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第八章 整式的乘法
8.3同底数幂的除法
《同底数幂的除法》是冀教版数学七年级下册第八章第3节内容，《同底数幂的除法》是在学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识的基础上来研究同底数幂除法的性质，它将为后面的单项式除以单项式、多项式除以单项式、科学记数法等奠定基础.它是对幂的含义的理解、运用和深化，是为了学习整式的乘法而学习的一个基本性质，因此，同底数幂的除法性质既是有理数幂的推广，又是整式乘除法的学习的重要基础，在本章中具有举足轻重的地位和作用.
七年级大部分学生学习态度端正，头脑思维灵活，能在教师的引导下正常参与课堂学习活动，但是语言表达不够严谨、解题格式不够规范，独立思考能力、沟通表达能力还有待于加强.学生已经学习过幂的意义和同底数幂的乘法法则，有一定的知识基础，应该能够将先前所学的知识与本节课新的知识点相联系，根据教师的引导，类比思考，推导出同底数幂的除法法则，尝试用学过的知识解决新的问题
1..掌握同底数幂的除法法则，并能灵活运用同底数幂的除法法则.
2.了解零指数幂的意义，知道零指数幂规定的合理性.
3.经历探索同底数幂的除法法则的过程，进一步体会幂的意义，提升学生的推理能力及语言表达能力，培养学生从具体到抽象，再到具体的认知过程.同时让学生感受数学公式的简洁美和和谐美，获得成功的体验，积累丰富的数学经验.
重点：准确熟练运用同底数幂的除法法则进行计算.
难点：根据乘除法互逆的运算关系得出，同底数幂的除法法则
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
国家统计局发布的数据(不含港澳台地区)显示:2021年，我国国内生产总值(GDP)约为1.15× 元，人口约为1.41×人.2021年，我国人均国内生产总值约为[(1.15×)÷(1.41×)]元.那么，怎样计算(1.15×)÷(1.41×)呢
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：探索同底数幂的除法的运算法则．
做一做：根据同底数幂的乘法法则进行计算：
＝()； ＝( ) ； ＝()； ＝() .
师生活动：学生认真思考、口头展示.教师引导学生利用上边的计算结果，完成下边的练习：
填一填：()×
()×
()×＝
()×＝
根据乘法与除法互为逆运算，继续完成填空：
÷=( )=
÷=( )=
÷=( ) = a≠0
÷=( )= a≠0
设计意图：从回忆乘方和同底数幂相乘的运算性质入手，提出现在要探索“等于什么”，然后从具体算式开始，让每名学生都要动手参与，从中感悟被除数指数、除数指数与商指数的关系，最终发现一般性的结论，作为合作与探究环节的基础
思考：通过上面的计算，关于两个同底数幂相除，你发现了什么规律
猜想:(m＞n)
m个a
验证:==
n个a m-n个a
师生活动：学生观察并独立思考后交流汇报得出结论：
归纳总结：
同底数幂的除法法则
(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减
设计意图:让学生经历具体---抽象的过程，即经历观察---比较---抽象---概括---推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法---“具体---抽象”.同时，让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力，以及合作交流能力.
做一做：请计算2021年我国人均国内生产总值.
(1.15×)÷(1.41×)=(1.15÷1.41)×(÷)≈0.82×
设计意图:与情境中的问题呼应，让学生体会成功的喜悦感.
活动三：探索零指数幂和负指数幂
探究：我们发现公式时，有一个附加条件：m＞n，即被除式的指数数大于除式的指数.当被除式的指数不大于除式的指数，即m≤n时，情况会怎样呢？
先来看看被除数的指数等于除数的指数的情况．例如下列算式：
根据除法运算中，一个数除以它本身商为1，得
÷=1；
÷=1；
÷=1(a≠0).
思考：你能利用同底数幂的除法来计算吗？
÷=1==；
÷=1=÷；
÷=1=÷(a≠0).
思考：通过上边的计算，你发现了什么？
归纳总结：
我们规定:，即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
再来看看被除数的指数小于除数的指数的情况．例如下列算式：
根据除法运算及分数约分、同底数幂相除法则，得
(m思考：你能利用同底数幂的除法来计算吗？
(m思考：通过上边的计算，你发现了什么？
归纳总结：
我们规定:，即任何不等于0的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
师生活动：教师层层设置疑问，引导学生理解零指数幂和负指数幂.
设计意图：通过教师的点拨、引导学生用不同的方法得出题中的结果，学生应该对零指数次幂与负整数次幂的意义及规定容易理解，从而突破难点.
归纳总结：
同底数幂的除法法则
(a ≠0，m，n都是正整数)
同底数幂相除，底数不变，指数相减
设计意图：对两个算式的重新书写，既加深对零指数幂与负整数次幂规定的理解，又使学生认识到，当m、n扩展到任意整数时，同底数幂除法的运算性质仍然适用.
应用举例
例1 计算：
(1) ； (2)；
(3) ； (4)(n是正整数) .
解：(1).
(2).
(3).
(4).
总结：解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演2，3，4题，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：通过例1，让学生熟悉同底数幂的除法法则，找准公式中的底，并灵活运用公式.
例2. 已知，求的值．
解:.
设计意图：通过例2，让学生初步感受同底数幂的除法法则的逆用，培养学生的逆向思维.
例3. 已知，求的值．
解:.
总结：解题秘方：逆用同底数幂的除法和幂的乘方的性质，进行变形求值.
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
设计意图：借助此题让学生通过辨析、计算，引导学生进行合作交流，加深对同底数幂的除法和幂的乘方的性质的理解和运用，正确掌握同底数幂除法的法则，使学生获得成功的喜悦感.
课堂练习
1.下面的计算是否正确 如果不正确，请改正过来.
(1). (2).(3). (4).
解：(1)不正确，应为:.
(2)正确.
(3)不正确，应为:.
(4)不正确，应为:.
2.计算:
(1)； (2) ；
(3)； (4)(n是正整数).
解：
3.将分别除以，结果各是多少
解：÷===1.
÷===
÷=== .
4.计算：
(1)； (2) ；
(3)(x≠0)； (4).
解：(1).
(2)
(3)
(4).
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.计算下列各题，结果用幂的形式表示.
(1)= 1. (2). (3)= 5. (4).
解：(1)不正确，应为:=1.
(2)不正确，应为：=.
(3)不正确，应为:=.
(4)不正确，应为:.
2.计算：
(1)； (2)； (3).
解：
(2)；
(3)
3.计算：
(1)； (2) ；
(3)； (4)(m是正整数).
解：(1).
(2) .
(3).
(4).
4.计算:
(1)(x 2y≠0，m是正整数)；
(2).
解：
5.已知：. 求：（1）的值； (2)的值.
解：(1)；
(2).
实践作业：一种液体每升杀死含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
本节课注重渗透数学思想方法，让学生了解从特殊到一般和从一般到特殊的重要思想.数学思想方法的渗透不可能立即生效，只能让学生慢慢理解掌握.所以，本节课一方面让学生感知研究数学问题般方法，在运用法则时，提醒学生注意只有当底数相同时，才能将同底数幂的除法法则转化成指数的减法运算，另一方面，本节课还注重学生合作学习的学习方式，让学生在与他人合作中受益，学会交流，学会倾听别人的意见与建议.

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