资源简介

第十章 二元一次方程组
10.2《消元——解二元一次方程组》
第1课时 代入消元法.
《消元——解二元一次方程组》是义务教育课程标准人教版七年级(下)第十章《二元一次方程组》的第二节内容.本章节内容分两课时，本节课为第1课时，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求学生能选择其中一个方程用其中一个未知数表示另一个未知数，并将其代入另一个方程，消元后解出未知数的值，然后再将其未知数的值代入方程求解另一个未知数的值，从而求出方程组的解．
这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组，是在学生学习了一元一次方程后，又一次数学建模思想的教学，培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是为今后学生学习三元一次方程组，二元二次方程组、函数奠定基础.
七年级学生具有强烈的好奇心和求知欲，在学习中通过多次的数学实践活动，已经基本掌握主动探索，共同研究、合作学习的方法，积极引导他们利用己知知识解决未知问题.
学生已经掌握了有理数运算、整式的运算、一元一次方程等知识，本章第一节中学习了二元一次方程组的基本概念和方程组的解等基础知识.通过引导学生充分的观察、思考、讨论、动手，让学生明确算法与算理，使学生真正成为课堂的主人，逐步培养学生能力.
1.会用代入消元法解二元一次方程组；
2.通过代入法解二元一次方程组，体会从未知到已知的转化思想；
3.经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会消元和化归思想，感悟数学的应用价值，感受丰富的数学文化；
4.通过探究二元一次方程组的解法、经历解二元一次方程组的过程，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
重点：会用代入消元法解二元一次方程组.
难点: 通过代入法解二元一次方程组，体会从未知到已知的转化思想.
情境导入
问题1：《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上.树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多.”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗
如果我们设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子，怎么列方程组呢？
答：
追问：可是怎么能快速解这个方程组呢
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
设计意图：通过小故事展示，激发学生学习兴趣，考察学生处理实际问题的能力，列二元一次方程组，自然地引出我们要研究和解决的问题．
探究新知
活动一：探究代入消元法解二元一次方程组的方法
问题2：在上一节中，我们根据本章引言中的问题列出了方程组，若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，可以列方程组：. 如果只设一个未知数，这个问题可以解决吗
新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
师生活动:学生独立思考然后讨论列出方程，教师巡视，选两名学生作答.
解:设这个种棉大户租用x台大型采棉机，则租用(6-x)台小型采棉机.
相等关系：大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积
2x+(6-x)=8
问题3：(1)采用不同的设未知数的方法，列出的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
(2)你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
→？ 2x+(6-x)=8
师生活动:教师引导学生分别用一元一次方程和二元一次方程组解决问题，观察、分析这两个模型的区别与联系.
答： (1)
(2) 中的y都表示租用小型采棉机的台数，具有相同的实际意义.
由得到y的表达式：y=6-x，代入，转化为一元一次方程求解：2x+(6-x)=8 解得x=2，带入y=6-x得y=4.
设计意图：通过问题的设置让学生观察二元一次方程组和一元一次方程的结构特点，引出二元一次方程组和一元一次方程之间的关系，从中体会二元一次方程组可以转化为一元一次方程以及将未知转化为已知，将陌生转化为熟悉的化归思想，为探究解二元一次方程组的方法做铺垫.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做代入消元法. 简称代入法.
问题4：回顾解方程组的过程，你能总结出代入法解二元一次方程组的一般步骤吗？
师生活动:让学生表达自己的解题思路与方法，教师用PPT展示，学生讨论后交流，教师总结补充，说出解二元一次方程组的基本步骤.
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
代：将新式子代入到另一个方程中得一元一次方程
求：解消元后的一元一次方程进而求出两个未知数的值
解：写出方程组的解
设计意图：梳理代入法解二元一次方程组的步骤，加深理解.
问题5：用代入法解方程组.
师生活动:认真分析思考，并计算.试着写出相应的过程.
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便.
解：由① ，得 x=y+3 ③
把③代入②，得3(y+3)-8y=14.
解这个方程，得 y= –1.
追问：把③代入①可以吗？
答：把③代入①，得y+3-y=3，即3=3，所以不可以.
由于方程③是由方程①变形而来的，把③代入①后只能得到一个恒等式.
把y= –1代入③，得x=2.
所以这个方程组的解是 .
追问：把y= –1代入①或②可以吗？
答：把 y= –1代入①、②、③都可以求出x的值，但代入③最简便.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
设计意图：强调代入消元法解二元一次方程组，加深理解．通过几个问题的追问，让学生进一步理解代入消元法的本质.便于学生灵活运用代入法解二元一次方程组.并利用此题给出解方程组的框图，让学生体会程序化思路.
你能运用本节课所学的知识，解决情境中的问题吗？
我们可以设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子，得到方程组.可是这个方程组怎么解呢
师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而解决问题.
