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第十章 三角形
10.1三角形的边
本节课《三角形的边》是冀教版初中数学七年级下册第十章第1节的内容.“三角形的边”，本节课主要目的是让学生更进一步了解三角形的特征、性质，为今后学习多边形做好准备.在学习的过程中，从实际出发，通过观察分析、动手操作、逻辑推理，探究、比较以及推断等过程得出三角形的特征、性质，提升学生几何直观素养及推理能力.
本节课是学生在之前已学过三角形的初步知识以及对三角形的表象认识的基础，进一步学习三角形的特征、性质.本课设计的思路是学生通过了解三角形的定义，进而质疑三角形的三边长度有没有一定的规律，通过观察分析、比较以及推断等过程，得出三角形的三边的关系. 对学生的逻辑推理和知识运用能力要求较高，可能只有少数基础扎实、思维活跃的学生能够顺利解决，多数学生需要教师的引导和进一步的练习巩固。
1.理解三角形概念及其要素，认识三角形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三角形.
2.证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题.
3.了解等腰三角形的相关概念，掌握利用边的长短对三角形进行分类的方法.
4.经历探索三角形三边关系的过程，提高运用数学知识解决实际问题的能力，运用几何语言有条理的表达能力，提高观察、思考、抽象概括的能力以及动手操作的能力.
重点：理解三角形及其要素，探究并掌握三角形的三边关系，会根据三条线段的长度判断它们是否构成三角形.
难点：会利用三角形的三边关系解答等腰三角形的相等问题.
情景导入
问题1：(1)请大家仔细观察这组图片，看看主要是有哪种几何图形构成的？
(2)在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：(1)三角形. (2)三明治，埃菲尔铁塔，自行车等等.
设计意图：通过观察生活中常见物体的图片引入，增强学生的代入感，让学生能够感知三角形，为后面引出三角形的概念作铺垫.
一起探讨
问题2：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分；3.补充质疑 +2分
答：由三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫作三角形.
追问：同一条直线上首尾相接的三条线段能构成三角形吗？
答：不能.
归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫作三角形.
线段AB，BC，AC叫作三角形的边；点A，B，C叫作三角形的顶点；∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角(简称三角形的角).以点A，B，C为顶点的三角形记为△ABC，读作“三角形ABC”.三角形的边有时也用小写字母来表示.一般地，△ABC的顶点A，B，C的对边分别用a，b，c表示.
问题3：(1)尝试使用小棒动手操作，试以下两组能否构成三角形.
①2cm，3cm，5cm；②2cm，3cm，4cm.
(2)三角形的两边之和与第三边有怎样的大小关系？
(3)任意画一个△ABC，请将(2)的猜想写成命题的形式，并尝试证明.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
答：(1)经过实践①不能摆出三角形，②能摆出三角形；
(2)发现，如果较短的两根的和大于最长的第三根，就能构成三角形.
(3)已知△ABC，则 AC+BC>AB，AB+AC>BC，AB+BC>AC.
是线段，
（两点之间，线段最短）.
同理，是线段，
.
是线段，
.
归纳：三角形的任意两边之和大于第三边.
追问：三角形任意两条边之差与第三边有什么样的关系？
答：，
，
，
三角的任意两边之差小于第三边.
设计意图：以情境创设来引发学生对三角形的三边关系的深入理解.为学生提供探索与交流的时间与空间，同时注重数学的实际应用，使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性.
问题4：已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm.
(1)那么a的取值范围是什么？
(2)当a=6时，是否可以构成三角形？如能构成三角形，则三角形有什么特征？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：(1) 6-2(2)可以构成三角形，此时有两个边相等.
归纳：我们把两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰；把三边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.
三角形按边可分类如下：
应用举例
例1 如图，图中三角形的个数共有（ ）
A. B. C. D.
答：图中是三角形的有：△AOC，△BOD，△AOB，△ABC，△ABD．
故选C．
例2 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. B.
C. ， D.
答：根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．
A.，不能组成三角形；
B.，不能组成三角形；
C.，不能组成三角形；
D.，能组成三角形．
故选D．
归纳：三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和大于最长的边.
例3 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
答：当是腰长时，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是；
当是腰长时，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是．
则这个等腰三角形的周长是或．
故选．
设计意图：在对三角形的概念、三边关系已有认识的基础上，通过举例应用，学生会更深刻理解和掌握三角形的概念和三边关系.
课堂练习
1. 请找出图中所有的三角形，并把它们写出来.
答：共有8个三角形，分别为：△AOB、△COD、△BOC、△AOD、△ABD、△BCD、△ABC、△ACD．
2. 已知长度分别为和的两条线段.在长度为1，2，3，4，5，6，7，8，9的线段中，哪些线段能和已知的两条线段构成三角形，哪些线段不能？
答：3，4，5，6，7长的线段和已知的两条线段构成三角形.
理由如下：设选择的长度为x，由三角形的三边关系得，因此可以构成三角形的长度是3，4，5，6，7. 不能构成三角形的线段有：1，2，8，9．
3. 已知是的三条边长，化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
答：因为是的三条边长，所以，
所以．
故选D．
4. 等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是 ．
答：若为腰长，为底边长，由于，则三角形存在
若为腰长，为底边长，由于，则三角形存在
所以这个三角形的周长为或，
这个等腰三角形的周长是或．
故答案为或．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 已知，则图中共有__ ___个等腰三角形，___ __个等边三角形．
解：
为等腰三角形.
为等边三角形.
故答案为4；1.
2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
解：、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，能够组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选C．
3. 一个三角形的两边长分别是和，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）
A. B. C. D.
解：设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，即，
为整数，
的最大值为，
则三角形的最大周长为．
故选．
4. 若实数满足等式，且恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（ ）
A. B. C. 或 D.
解：，
，
解得．
当腰长为时，三边长为，不符合三角形三边关系；
当腰长为时，三边长为，符合三角形三边关系，此时周长为．
故选B．
5. 若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为的三角形是“好运三角形”．
在中，，若为“好运三角形”，求的长；
已知的周长为，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
解：(1)∵BC-AB＜AC＜BC+AB，
∴4-2＜AC＜4+2，即2＜AC＜6，
∵△ABC为“好运三角形”，
∴AC为偶数，
∴AC＝4；
(2)设AB＝x（x为偶数），则BC＝12-x，
∴
解得4＜x＜8，
∵x为偶数，
∴AB＝x＝6．
∴BC＝12-6＝6，
又∵AC＝4，
∴△ABC是“好运三角形”．
设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对三角形的概念及三边关系的应用情况，以便教师及时对学生进行矫正．
实践作业：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
本节课教学的是三角形的定义、构成、分类及三边之间的关系.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念. 结合学生已有的几何知识基础，从生活中常见的三角形实例入手，引导学生观察并思考三角形边的特征，自然地引出本节课关于三角形边的研究问题，学生能够凭借已有的直观认知初步参与思考。将三角形三边关系这一难点，通过让学生亲自动手用不同长度的小棒摆三角形，在操作过程中去发现、总结规律。学生们在小组交流中积极发表看法，自主探索出三角形任意两边之和大于第三边的结论。让学生经历探索活动，积累探索经验，激发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维。通过运用结论解决问题，初步培养了学生的推理能力，提高了应用能力。组织课堂提问，鼓励学生积极回答，充分调动了学生学习的积极性与主动性，有效提升了课堂学习效率。

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