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第十章 二元一次方程组
10.2《消元——解二元一次方程组》
第3课时 加减消元法
本节课是在学生学习了二元一次方程组及其解的概念，并且会用代入消元法解二元一次方程组，知道解二元一次方程组的基本思想是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程.而本节课是在代入消元法的基础上，学生发现的一种新的消元方法:加减消元法.加减消元法的得出，可以培养学生的创新能力和归纳能力，使学生会运用发现、分析、比较、综合、归纳的方法研究问题，发展学生的核心素养.通过本节课的学习，使学生能够更加熟练掌握解二元一次方程组的方法，为解决实际问题和解三元一次方程组以及求一次函数图象交点坐标等知识打下坚实基础.因此，本节课在“数与代数”领域中有着及其重要的地位与作用.
七年级学生的求知欲、好奇心、自我表现欲和探究能力都处于向上发展的阶段，但是他们缺乏学习的主动性和创造性，还不太善于观察，而且对稍微繁杂的运算缺乏耐心，也不善于总结和积累经验.在这一时期，学生极容易出现两极分化.因此提高学生的学习兴趣、动手能力和思考能力至关重要.
1.掌握加减消元法的意义；
2.会用加减法解简单的二元一次方程组；
3.让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步理解“消元”思想，从具体解方程组过程中体会化归思想；
4.培养学生学会自主探索，与他人合作，与人交流思维过程的习惯.
重点：掌握加减消元法的意义；
难点: 会用加减法解简单的二元一次方程组.
情境导入
问题1：2024年巴黎奥运会于7月26日至8月11日举行，中国代表团最终在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，金牌数与美国代表团并列首位.
某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱，已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元，想知道A，B两款纪念品的进货单价该怎么计算呢？
答：如果我们设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元.
把变形，得，代入削去.
追问：还有别的更简便的方法吗？
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
设计意图：巩固代入法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，为讲解加减消元法做铺垫.
探究新知
活动一：探究加减法解系数相等的二元一次方程组
问题2：对于方程组可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
师生活动：引导学生观察两个方程中未知数y的系数，发现y的系数相同，都是1.进而引导学生思考：怎样才可以把y消去呢？此时可让学生分小组讨论，2分钟后小组代表发言.
追问：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系 利用这种关系，你能发现新的消元方法吗
答：这两个方程中未知数 y的系数相等.
可依据等式的性质，把两个方程分别相减，就可以消去未知数y.如：②式的左边①式的左边②式的右边①式的右边.即2xy(xy)8-6，整理化简，得：2xyxy2，解得：x 2.具体过程如下：
解：②①，得.
把代入①，得.
所以这个方程组的解是 .
追问2：①②行吗？
追问3：求出的值后，把x2代入②行吗？
预设答案：都可以，具体过程如下：
解：①②，得.
把代入②，得.
所以这个方程组的解是 .
设计意图：通过观察方程组中同一个未知数的系数特点，引导学生思考新的消元方法.培养学生的观察能力以及小组协作解决问题的能力.
活动二：探究加减法解系数为相反数的二元一次方程组
问题3：联系上面的解法，想一想怎样解方程组
教师活动：引导学生观察，两个方程中未知数y的系数互为相反数，把两个方程的两边分别相加，就可以消去未知数y.
追问1：此题中未知数 y 的系数有什么新的关系？
答：两个方程中 y 的系数互为相反数．
追问2：利用这种关系你能想到什么办法消元？
答：用①＋②可消去未知数 y，化为一元一次方程，即(3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．
解：①②，得：3x10y15x10y2.88，
18x10.8，
x0.6.
把x0.6代入①，得： 30.610y2.8，
y0.1.
所以方程组的解为
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
设计意图:引导学生通过观察、比较方程组中系数之间的关系找出未知数的系数的特点，然后判断用加减法当中的加法还是减法去消元，让学生能够自己归纳出用加减消元法的方法与技巧，为后面总结归纳加减消元法的基本方法做准备.
问题4：这两个方程组的特点分别是什么？如何实现消元？依据是什么？
（1） （2）
师生活动：引导学生提出问题、分析问题并解决问题.从而使学生掌握用加减消元的必备条件.
