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第十章 二元一次方程组
10.3实际问题与二元一次方程组
第1课时
一、教学目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组并解决简单的实际问题；
2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分等问题；
3.经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
4.通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.
二、教学重难点
重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解释实际问题.
三、教学用具
多媒体等.
教学过程设计
环节一 复习回顾
【回顾】
解二元一次方程组的方法有哪些？
预设答案：代入法、加减法.
教师活动：教师提出问题，引导学生回顾两种解二元一次方程组的方法.
追问：这两种方法的具体步骤是什么？
预设答案：
设计意图：回顾解二元一次方程组的两种常见的方法以及两种方法解题的具体步骤.为接下来用二元一次方程组解决实际问题做铺垫.
环节二 探究新知
【探究】
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg，每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗？
问题1：题目中有哪些未知量？
教师活动：教师提出问题，引导学生关注有2个未知量.
预设答案：每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.
问题2：题目中有哪些等量关系？
教师活动：引导学生关注有2个等量关系.
预设答案：30头大牛1天用的饲料15头小牛1天用的饲料675 kg
42头大牛1天用的饲料20头小牛1天用的饲料940 kg
问题3：如何根据等量关系列方程组？
教师活动：引导学生根据题中的等量关系，建立方程组.
解：设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料x kg和y kg，根据题意，得：
设计意图：让学生经历分析数量关系，得到等量关系，列方程组的过程，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.
问题4：列一元一次方程能解决这个问题吗？
教师活动：引导学生体会当未知数的个数有2个时，列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更简单.
解：若设每头大牛1天需要x kg饲料.则每头小牛1天需要kg饲料.
由题意得：
问题5：如何解这个方程组呢？
教师活动：提出问题，学生解方程组，并让学生交流、讨论，教师引导学生对比，发现先化简再解更简捷.
方法一：直接消元
解：①4，得120x60y2700，③
②3，得126x60y2820，④
④③，得6x120，解得x20.
把x20代入①，得302015y675，
解得y5.
所以这个方程组的解是
方法二：先化简再消元
解：方程组可化简为
由①，得y452x，③
把③代入②，得21x10(452x)470，
解得x20.
把x20代入③，得y5.
所以这个方程组的解是
设计意图：让学生认识到，由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，可以简化运算.
问题6：饲养员李大叔估计的准确吗？
教师活动：引导学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论.
预设答案：饲养员李大叔对大牛的食量估计准确，对小牛的食量估计偏高.
设计意图：引导学生用方程组的解去分析、解释实际问题.
【思考交流】
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人.
则： 8x 5y 42，
4x 2y 20.
解得： x 4 ，
y 2 .
李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
【归纳】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
教师活动：组织学生小组讨论，然后组内选取代表回答，教师汇总并补充：
1.审题：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
2.设元：用字母表示题目中的未知数；
3.列方程组：根据题中的等量关系列出方程组；
4.解方程组：解方程组，求出未知数的值；
5.检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
设计意图：引导学生总结运用方程组建立数学模型，解决实际问题的步骤.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 某单位组织200人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少10人，到两地参加旅游的人数各是多少？
教师活动：先带领学生读题，分析题中的已知量、未知量、等量关系等，引导学生思考，列出二元一次方程组.
解：设到甲、乙两地旅游的人数分别是x人、y人.
由题意得：
解得：
答：到甲、乙两地旅游的人数分别是130人、70人.
总结：
1.基本数量关系：各部分数量之和=全部数量；
2.方法：明显的关键词，如比、是、等于、多、 少、倍、共、和、几分之几等；
隐含的关键词，总面积，总数量，总钱数等.
设计意图：通过例题，进一步巩固所学知识，培养学生的数学建模思想和应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.
环节四 课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.甲、乙两数的和为42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数，设甲数为x，乙数为y，则下列方程组正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答：B.
2.用4700张纸装订成两种挂历共500本，其中甲种每本7张纸，乙种每本13张纸.若甲种挂历有x本，乙种挂历有y本，则下面所列方程组正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答：B.
3.某工厂有60名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天可生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
解：设生产螺栓、螺母人数分别是x人、y人.
由题意得：
解得：
答：生产螺栓、螺母人数分别是25人、35人.
4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.
解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐.
由题意得：
解得：
所以1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名、360名学生就餐.
(2)若7个餐厅同时开放，则：
596023605520，
55205300.
所以若7个餐厅同时开放，可以供应全校5300名学生就餐.
设计意图：通过例题，进一步巩固所学知识，培养学生的数学建模思想和应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容，使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

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