资源简介

第六章 二元一次方程组
6.2二元一次方程组的解法
第2课时 加减消元法
本节课《二元一次方程组的解法》是冀教版初中数学七年级下册第六章第2节的内容，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组.本节课主要让学生学会用加减消元法解二元一次方程组，从实际问题出发，利用代入消元法引入加减消元法，也为今后学习其它方程、函数奠定了重要基础.而用加减消元法解决简单的二元一次方程组，是解方程组的基础，这将为后面解决较难的二元一次方程组打下基础.同时也是解一元一次方程在解二元一次方程中的延伸，这一过程渗透消元思想和化归思想.
七年级的学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.同时，学生也具备了活动经验基础.通过观察、验证、讨论、交流的学习方式经历代入法的消元的过程，体会到转化的作用，有利于发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力.
1.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，逐步学习加减消元法解二元一次方程组.
2.能根据二元一次方程组的特点，选用适当的消元方式，体会消元思想在解方程中的应用.
3.通过加减消元法，使学生更一步理解解二元一次方程组中把“未知”为“已知”的化归思想方法.
重点：用加减消元法解二元一次方程组
难点：加减消元法的灵活应用，了解数学研究中把“未知”为“已知”的化归思想
情景导入
问题1：解二元一次方程组的基本思路是什么？
答：消元，将二元变为一元
问题2：用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：变、代、求、解
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值，把方程组的解表示出来.
第五步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
超市有两种饮料，分别是苹果汁和橙汁，在售卖时以组的形式售卖.5组苹果汁的瓶数和3组橙汁的瓶数共有16瓶.2组苹果汁的瓶数比3组橙汁的瓶数少2瓶.一组苹果汁和一组橙汁各多少瓶？
请尝试使用二元一次方程组的方程解决问题.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：设一组苹果汁有x瓶，一组橙汁有y瓶.
根据题意得，
由①得，
将③代入②得，
解得y=2，
把y=2代入③，得x=2，
所以原方程组的解为.
答：一组苹果汁有2瓶，一组橙汁有2瓶.
一起探究
问题3：
(1)观察上述方程组中相同未知数的系数，有什么特点？
(2)能否用学过的知识消去y
(3)将方程①和②的左右两边分别相加，会消去一个未知数吗？两个方程两边分别相加的依据是什么？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分
答：(1)y的系数互为相反数；
(2)方法一：由①得③，
将③代入②得.
方法二：由①得3y=16-5x④，
将④代入②得2x-(16-5x)=-2.
(3)可以.①+②，得，即7x=14.
利用等式的性质，①式的左边+②式的左边=①式的右边+②式的右边.
做一做：尝试使用前面的方法解方程组.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
答：
②-①，得，
即2x=10，得x=5，
把x=5代入③，得y=4，
所以原方程组的解为.
追问：①-②也能消去未知数y，求出x吗？
答：能. ①-②，得，即-2x=-10，x=5.
归纳：当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，采用将两个方程左右两边分别
相加或相减的方法“消元”较简便.
主要步骤：第一步：加减，将两个方程相加或相减，消去一个元；
第二步：求解，分别求出两个未知数；
第三步：写解，写出原方程组的解.
设计意图：巩固代入法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，为讲解加减法做铺垫.
问题4：如何用加减消元法解下列二元一次方程组？
(1)直接加减是否可以？为什么？
(2)能否将方程进行变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？
(3)变形后是否可以加减的方法消元解方程组吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分
答：(1)不可以.两个未知数的系数不互为相反数，也不相等，无法直接相加或相减消去未知量.
(2)
将②×2，变形为4x+6y=8，变形后y的系数相同
将②×，变形为，变形后x的系数相同
(3)解：②×2，得4x+6y=8③，
①-③，得(5x+6y)-(4x+6y)=7-8，得x=-1，
把x=-1代入②，得-2+3y=4，y=2.
所以，原方程组得解为.
归纳：将二元一次方程组中两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再相加减），消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
问题5：(1)上面解方程组的基本思路是什么？
(2)如何用加减法解二元一次方程组？请归纳总结解二元一次方程组的步骤.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分；3.补充质疑 +2分.