答：（1）中y 的系数相等，通过两方程相减实现消元，依据是等式的性质．
（2）y 的系数互为相反数，通过两方程相加实现消元，依据是等式的性质 ．
归纳：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
强调：两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等是两个方程相加或相减能够实现消元的条件.
加减消元法步骤：
①变形：同一未知数系数相等或相反；
②加减：消去一元，得一元一次方程；
③求解：分别求出两个未知数的值；
④写解：写出方程组的解.
设计意图:通过两个活动，引导学生观察、发现当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，根据等式的性质，将两方程相加或相减即可实现消元.培养学生学习用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达的能力，发展学生的核心素养.
问题5：你能运用本节课所学的知识，解决情境中的问题吗？
师生活动：教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而解决问题.
解：我们设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元.
①②，得： . .
把代入②，得
. .
所以这个方程组的解是 .
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元.
设计意图:通过解决课前问题，前后呼应，使课堂教学变得完整.同时，也达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力，并让学生尝试成功的喜悦!
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师在黑板上展示例题，学生认真分析思考，找一名学生上台展示，试着写出相应的过程，其他同学在作业本上计算.
例1 用加减法解方程组
解：①②，得：，
把代入①，得：，
.
追问：把代入②，可以解得y吗
答：把代入②，
得：，
.
所以这个方程组的解为
设计意图：通过例题，让学生感受加减法解二元一次方程组的优越性，并掌握加减法解二元-次方程组的一般步骤.
【经典例题】
例2 解方程组.
分析：的系数与的系数的绝对值相等，①+②削去得方程 ，①-②削去得方程④， ④联立成方程组，可解得与的值.
解：①+②得：

①-② ，得
④
解由 ④组成的方程组
解得
例3 甲、乙两人同时解方程组，甲看错了 b，求得的解为.乙看错了 a，求得的解为，求原方程组正确的解.
分析：把代入①中求得a值，把代入②中求得b值，后求值计算即可.
解：根据题意：
把代入①中，得，
解得.
把代入②中，得，
解得.
故原方程组为.
②-①得，.
把代入②中，得.
解得
故方程组的解为.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.进一步熟悉加减法解二元一次方程组的基本思路.
课堂练习
【教材练习】
用加减法解下列方程组:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4).
分析：根据“变形、加减、求解、写解”的步骤，利用加减消元法进行解方程组即可.
解： (1)
①+②，得，.
把代入①，得
， .
所以这个方程组的解是 .
(2)
②-①，得，.
把代入①，得
， .
所以这个方程组的解是 .
(3)
①-②，得，.
把代入①，得
， .
所以这个方程组的解是 .
(4)
①+②，得，.
把代入①，得
， .
所以这个方程组的解是 .
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.用加减法解方程组，应用( )
A.①-②消去y B.①-②消去x
C.②-①消去常数项 D.以上都不对
解析：方程①和②中x的系数相同，故用①-②消去x.故选B.
答：B
2.已知a，b满足方程组，则a-b的值为( ).
A. -1 B.m-1 C.0 D.1
解析：
②-① ，得 a-b=1 故选D.
答：D
3.若关于的值为 .
解析：∵.
∴
①+②，得，.
把代入①，得1.
∴.
答：-3
4.在代数式ax + by中，当x=3，y=2时，它的值是-1，当x=5，y=-2时，它的值是17，求a，b的值.
分析：根据题意构造二元一次方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可求出a，b的值.
解：
①+②，得 ，.
把代入①，得
， .
所以这个方程组的解是
.
5.已知方程组与方程组解相同.
(1)求a，b的值; (2)求(2a+b)2024的值.
分析：(1) 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可；
(2) 将(1)的结果代入代数式求值即可.
解：(1)由题意得：
①+②，得 ，.
把代入①，得
， .
将， 代入
得：
解得
(2)∵
∴(2a+b)2024=(2×1-3)2024
=(-1)2024=1
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.加减消元法的概念是什么？
3.用加减消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位. 通过本节课的教学，使学生会用加減消元法解系数相同或互为相反数的二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想. 加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现. 因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学一开始给出了一个二元一次方程组，先让学生用代入法求解，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣. 通过学生的观察、发现，理解加减消元法的原理，使学生明确使用加减法的条件及加减法的便捷.
之后，通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减消元法解二元一次方程组的步骤，接下来，通过系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解決问题的综合能力.

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