解：
由② ，得 ③
把③代入①，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
设计意图:通过解决课前问题，前后呼应，使课堂教学变得完整.同时，也达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力，并让学生尝试成功的喜悦!
应用新知
【教材例题】
例1 用代入法解方程组
分析：方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便.
解：由② ，得 y=2x-16 ③
把③代入①，得 3x-5(2x-16)=3.
解这个方程，得 x= 11.
把x= 11代入③，得 y=6.
所以这个方程组的解是 .
师生活动：教师在黑板上展示例题，学生认真分析思考，找一名学生上台展示，试着写出相应的过程，其他同学在作业本上计算.
设计意图：让学生结合思维引导，更进一步体会二元一次方程组转化为一元一次方程的方法,从而更加深入了解“消元”思想及代入消元法.
借助例题，让学生先分析结题思路，并对比、确定消哪个未知数更便捷.使学生再次经历代入法解二元一次方程组的过程，
【经典例题】
例2 小婷知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗 说说你的方法．
分析：把x与y的两对值代入方程得到关于a与b的方程组，求出方程组的解，得到a与b的值，再把x=3，y=4代入检验即可.
解：∵ 和 都是二元一次方程的解，
∴ . 解得
代入二元一次方程，得.
将 代入，得，
∴ 不是方程的解.
例3 已知关于、的方程组的解互为相反数，求的值.
分析：方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，由于x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组中消去y，得到关于x与m的方程组，消去x即可求出m的值.
解：由题意得：，代入方程组
得：
由① ，得 ③
把③代入②，得 . 解得：.
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，鼓励学生用多种方法解二元一次方程组，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，了解整体代入思想.
课堂练习
【教材练习】
1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式:
(1); (2)
分析：用含x的式子表示y，就是把x看做已知数，y看做未知数，解出y即可.
解：(1)
(2)
2.用代入法解下列方程组:
(1) (2) (3) (4)
分析：根据“变、代、求、解”的步骤，先对方程组中的一个方程进行变形，然后代入另一个方程中，进而求出两个未知数的值即可得出答案.
解：(1)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
解：(2)
由② ，得 ③
把③代入①，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
解：(3)
由②，得 ③
把③代入① ，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
解：(4)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.对于二元一次方程组，将①式代入②式，削去y可以得到 ( ).
A. B.
C. D.
分析：将①式代入②式，得，即.故选B.
答：B
2.二元一次方程组的解是( ).
A. B. C. D.
分析：将方程代入得，解得，将代入得，解得.
方程组的解为，故选C.
答：C.
3.若，且，则 ， .
分析：∵.
∴
把代入，得.
解得，
把代入，得.
故答案为3；2.
答：3；2.
4.若方程组，则 .(用含的代数式表示)
分析：将代入，得.
化简得，
∴
故答案为:.
答：.
5.已知、满足方程组，求代数式的值.
解：
解方程组，得.
当，时，原式=-2×(-1)×2+5×22=24.
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.消元解二元一次方程组的核心思想是什么？
3.代入法的概念是什么？
4.消元解二元一次方程组的步骤是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
用代入消元法解二元一次方程组是《解二元一次方程组》的第一课时，这堂课的内容对于学生来说相对比较简单，学生已具备解一元一次方程和用含未知数的代数式表示另一个未知数的基础，因而学生有能力自主探索出用代入法解二元一次方程组的方法，在教学中让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想.
本节课我从问题入手，引导学生对比一元一次方程与二元一次方程组中的根据相同的等量关系所列的方程，发现谁代换了谁，从而探索归纳出用代入消元法解二元一次方程组的方法.师生共同用代入法解一道二元一次方程组，目的是让学生明确解二元一次方程组的过程，同时规范每一步的书写要求.再由学生独立用代入法求解二元一次方程组，其中一名学生板演，目的在于发现学生在求解过程中可能出现的问题，从而进一步强调用代入消元法解二元一次方程组的步骤及注意点，由学生独立练习，达到完全掌握用代入法解二元一次方程组的目的.
对于本节课的一些思考：课堂上，应尽可能多地给学生创造合作交流的机会.由于本节课的内容是纯计算问题，学习解方程组的方法，似乎没什么可让学生交流的机会，但是做为教师应尽可能地给学生创造交流机会，让学生上台展示.课堂教学中每一个学生的学习速度与接受能力是不同的，尤其在问题情景教学中，学生必然有一个摸索的过程，在这个过程中又难免遇到许多困难，或多或少会走一些弯路，要给他们创设一个平等和谐的学习氛围.因此，今后在课堂还要善于关注学生的个体差异，需要有针对性的设计不同层次、不同类型的问题，使学生都有机会参与到教学活动和实验活动中去，让他们自己有主人翁的感觉，切实与同学真诚合作，体验完成一项活动任务的成功喜悦，让他们都能在学习过程中有所收获.

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