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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.1不等式
本节课内容是在学生掌握了有理数的大小比较、数轴、一元一次方程、二元一次方程之后进行学习的，为进一步发展学生的数形结合思想和研究不等式奠定了基础，是初中阶段学习的重点内容，具有承上启下的作用.
学生对已知数的不等关系已经非常熟悉，但是学生还未接触过含有未知数的比较，直接引入不等式可能对学生理解不等式的意义有些困难，教师要让学生更加直观的感受不等式的意义.
1.理解不等式的意义、知道不等号的读法、写法及表示的意义.
2.能根据实际问题找出数量之间的不等式关系，并能正确表示.
3.经历从具体问题情境中建立不等式模型的过程，抽象出不等式的概念，建立模型观念.
重点：能根据实际问题找出数量之间的不等式关系，并能表示
难点：经历从具体问题情境中建立不等式模型的过程，抽象出不等式的概念
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
小明与小亮进行百米训练，两人同时从起点出发，小明先到达终点.小明到达终点所用的时间为15.2s.如果小亮所用的时间为as，那么a与15.2是相等的数量关系吗？如果不是，该用怎样的关系来表示？
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：探索不等式的定义．
问题1：“情境”中的a与15.2是怎样的数量关系？
答：a>15.2
问题2：小明在某一周的零用钱为m元，他在这一周的支出情况如下表:
在略有节余的情况下，如何表示m与60之间的关系呢
为灾区捐款 就餐 买文具 买冷饮
5元 50元 3元 2元
答：m>60.
问题3：某公路边设有如图所示的交通标志牌，这是对通行车辆载重和车速的限制标志.如果某一通行车辆的总质量为at，行驶速度为vkm/h，且符合通行的要求，那么应如何表示a，v的取值范围呢
答：a≤20；v≤40.
探究：在公路上，有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为60km/h，小卡车的行驶速度为80km/h，大卡车比小卡车早出发1 h.
1.如果设小卡车行驶的时间为x h，那么，它行驶的路程该如何表示？这时，大卡车行驶的路程又如何表示？
答：小卡车行驶路程表示为：80xkm
大卡车行驶路程表示为：60(x+1) km
2.小卡车超过大卡车后，它们所行驶的路程之间的关系应怎样表示？
答：80x＞60(x+1)
3.完成下表：
小卡车行驶的时间x/h 小卡车行驶的路程/km 大卡车行驶的路程/km
1 80 120
2 160 180
3 240 240
4
5
6
…… …… ……
4.小卡车开出多少小时后赶上或超过大卡车
经探究，小卡车赶上和超过大卡车，两车行驶路程的关系式分别为
.
由列表可知，当时，；
当时，.
即当时，.
师生活动：学生独立思考，举手回答问题，教师进行评价和讲析.
设计意图：从生活实例和已学知识出发探究新知，发展学生的模型观念，提高学生分析问题、解决问题的能力.
思考：观察式子它们有什么共同点？
答：所有式子都是用不等号连接而成.
归纳总结：
像这样的式子都是用不等号连接而成的.我们把用不等号 “>”“<”“≥”“≤”等连接而成的式子叫作不等式.其中， “≥”表示 “不小于”，读作 “大于或等于”；“≤”表示 “不大于”，读作 “小于或等于”.
设计意图：通过比较5个不等式，归纳出不等式的概念和不等号的概念.，发展学生的模型观念，通过学生自己动手得出结论，发展学生分析问题解决问题的能力；使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度.
应用举例
例1 判断下列式子是不是不等式：
(1)-3＜0； (2)； (3)x=3；
(4) ； (5)； (6).
分析：本题考查了不等式的定义，利用不等式的定义直接判断即可.
解：(1)(2)(5)(6)是不等式；(3)(4)不是不等式.
师生活动：学生思考后独立完成例题．
设计意图：通过例1，让学生加深对不等式定义的理解.
