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第七章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 两条直线垂直
一、教学目标
1.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直的符号表示.
2.能通过具体情境说出并掌握垂直和垂线的概念.
3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，积累操作活动经验.
4.通过操作活动，探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性质，理解“垂线的性质”、“垂线段最短”的性质以及点到直线的距离.
二、教学重难点
重点：理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离.
难点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等.
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题1：①在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种.
②若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 .
③在同一平面内，不相交的两条直线叫做 .
预设：①相交；平行
②相交线；③平行线
对顶角的性质：对顶角相等.
∠1=∠2 （或 ∠3=∠4）
问题2：下列说法正确的有(　　)
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
④若两个角不是对顶角，则这两个角不
相等．
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
预设：B.
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
教师补充：同角：是一个角；等角：是两个角.
问题3：如图，已知：直线AB与CD交于点O， ∠EOD=90°，回答下列问题：
(1)∠AOE的余角是 ；补角是 ；
(2)∠AOC的余角是 ；补角是 ；对顶角是 .
预设：(1) ∠AOC；∠BOE；
(2)∠AOE；∠BOC；∠BOD．
设计意图：通过对已有知识的复习，学生能很快地进入到下一个知识点的探究中去.
环节二 探究新知
【观察思考】
教师活动：教师重视学生的课堂参与，让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力.
观察图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
预设：
追问：你还能举出哪些例子呢？
垂直的定义：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直的表示方法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.
记作：AB⊥CD
读作：AB垂直于CD ，垂足为O.
直线l与直线m垂直，
记作：l⊥m，垂足为O．
【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
垂直的性质、定义判定的应用格式:
∵AB⊥CD
∴∠1=90 °
线线垂直 直角(90°)
∵∠1=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定义)
直角(90°) 线线垂直
设计意图：数学来源于生活，引导学生从身边熟悉的图形出发，既复习了上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又体会到生活中大量存在特殊的相交线—垂直，在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”，进而引出两条直线互相垂直、垂足的概念，给出两条直线互相垂直的符号表示.同时也使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.
【思考交流】
(1)如图 ，O为直线 AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗 为什么
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流．
小颖的思考过程如下:
由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义），
可得∠AOC=∠BOC=90°（等角的性质），
所以 OC⊥AB．（垂直的定义）
(3)如果OC⊥AB ，那么∠AOC=∠BOC吗，为什么
预设答案：由OC⊥AB，
根据垂直的定义，
可得∠AOC=∠BOC=90°．
【操作思考】
教师活动：鼓励学生探索画垂线的方法，积累数学活动经验.方法不唯一，只要正确、可操作即可.
（1）你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
1.折叠长方形纸片的一个角；
2.沿1中的折痕对折，使它与1中的折痕互相重合；
3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.
（2）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
教师提示：方格纸是由小正方形构成！
设计意图：通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示.让学生经历思考、实践猜想，动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学”的乐趣，从而享受到成功的喜悦，形成探索新知的内驱力!
【尝试思考】
教师活动：指导学生独立完成，然后请学生上台展示自己所做的题目.教师鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论.
（1）如图，已知直线 l ，用三角板画直线 l 的垂线，你能画出多少条？
总结：这样画l的垂线可以画无数条.
（2）如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条？
总结：这样画 l 的垂线可以画一条.
（3）如果点 A 在直线 l 外呢？过点A你能画多少条直线 l 的垂线？
总结：这样画 l 的垂线可以画一条.
垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
教师活动：引导学生归纳“尝试交流”的结论，在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念.
点P是直线 l 外一点，PO⊥l，点O是垂足，线段PO叫作点P到直线 l 的垂线段.
垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.
过直线外一点向已知直线作垂线时，这一点与垂足之间的线段叫作垂线段.
点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
总结：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
【尝试思考】
在图中，哪条线段的长度可以表示点 P到直线l的距离
预设答案：PO的长度表示点P到直线l的距离.
设计意图：通过作已知直线的垂线，一方面锻炼了学生的画图能力，另一方面通过画图得出“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一结论，培养学生的动手能力及表达能力.
【思考交流】
你知道体育课上老师是怎样测最跳远成绩的吗 你能说说其中的道理吗 与同伴进行交流．
答案：在起跳线垂直于跳远方向的位置上放置一个标尺或测量带．当运动员完成跳远后，老师会沿着与起跳线垂直的方向，从起跳线到运动员在沙坑或落地点的最近点（通常是脚后跟）拉一条直线，并读取这条直线在标尺或测量带上的刻度，这个刻度就是运动员的跳远成绩．
这种测量方法的道理在于，它遵循了“垂线段最短”的几何原理.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考解答，然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE(已知)，
∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，
又∵∠MOC＝∠BON＝40° (对顶角相等).
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
例2 如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°， ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 .
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°(已知)
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定义)
教师总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直.判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.
设计意图：通过例题引出研究本节课所要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要.学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性，体现教师的主导作用.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并进行相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线外取一点 B，分别经过点 A，B 用三角尺或量角器画直线 l 的垂线.
答案：
直线AP就是所求垂线.
直线BC就是所求垂线.
2.分别找出下列图中互相垂直的线段.
答案：
(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；
AC⊥BC，AC⊥CE，AC⊥BE；
DA⊥BC，DA⊥CE，DA⊥BE.
3.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是( )
A. 两对对顶角分别相等
B. 有一对对顶角互补
C. 有一对邻补角相等
D. 有三个角相等
答案：A.
4.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
答案：D
5. 如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近 画图并说明理由.
(2)从码头到铁路怎样走最近 画图并说明理由.
(3)从火车站到河流怎样走最近 画图并说明理由.
答案：(1)
如图所示，沿BA走最近，理由:两点之间线段最短.
(2)
沿AC走最近，理由:垂线段最短.
(3)
沿BD走最近，理由:垂线段最短.
设计意图：设置一些难度较低但概念性强、能考查垂直定义及垂线段性质的基础练习，不仅对学生所学新知起到检测作用，有利于知识的掌握与理解，还有利于学生体验成功，激发更佳的学习状态.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过总结，让学生对本节课内容整体有一个更深刻全面的认识.有利于帮助学生理清知识脉络，巩固学习效果，为下节课学习作好铺垫.

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