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第十章 二元一次方程组
10.2 消元-解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
一、教学目标
1.理解加减消元法的基本思想，能恰当地应用加减消元法解方程组；
2.通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力、体会化归的思想；
3.经历加减消元法解方程组的过程，体会消元思想在解方程中的应用；进一步理解加减法解二元一次方程组的一般步骤；
4.通过探究加减消元法解二元一次方程组的过程，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
二、教学重难点
重点：用加减消元法解二元一次方程组.
难点：利用等式性质，将二元一次方程组等价变形为适用加减法的形式.
三、教学用具
多媒体等.
教学过程设计
环节一 复习回顾
【回顾】
1.解二元一次方程组的基本思想是什么？
预设答案：消元
2.代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
预设答案：①变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代：将新式子代入到另一个方程中得一元一次方程；③求：解一元一次方程进而求出两个未知数的值；④解：写出方程组的解.
教师活动：教师带领学生回顾上节课的知识，强调解二元一次方程组的基本思想是消元，通过消去一个未知数将二元一次方程转化为一元一次方程进行求解. 然后教师给出下面的二元一次方程组，让学生用代入消元法进行求解.待学生计算结束后，教师展示过程，并结合过程再次强调代入法解二元一次方程组的步骤.
设计意图：帮助学生回顾旧知，便于建立新旧知识之间的联系.
解二元一次方程组：
解：由①，得：y=6-x，③
把③代入②，得：2x(6-x)=8，
解得：x=2.
把x=2代入③，得：y=4.
所以方程组的解为：
追问：还有别的消元方法吗？
设计意图：巩固代入法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，为讲解加减法做铺垫.
环节二 探究新知
【思考】
问题1 解二元一次方程组：
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
教师活动：引导学生观察两个方程中未知数y的系数，发现y的系数相同，都是1.进而引导学生思考：怎样才可以把y消去呢？此时可让学生分小组讨论，2分钟后小组代表发言.
可依据等式的性质，把两个方程分别相减，就可以消去未知数y.如：②式的左边①式的左边②式的右边①式的右边.即2xy(xy)86，整理化简，得：2xyxy2，解得：x 2具体过程如下：
解：②①，得：
2xy(xy)86，
x2.
把x2代入①，得：y4.
所以方程组的解为：
追问1：①②行吗？
追问2：求出的值后，把x2代入②行吗？
预设答案：都可以，具体过程如下：
解：①②，得：
xy(2xy)68，
x2.
把x2代入②，得：y4.
所以方程组的解为：
设计意图：通过观察方程组中同一个未知数的系数特点，引导学生思考新的消元方法.培养学生的观察能力以及小组协作解决问题的能力.
问题2 联系上面的解法，想一想怎样解方程组：
教师活动：引导学生观察，两个方程中未知数y的系数互为相反数，把两个方程的两边分别相加，就可以消去未知数y.
解：①②，得：3x10y15x10y2.88，
18x10.8，
x0.6.
把x0.6代入①，得：30.610y2.8，
y0.1.
所以方程组的解为：
设计意图：使学生能够举一反三，有减法联想到加法.
【归纳】
教师活动：教师展示上面两个方程组的解题过程，让学生通过对比分析，归纳出加减消元法的概念.
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
强调：当未知数系数相反时，让两个方程相加，即可消去这个未知数；当未知数的系数相同时，让两个方程相减，即可消去这个未知数.
口诀记忆：同减异加.
设计意图：归纳总结出加减消元法的概念.
【做一做】
选择你喜欢的方法解方程组：
教师活动：先让学生观察两个方程中x的系数，发现x的系数相同，引导学生消未知数x.学生大概率会用本节课学习的加减法消x，待学生完成后，教师展示两种方法消x的过程，使学生体会两种方法之间的计算差异.
加减法：解：①②，得：
2y(4y)6，
y1.
把y1代入①，得：
3x28，
x2.
所以方程组的解为：
代入法：解：由①，得： x.
把③代入②，得：
34y2，
y1.
把y1代入①，得：
3x28，
x2.
所以方程组的解为：
总结：
根据未知数系数的特点，选择恰当的方法解二元一次方程组，可以适当简化计算. 当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法比较简便.
设计意图：通过练习，巩固加减法解二元一次方程组，并对比两种解法在计算量上的差异，使学生能够根据未知数系数的特点，选取最适合的消元方法.
追问：能否用加减法消去未知数y
教师活动：引导学生观察两个方程中y的系数，发现y的系数既不相同，也不互为相反数，无法直接用加减消元法.进一步观察发现，两个方程中y的系数存在倍数关系，引导学生思考，是否可以通过变形，将y的系数化为相同或互为相反数呢？事实上，只需把第一个方程两边同时扩大到原来的2倍.
解：①2，得：6x4y16. ③
②③，得：9x18，
x2.
把x2代入①，得：
322y8，
y1.
所以方程组的解为：
总结：
当两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元，可对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
设计意图：进一步巩固加减消元法，使学生明白，当同一个未知数的系数存在倍数关系时，可以利用等式的性质将其转化，再利用加减法消元求解.
【归纳】
加减法解二元一次方程组的一般步骤：
1.变形：将同一个未知数的系数化为相同或互为相反数.
2.加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
3.求解：依次求出两个未知数的值.
4.写解：写出方程组的解.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 用加减法方程组：
解：①+②，得：5x=15
x=3.
把x=3代入①，得： 3×3+=0 .
y=-18
所以方程组的解为：
追问：代入②可以吗？
预设：可以x=3代入②，得：
2×3 =15，
y=18.
例2 用加减法方程组：
教师活动：两个方程中同一个未知数的系数既不相等，也不互为相反数，又不存在倍数关系，无法直接用加减消元法.引导学生仿照前面做一做的思路，思考如何把未知数的系数化为相同或者互为相反数.教师可适当提示：要消去哪个未知数，可先将两个方程中该未知数的系数都化为它们的最小公倍数，再利用加减法进行消元.
法一：
解：①5，得：15x20y80. ③
②3，得：15x18y99. ④
③④，得：20y(18y)19，
y.
把y代入①，得：
3x4()16，
x6.
所以方程组的解为：
追问：把y代入②可以吗？
预设答案：把y代入②，得：
5x6()33，
x6.
法二：
解：①3，得：9x12y48. ③
②2，得：10x12y66. ④
③④，得：19x114，
x6.
把x6代入①，得：
364y16，
y.
所以方程组的解为：
总结：
当未知数的系数没有倍数关系，则应将两个方程同时变形，同时选择系数比较小的未知数消元.
设计意图：通过例题，进一步加深加减消元法，巩固所学知识.
环节四 课堂练习
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.用加减消元法解方程组
由①②得 ，解得 ，
由①②得 ，解得 .
答：8x16，x2，6y12，y2.
2.把方程组通过加减消元消去x得到的方程是( )
A. y4 B. 7y14
C. 7y14 D. y14
答：B.
3.用加减消元法解方程组时，在下列四种解法中，计算比较简单的一种是( )
A. ①2②3消去x
B. ①②消去x
C. ①②消去y
D. ①②4消去y
答：D.
4.用加减消元法解方程组：
解：①2，得：10x4y50. ③
③②，得：7x35，
x5.
把x5代入①，得：y0.
所以方程组的解为：
设计意图：通过练习，进一步巩固所学知识，加深理解，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力.
环节五 归纳总结
以思维导图的形式呈现：
设计意图：通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

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