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第六章 二元一次方程组
6.3二元一次方程组的应用
第2课时
本节内容是二元一次方程组应用，初步向学生渗透化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想，会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解.因此，在本节教学中，引导学生自己分析题意找出题目中的等量关系来建立数学模型(方程组)是解决实际问题的关键，也为后面的实践与探索做好准备.
从学生心理特征来说，现阶段的学生抽象逻辑思维能力在逐渐提高.观察能力，记忆能力和思考能力也随着迅速开展，但学生课堂自我展示欲、求知欲不如六年级，所以可通过小组合作讨论调动学生热情度和参与度.从学生认知特点来说，学生已初步掌握了本章知识，他们已经能比较熟练的求出二元一次方程组解，知道用二元一次方程组表示等量关系，同时，七年级学生已具备根本的生活常识，具有一定的数量判断能力，能准确地找出等量关系
1.使学生学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
2.通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性
3.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力.
重点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力
难点：正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程
情境导入
利用二元一次方程组解决问题的基本过程
审，设，列，解，验，答
设计意图：通过回顾已有知识引出新课，方便学生理解也更容易接受.
一起探究
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
走平路的时间+走下坡的时间=10，
走上坡的时间+走平路的时间=15.
方法一（直接设元法）
解：设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.
问题1：上学时，平路时间和坡路时间各是多少？
答：平路时间是和下坡路时间是.
问题2：放学时，平路时间和坡路时间各是多少？
答：平路时间是和下坡路时间是.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
300+400=700
所以，小华家到学校的距离为700m.
方法二（间接设元法）
解：设小华下坡路所花时间为 x min，上坡路所花时间为 y min.
问题3：上学时，平路距离和坡路距离各是多少？
答：平路距离是60(10 x)，坡路距离是80y.
问题4：放学时，平路距离和坡路距离各是多少？
答：平路距离是60(15 y)，坡路距离是40y
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
故 平路距离：60×（10-5）=300（m）.
坡路距离：80×5=400（m）.
300+400=700
所以，小华家到学校的距离为700m.
某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元，今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元
分析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20％)x (1-10％)y 780
思考：你能找出题目中的等量关系吗？
去年的总产值-去年的总支出=200万元，
今年的总产值-今年的总支出=780万元 ．
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
解得.
因此，去年的总产值是2000万元，总支出是1800万元.
设计意图：通过具体实例，帮助学生理解行程问题与增长率问题的解法，培养学生的团队意识与分析问题解决问题的能力.
应用举例
例1 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总入数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总人数比去年招生总人数增加18%.今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名
分析： 本题中的等量关系是：
去年七年级人数+去年高中一年级人数=500；
今年七年级人数=去年七年级人数×(1+20%)；
今年高中一年级人数=去年高中一年级人数×(1+15%)；
今年七年级人数+今年高中一年级人数=500×(1+18%).
解：设去年七年级招生x名，高一年级招生y名，
根据题意，得
整理，得
解得.
所以(1+20%)x=(1+20%)×300=360，
(1+15%)x=(1+15%)×200=230.
答：今年秋季七年级计划招生360名，高一年级计划招生230名.
探究：请你将今年两个年级计划招生人数设为未知数，列方程组解答例题中的问题，并与上面的解答过程比较，看看哪种解法较简便些.
解：设今年七年级招生x名，高中一年级招生y名.则去年七年级招生人数为，高中一年级招生人数为 .
根据题意，得
解得.
答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名.
设计意图：通过例题让学生感受通过对题意的理解，得到等量关系，从而得到二元一次方程组的过程，熟悉利用二元一次方程组解决实际问题的步骤.
例2. 我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动.他们分工合作，在一架3150m长的铁路桥附近进行了观察测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为42.5s：列车完全在桥上的时间约为32.5s你能根据该小组同学获得的数据求出复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗
分析：若设火车的速度为xm/s，火车的长度为ym，本题的等量关系是：
火车42.5s内所行路程=桥长+火车长；
火车32.5s内所行路程=桥长－火车长.
解：设火车的速度为xm/s，火车的长度为ym，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：火车的速度为84m/s，火车的长度为420m.
师生活动：教师放“完全过桥”和“整列火车在桥上”的动画”帮助学生理解题意.学生找等量关系，教师巡视指导，学生讲述自己的想法，教师引导同学们进行评价.
