个环节中去，使学生在经历探究、思考、交流、归纳总结，及时练习等活动中自然的获取知识.
整个教学过程学生表现积极，各个环节都能有序进行，比较成功的完成了预设的教学目标.但也有不足，个别学生因计算能力不足，理解能力不够，并不能准确及时的完成相关练习，在今后的教学过程中，还应加强学生基础知识，尤其是计算能力和理解能力的提升.

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