资源简介

第十章 二元一次方程组
10.2《消元——解二元一次方程组》
第2课时 代入消元法
本节课是人教版七年级下册第十章《二元一次方程组》的重要内容.在此之前，学生已学习了二元一次方程组的基本概念，对用代入消元法解简单二元一次方程组有了初步认识.而本节课聚焦于用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组，是对之前知识的深化与拓展.通过解决这类复杂方程组，学生能进一步体会消元思想，提升运算能力与逻辑思维能力，为后续学习三元一次方程组以及函数等知识奠定坚实基础，在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用．
学生在之前已学习了一元一次方程的解法以及二元一次方程组的基本概念和简单的代入消元法，对解方程有了一定的基础和方法.但对于稍微复杂的二元一次方程组，可能存在以下困难：一是在选择哪个方程进行变形以及如何变形时，缺乏清晰的思路和判断能力；二是在代入过程中，由于方程中系数较为复杂，容易出现计算错误；三是对于整体代入等较为灵活的方法，理解和运用上存在一定障碍. 七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观、具体的问题较为容易理解，而对于抽象的数学思想和复杂的运算过程，需要教师通过引导、示范和练习，帮助他们逐步掌握.
1.会用代入法解未知数系数不为1或-1的二元一次方程组，提升运算能力；
2.培养学生的分析能力，学会选择系数较简单的方程进行变形；
3.利用二元一次方程组解决简单的实际问题，体会消元和化归思想，感悟数学的应用价值，感受丰富的数学文化；
4.培养学生的合作精神，体验探究的乐趣，增强学习数学的自信心.
重点：会用代入法解未知数系数不为1或-1的二元一次方程组，提升运算能力.
难点: 培养学生的分析能力，学会选择系数较简单的方程进行变形.
情境导入
问题1：《御制数理精蕴》一般称《数理精蕴》，于康熙六十一年（1722年）告成，全书分上下两编及附录，共45卷，是一部介绍包括西方数学知识在内的数学百科全书.
书中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(“两”为我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何 ”
如果我们设马每匹x两，牛每头y两，怎么列方程组呢？
答：
追问：未知数系数的绝对值都不是1，该怎么解这个方程组呢
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
设计意图：通过介绍古代数学著作，对学生进行热爱数学的宣传激励教育，点燃学生学习数学的兴趣之火和民族自豪感，培养学生探究生活实际问题的意识.
探究新知
活动一：探究用代入消元法解较复杂的二元一次方程组
问题2：用代入法解方程组
这个方程组未知数x，y的系数都不是1或-1，那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢
师生活动：引导学生观察这个方程组与之前解过的简单方程组的不同之处，发现系数不再是或较简单的整数，小组讨论后，各小组代表发言，分享本小组的思路.
追问：观察二元一次方程组中未知数的系数，将哪一个方程变形代入另一个方程相对比较简单 用含哪一个未知数的代数式去表示另一个未知数
分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便.
追问：你能尝试解出这个二元一次方程组吗？
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得.
所以这个方程组的解是 .
追问：解这个方程组时，可以先消去y吗 试一试，看能不能解出这个二元一次方程组.
师生活动:教师提出问题，学生认真分析思考，找两名学生上台展示，试着写出相应的过程，其他同学在作业本上计算.
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得.
所以这个方程组的解是 .
总结：若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程进行变形再代入消元.
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
设计意图：让学生观察复杂方程组的特点，引导学生思考如何选择方程进行变形，培养学生的观察能力和分析问题的能力.
问题3：用代入法解方程组
师生活动:让学生表达自己的解题思路与方法，教师用PPT展示，学生讨论后交流，教师总结补充，说出用整体代入法解二元一次方程组的步骤和代入消元法的选择方法.
分析：无论用方程①中含y的式子表示x，还是用含x的式子表示y，再代入方程②，都比较麻烦.
观察两个方程，每个方程中都含有项，如果把看成一个整体，再代入试试看！
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得.
所以这个方程组的解是 .
当方程组某一项含有相同(或成倍数关系)的整式，则将相同(或成倍数关系)的整式作为整体，直接代入另一个方程中求解.
设计意图：通过小组讨论，促进学生之间的思维碰撞，培养学生的合作交流能力和创新思维.教师对不同变形思路的点评，让学生学会优化解题策略，提高解题能力.
总结：代入消元法的选择：
①若方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的形式的方程，则选择直接代入消元；
②若方程组中含有未知数的系数的绝对值是1的方程，则选择将此方程进行变形再代入消元；
③若方程组中某一未知数的系数成整数倍关系，则选择整体代入消元;
④若方程组中的方程无以上三种情况，则选取系数的绝对值较小的方程进行变形再代入消元.
设计意图：总结根据方程组的特点如何选择代入消元法解稍微复杂二元一次方程组，帮助学生梳理知识，形成系统的解题方法，便于学生记忆和运用.