设计意图：继续熟练用二元一次方程组解决实际问题，加强学生的审题能力，对于不够明确的等量关系，需要学生反复读题挖掘题意背后的数量关系，培养学生解决问题的能力.
归纳：用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，找出数量关系
（2）设两个未知数
（3）列方程组
（4）解方程组
（5）写出答语.
课堂练习
1.甲、乙两人在400m的环形跑道上练习赛跑.若两人同时同地反向跑，则经过25s第一次相遇；若两人同时同地同向跑，则经过250s甲第一次追上乙.甲、乙两人的速度各是多少
分析：根据题意，设甲、乙二人的速度分别为x、y，甲、乙同时同地反向跑第一次相遇时，甲的路程加上乙的路程等于环形跑道的一圈，即25x+25y= 400；甲、乙同时同地同向跑第一次相遇时，甲的路程减去乙的路程等于环形跑道的一圈 ，即250x－250y= 400；然后组成二元一次方程组，再解方程组即可.
解：设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，
由题意可得，， 解方程组得
答：甲每秒跑米，乙每秒跑米．
2.某公司甲、乙两个销售点1月份的总销售额为50000元.2月份，甲销售点的销售额比1月份增加了5%，乙销售点的销售额比1月份增加了7.5%.这样，两个销售点2月份比1月份共增加销售额3000元.两个销售点1月份的销售额分别是多少
解：设甲销售点1月份的销售额为x元，乙销售点1月份的销售额为y元.
根据题意，得 ，解这个方程组，得.
答：甲销售点1月份的销售额为30000元，乙销售点1月份的销售额为20000元.
3.一艘船在某河道上航行，已知顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h.该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少
解：设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，
根据题意，得
解这个方程组，得.
答：船在静水中的速度为14千米/时，水流速度为1千米/时.
4.甲、乙两车相距100km，两车同时出发.如果同向而行，乙车经过4h可追上甲车；如果相向而行，两车经过0.8h相遇.求甲、乙两车的速度.
解：设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时，
根据题意，得
解这个方程组，得.
答：甲车的速度为50千米/时，乙车的速度为75千米/时.
设计意图：通过练习，让学生熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题的步骤，并能够灵活运用，培养学生的思维能力.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成.现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作.如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多人，那么第一组、第二组各有多少人
解：设第一组有人，第二组有人.
由题意可得，， 解方程组得
答：第一组有9人，第二组有14人．
2.某超市店庆期间所有商品均打a 折出售.打折前，买5件甲商品和2件乙商品需要44元，买3件甲商品和4件乙商品需要32元；打折后，买10件甲商品和20件乙商品需要96元.求a的值.
解：设打折前甲商品每件x元，乙商品每件y元.
由题意可得，， 解方程组得
所以，打折前甲商品每件元，乙商品每件元.
依题意，解得
答：的值为8．
3.
解：设小明答对的题目有x道，答错的题目有y道.
由题意可得，， 解方程组得.
不答的题有：(道)
答：小明答对的题目有19道，答错的题目有2道，不答的题目有4道.
4.某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间元，双人间每天每间元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？
分析：本题中的等量关系有两个：三人间所住人数二人间所住人数人；三人间费用二人间费用，据此可列方程组求解．
解：设三人间和双人间客房各间、间，
根据题意，得，
解得．
答：该旅行团住了三人间和双人间客房各间、间．
实践作业：我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，请看这样的一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨 请你猜想一下：几个老头几个梨
本节课的教学中，为了突破重难点，我主要让学生通过独立思索、自主探究、合作沟通、估算验证等学习方式，在思索、沟通等数学活动中，养成学生严谨的思维方式和良好的学习习惯，在解决这些实际问题当中，我充分表达了以学生进展为本，让学生积极参加并且有效参加的新课程理念，在这样的理念指导下，我充分把时间留给学生，把讲台留给学生，注意学生情感价值观的培育，发扬教学民主，发挥了学生的主动意识．因为在上一节课中学生已经学习用列方程组的方法来解决具体实际问题，所以本节课探究环节学生自然想到列方程组的方法，而且学生还尝试用不同的设元方法解题，扩展了学生的思维，让学生体验解题时有方法、方法多、方法好，从而树立了学生学习的信念，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为学习的主人.

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