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第六章 二元一次方程组
6.2二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
本节课《二元一次方程组的解法》是冀教版初中数学七年级下册第六章第2节的内容，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组．本节课主要让学生学会用代入消元法解二元一次方程组，教材从实际问题出发，引导学生学习代入消元法，也为今后学习其它方程、函数奠定了重要基础．而用代入消元法解决简单的二元一次方程组，是解方程组的基础，这将为后面学习加减消元法、解三元一次方程的解法准备理论依据．同时也是解一元一次方程在解二元一次方程中的延伸，这一过程渗透消元思想和化归思想．
七年级的学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组．同时，学生也具备了活动经验基础．通过观察、验证、讨论、交流的学习方式经历代入法的消元的过程，体会到转化的作用，有利于发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力．
1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程．
2．会用代入消元法解二元一次方程组，并能根据二元一次方程组的特点，选用适当的代入消元方式，体会消元思想在解方程中的应用．
3．通过代入消元法，使学生初步理解解二元一次方程组中把“未知”化为“已知”的化归思想方法．
重点：用代入法解二元一次方程组
难点：代入法的灵活应用，了解数学研究中把“未知”化为“已知”的化归思想
情境导入
问题1：什么叫做二元一次方程组？
答：由几个方程组成的一组方程叫作方程组．含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一组方程，叫作二元一次方程组．
问题2：以下哪些是二元一次方程组？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：②方程组中共有3个未知数，所以不符合；③方程组中的第二个方程不是整式方程，所以不符合；⑤方程组中的第二个方程的项的次数为2，所以不符合．故选①④．
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔．
问题3：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
(1)尝试用你学过的方法解决这个问题．
(2)设鸡有x只，兔子有y只，是否可以列出二元一次方程组吗？
答：(1)设鸡有x只，兔子有35-x只．
根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94．
解这个一元一次方程，得x=23．
从而，得35-23=12．
即鸡有23只，兔子有12只．
(2)
一起探讨
问题4：观察以下内容回答问题：
(1)由方程组，是怎样得出方程④的？
(2)为什么方程④和方程*完全相同？请说明理由．
(3)由④解出x的值以后，怎样求出y的相应的值？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟．
规则：1．以小组形式汇报展示 +2分；2．正确回答 +2分；3．补充质疑 +2分
答：(1)先将方程①转化为方程②，再将方程③代入方程②得到方程④．
(2)方程④和方程*中未知数表示的意义相同，等量关系也相同．
(3)解出x的值后代入③可求出y的值．
追问：从中你能体会到怎样解二元一次方程组吗？
答：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程．
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：回代求出另一个未知数的值，把方程组的解表示出来．
第五步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立．
归纳：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法．
步骤：变、代、求、解
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解消元思想和代入法解二元一次方程组．
问题5：模仿上题的过程，尝试列二元一次方程组解决问题，并用代入法解二元一次方程组．
我国古代数学著作《増制算法统宗》记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”。其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。绳索和竿子的长度各多少尺？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟．
规则：1．以小组形式汇报展示 +2分；2．正确回答 +2分
答：设绳索长x尺，竿长y尺，
根据题意，得，
由①，得y=x-5③，
将③代入②，得，得x=20，
将x=20代入③得y=15，
所以，原方程组的解为．
问题4：
(1)在尝试计算y值时，将x的值代入②可以求出y吗？代入①或③有什么优点？
(2)在解方程组的过程中，可以先消x吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间5分钟．教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充．
规则：1．以小组形式汇报展示 +2分；2．正确回答 +2分；3．补充质疑 +2分．
答：(1)可以． 代入①或③更为简便．
(2)可以，方程①可变形为x=5+y③，
将③代入②得，解方程得y=15，
将y=15代入③，得x=20．
所以，原方程组的解为．
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解用代入法解二元一次方程组．
应用举例
例1 解方程组：．
答：，
把代入，得：，
解得：，
把代入，得：，
方程组的解为．
例2 解方程组：
答：
由得：，
把代入，得10-y-2y=4，
解这个方程，得，
把代入，得，
所以原方程组的解为．
例3 用代入法解方程组．
答：
由②得：，
把③代入①，得，
解得这个方程，得，
把代入③，得,
所以原方程组的解为．
设计意图：在对如何使用代入法解二元一次方程组已有认识的基础上，通过层次渐进的两个例题，进一步进行代入消元法解二元一次方程组的巩固练习．初步渗透“转化”的数学思想．
课堂练习
1．用代入法解方程组将方程代入，得方程 ．
答：将中的换为，得，去括号得．故答案为．
2．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是( )
A． B． C． D．
答：方程组，
将代入，
得到，
．
故选．
3．用代入法解二元一次方程组：
答：
由得，，
把代入得，
，
，
，
把代入得：，
，
，
原方程组的解为
原方程整理为
由得，，
把代入得，，
，
，
把代入得：
原方程组的解为
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
答：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法．
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1．对于二元一次方程组，将代入，消去可以得到( )
A． B． C． D．
答：，
将代入，得，
，
故选．
2．用代入法解下列方程组．
；
．
答：，
由代入得：，即，
把得代入：，
则方程组的解为；
，
由得：，
把代入得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为．
3．已知关于、的二元一次方程组有正整数解，则整数 ．
答：，
把代入，得，
解得，
关于、的二元一次方程组有正整数解，为整数，
或，
解得或．
故答案为或．
4． 已知方程组的解也是关于，的方程的一个解，求的值．
答：方程组，
把代入得：，
解得：，
把，代入中，
解得：，
把，代入方程得，，
解得：．
设计意图：通过练习，能恰当地应用“代入消元法”解方程组，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力．
实践作业：请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题并列出方程组解决问题．
本节课教学的主要内容是用消元代入法解二元一次方程组．在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念，结合学生的实际情况，从实际问题延伸至消元代入法解二元一次方程组．通过本节课的学习，同学们一定会体会到方程组中的两个未知数一般不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把方程组的问题化为我们已学过的一元一次方程的问题，这种思想方法叫做“消元法”．解二元一次方程组的基本思想方法就是通过“消元”将二元转化为“一元”．代入法是解二元一次方程组的一种基本方法．让学生经历探索活动，积累探索经验，激发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维．组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率．

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