活动二：探究代入法解二元一次方程组的简单应用
问题4：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
相等关系：
①送120件的报酬+揽 45件的报酬=270元;
②送90件的报酬+揽 25件的报酬=185元.
追问：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，你能根据相等关系列出二元一次方程吗
答：①120x+45y=270
②90x+25y=185
追问：你能完整的解决这个应用题吗
解:设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组：
由① ，得 ③
把③代入②，得.
解这个方程，得 .
把 代入③，得.
所以这个方程组的解是 .
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
总结：列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系.
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结.
问题5：你能运用本节课所学的知识，解决情境中的问题吗？
师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而解决问题.
解：
由① ，得 ③
把③代入②，得
.
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
答：马每匹两，牛每头两.
设计意图:通过解决课前问题，前后呼应，使课堂教学变得完整.同时，也达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力，并让学生尝试成功的喜悦!
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师在黑板上展示例题，学生认真分析思考，找一名学生上台展示，试着写出相应的过程，其他同学在作业本上计算.
例1 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足 ③，求的值.
分析：将① 联立可得一个新的不含m 的二元一次方程组，求出x，y的值，再代入②即可求出m 的值.
解：将① 联立得：
由 ，得 ④
把④代入①，得 .
把代入④，得 .
把，代入②，得 .
例2 已知方程组与方程组同解，求 的值.
分析：题目中的两个方程组的解可使四个方程中的任意两个方程成立.将不含参数m、n的两个方程联立，可求出方程组的解，这个解也是关于m和n的方程组的解.
解：由题意得：，解得.
将解代入： ，即 ，解得.
所以.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，鼓励学生用多种方法解二元一次方程组，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，了解整体代入思想.
课堂练习
【教材练习】
1.用代入法解下列方程组:
(1); (2)
分析：根据“变、代、求、解”的步骤，先对方程组中的一个方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程中，进而求出两个未知数的值即可得出答案.
解：(1)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
(2)
由① ，得 ③
把③代入②，得
.
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒、4 小盒共装 108 瓶，2大盒、3 小盒共装 76 瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶
分析：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，根据“3大盒、4小盒共装108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果.
解：设大包装盒每盒装x瓶，小包装盒每盒装y瓶.
根据问题中的相等关系，列得方程组
由② ，得 ③
把③代入①，得
.
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是 .
答:大包装盒每盒装20瓶，小包装盒每盒装12瓶.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.用代入消元法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是( )
A.由①得 B.由①得
C.由②得 D.由②得
分析：观察方程组发现第二个方程的系数为，故变形第二个方程表示出较为容易.故选D.
答：D
2.解二元一次方程组时，用代入消元法整体消去，得到的方程是( ).
A. B. C. D.
分析：
由① ，得 ③
把③代入②，得 即.
故选B.
答：B
3.若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元次一方程组的解是( )
A. B. C. D.
分析：对比两个方程组，可得2a+b就是第一个方程组中的x，即2a+b=8，同理:2b=4，可得方程组，解出即可得关于a，b的二元一次方程组的解.
答：B
4.若一个三角形的三边长分别是a、b、c，其中a和b满足方程组，若这个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长为 .
分析：解方程组，得.
∴3∵三角形的周长4+1+c为整数.
∴c也是整数. ∴c=4.此时三角形的周长为4+1+4=9.
答：
5.解方程组.
分析：分析“所求方程组”的特点，把和看做一个整体，通过适当变形利用换元法，简化方程组的形式，从而更容易求解.
解：设，则，.
代入②，得，解得
所以这个方程组的解是.
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.消元解稍复杂的二元一次方程组的方法是什么？
3.列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
在教学过程中，通过介绍古代数学著作，对学生进行热爱数学的宣传激励教育，点燃学生学习数学的兴趣之火和民族自豪感，进而引起学生的兴趣，降低了学习难度，学生能够较好地跟上教学节奏.
对于例题的讲解，注重引导学生观察方程组的特点，通过小组讨论的方式，激发学生的思维，让学生自主探索解题思路，培养了学生的合作交流能力和分析问题的能力.在学生提出不同的变形思路后，教师及时进行点评和分析，让学生清晰地了解到不同方法的优缺点，从而选择更简便的解题方法，提高了解题效率.
课堂练习和拓展提升环节，题目设置有层次，既关注了基础知识的巩固，又注重了学生思维能力的拓展. 通过巡视指导和学生的展示点评，及时发现学生存在的问题并进行纠正，强化了学生对知识的掌握.
在后续教学中，进一步加强小组合作学习的组织和引导，鼓励每个学生积极参与讨论，发表自己的观点. 对于一些基础较薄弱的学生，需要更加关注，利用课余时间进行有针对性的辅导，帮助他们夯实基础，提高学习成绩.

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