例2. 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离某镇50千米，要在12：00之前到达该镇，问车速应满足什么条件？
分析：
解:设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即①.
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即②.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：借助此题让学生进一步体会不等式的含义，并初步领会列不等式的方法，为后续的学习做铺垫.
方法总结：
列不等式时要审清题意，抓关键词（如：低于、超过、最高、最低、最多、最少、至少、不高于、不低于、不大于、不小于），弄清不等关系，用符号（“＞”“＜”“≥”或“≤”）表示.
课堂练习
1.用不等式表示:
(1)y的3倍不小于8.
(2)m与10的和不大于m的一半.
(3)小明的体重为akg，小亮的体重为bkg，小明的体重不低于小亮的体重.
(4)某湖泊汛前水位是340cm，警戒水位是400cm.汛期，湖水平均每天上涨8cm，x天后湖水将超过警戒水位.
分析：本题考查了列不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如"大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)"至少"、最多等等，正确选择不等号，因此建立不等式要善于从"关键词"中挖掘其内涵，不同的词里蕴含着不同的不等关系.
解：(1)； (2)；
(3)； (4).
2.用不等式表示:
(1)a是负数. (2)x比-1大.
(3)m与n的差不大于2. (4)x与-5的差是正数.
解：(1)； (2)；
(3)； (4).
3.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签.设一次服用药品的剂量为x mg，请用不等式表示x的取值范围.
解：
4.如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b.设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与a，b之间的大小关系.
分析：本题考查了列不等式，涉及数轴的概念，数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的数大.我们需要根据点C在数轴上相对于点A和点B的位置来分情况讨论c与a、b之间的大小关系.
解：在数轴上，点C的位置有如下5种可能：
1.当点C在点A左侧时
根据数轴上数的大小规律，左边的数小于右边的数，所以，又因为，所以.
2.当点C与点A重合时
此时点C表示的数c就等于点A表示的数a，即，而，所以.
3.当点C在点A和点B之间时
因为点C在点A、B之间，所以且，即.
4.当点C与点B重合时
点C表示的数c等于点B表示的数b，即，而，所以.
5.当点C在点B右侧时
根据数轴上数的大小规律，右边的数大于左边的数，所以，又因为，所以.
综上，当点C在点A左侧时，；当点C与点A重合时，；当点C在点A和点B之间时，；当点C与点B重合时，；当点C在点B右侧时，.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.用不等式表示下列数量关系:
(1)x的2倍与3的和小于15.
(2)y的一半与1的差是负数.
(3)3x与1的和不小于6.
解：(1)；
(2)；
(3).
2.用不等式表示下列问题中的数量关系:
(1)长为a，宽为a-2的长方形的面积小于边长为a+1的正方形的面积.
(2)一辆40座(不含司机座位)的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位.
解:(1).
(2).
3.小明家距新华书店8km.他于星期日上午8:30从家里出发骑车前往书店购书，先以15km/h的速度行驶了xh后，又以18km/h的速度继续行驶，结果在9:00之前赶到了书店.请列出相应的不等式.
解：依题意，前后两段共用时间小于半小时，于是不等式可表示为
.
4.某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下:
一次性购物的金额 促销方式
不超过200元 全部九折
超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折
某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品.
(1)该顾客得到的优惠不超过18元.请列出不等式.
(2)该顾客得到的优惠超过30元.请列出不等式.
解：(1)；(2).
实践作业：分别测量你与同桌的身高，并用不等式来表示你们身高之间的关系.
本节课我引导学生的自主探究活动，教给学生从具体问题情境中建立不等式模型，抽象出不等式的概念，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯，利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.
课堂开始通过找规律引入课题，激发学生的学习兴趣以及积极性.通过简单的问题引导学生通过探究得出不等式的定义，然后通过例题及练习根据题意列不等式的思路，在这一环节上，留给学生充足的时间思考，培养学生分析问题、解决问题的能力.

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