答：(1)
(2) 第一步：变形，将同一个未知数的系数化为相同或互为相反数
第二步：加减，将两个方程相加或相减，消去一个元；
第三步：求解，分别求出两个未知数；
第四步：写解，写出原方程组的解.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解用加减法解二元一次方程组.
应用举例
例1 用加减法解下列二元一次方程组：
(1)(2)
答：(1)
①-②，得y=2，
把y=2代入①，得3x+4=7，得x=1，
所以，原方程组得解为.
(2) ，
，得，
将代入，得，
方程组的解为.
例2 用加减法解下列二元一次方程组：
(1)(2)
答：(1)
①×2，得4a+2b = 6，③
③-②，得3a=-6，解得a=-2.
把a=-2代入①式，得2×(-2)+b=3，
解得b= 7.
因此原方程组的解是
追问：如果先消去a应如何解？会与上述结果一致吗？
②×2，得2a+4b = 24，③
③-①，得3b=21，解得b=7.
把b=7代入②式，得a+2×7=12，解得a=-2.
因此原方程组的解是
(2) ，
，得，
将代入，得，
方程组的解为．
例3 若与互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D.
答：与互为相反数，
，
，
得，，
把代入得，，
解得，
．
故选D．
设计意图：在对如何使用加减法解二元一次方程组已有认识的基础上，通过层次渐进的两个例题，进一步进行加减法解二元一次方程组的巩固练习．初步渗透“转化”的数学思想.
课堂练习
1. 观察下列二元一次方程组，最适合采用加减消元法求解的是( )
A. B. C. D.
答：用代入消元法比较好，故本选项不符合题意；
B.用加法消元比较好，故本选项符合题意；
C.用代入消元法比较好，故本选项不符合题意；
D.用代入消元法比较好，故本选项不符合题意，
故选B．
总结：当未知数的系数互为相反数或相等时，适合使用加减消元解方程组.
2.用加减法解下列二元一次方程组：
答：(1)，
①+②，得，，
①-②，得，，
所以方程组的解为.
(2)
①×2，得，③
②-③，得，.
将代入①，得.
所以方程组的解为.
(3)
①+②，得，.
将代入①，得，.
所以方程组的解为.
(4)
①×2，得，③
②+③，得，，
将代入①，得，.
所以方程组的解为.
3. 若关于，的方程组的解满足，则整数的最小值为( )
A. B. C. D.
答：，
得：，
关于，的方程组的解满足，
，
解得：，
的最小整数值为，
故选C.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
答：加减消元法解二元一次方程组.将二元一次方程组中两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再相加减），消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 二元一次方程组更适合用哪种方法消元( )
A. 代入法 B. 加减法
C. 代入法、加减法都可以 D. 以上都不对
答：
，得，消去了未知数，即二元一次方程组，更适合用加减法消元，故选B．
2. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A. B. C. D.
答：A.可以消去，故此项不符合题意；
B.可以消去，故此项不符合题意；
C.可以消去，故此项不符合题意；
D.无法消元，故此项符合题意．
故选D．
3.用加减法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
答：(1)，
得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为．
(2) ，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
4. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
答：，
得：，即，
将代入得：，即，
将，代入得：，
解得：．
故选B.
5. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是( )
A. B. C. D.
答：把代入方程组得：，
①+②得，3a=4，即，
把代入①，得，
解得：，
所以，
故选：．
设计意图：通过练习，能恰当地应用“加减消元法”解方程组，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
实践作业：请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题并列出方程组解决问题.
本节课教学的是用消元代入法解二元一次方程组.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念，结合学生的实际情况，从代入消元法延伸至加减消元法.同学们从探究活动中体会消元法，将方程组中的两个未知数转化为一个未知数，把方程组的问题化为我们已经学过的一元一次方程的问题.加减法是解二元一次方程组的一种基本方法.让学生经历探索活动，积累探索经验，发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维.组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率.

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