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第十章 二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
（第3课时）
能选择适当方法解二元一次方程组。
1.用代入法解方程组
解：由①，得
x＝32－y ③
把③代入②，得
2(32－y)＋4y＝84
解这个方程，得
y＝10
把 y＝10 代入③，得
x＝22
所以这个方程组的解是
基本思想 → 消元
→ 代入
→ 求解
→ 回代
→ 写解
注意：要检验方程组的解
→ 变形
2.用加减法解方程组
解：①×2，得
2x＋2y＝64 ③
②－③，得
2y＝20
y＝10
把 y＝10 代入①，得
x＝22
所以这个方程组的解是
→ 加减
→ 代入
→ 求解
→ 写解
→ 变形
注意：检验方程组的解
基本思想 → 消元
解方程组的基本思想是消元．代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．
思考：怎样解下面的方程组？
（
（
分别用代入消元法和加减消元法求解，再对比分析．
把③代入②，得
0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，
　　解得 x＝－1．
所以这个方程组的解为
　　把 x＝－1 代入③，得 y＝3.5．
代入消元法
解：①×0.6，得 1.2x＋0.6y＝0.9 ③
③－②，得 0.4x＝－0.4，
解得 x＝－1．
所以这个方程组的解为
把 x＝－1 代入①，得 y＝3.5．
加减消元法
代入消元法
加减消元法
解：由①，得 x＝3－2y．③
把③代入②，得 3(3－2y)－2y＝5，
所以这个方程组的解为
解得 y＝．
把 y＝ 代入③，得 x＝2．
解：①＋②，得 x＋3x＝3＋5，
解得 x＝2．
所以这个方程组的解为
把 x＝2 代入①，得 y＝ ．
（
（
说一说：如何根据方程组的形式选择比较简便的方法？
代入消元法
加减消元法
解二元一次方程组，看系数选方法
　　当方程中有未知数的系数为1（或－1）时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，也不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．
例1：选择合适的方法解下列方程组：
（1） （2）
分析：
（1）方程 2x－y＝3 中 y 的系数是－1，故可选择代入消元法，用含 x 的式子表示 y．
（2）方程组中 y 的系数的绝对值成整数倍，故利用加减消元法解二元一次方程组比较简便．
例1：选择合适的方法解下列方程组：
（1） （2）
解：(1)由①，得
y＝2x－3③
把③代入②，得
3x＋4(2x－3)＝10
解得 x＝2
把 x＝2代入③，得
y＝1
所以这个方程组的解是
(2)①×2，得
2x＋4y＝6 ③
②＋③，得
5x＝5
解得 x＝1
把 x＝1 代入①，得
y＝1
所以这个方程组的解是
例2：解方程组
分析：二元一次方程组的标准形式为（a1，a2，b1，b2不同时为0）．
方程①去括号，得 4m－4n－4＝3－3n－2．化简，得 4m－n＝5．
方程②去分母，得 3m＋2n＝12．
例2：解方程组
解：原方程组可化为
①×2＋②，得
11m＝22
m＝2
把 m＝2 代入①，得
n＝3
所以这个方程组的解是
解较复杂的二元一次方程组时，一般先把方程组化简为标准形式，且系数都化为整数，再设法消元求解．
例3：我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．
解：设笼中有鸡 x 只、兔 y 只．
根据题意，得
　　由①，得 x＝35－y．③
把③代入②，得
　　解得 y＝12．
所以这个方程组的解为
把 y＝12 代入③，得 x＝23．
答：笼中有鸡 23 只、兔 12 只．
2(35－y)＋4y＝94，
【知识技能类练习】必做题：
1．解方程组的最佳方法是（ ）
A．代入法消去y，由得
B．代入法消去x，由得
C．加减法消去y，得
D．加减法消去x，得
C
【知识技能类练习】必做题：
2．已知是方程的解，则的值为（ ）
A．15 B． C．20 D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．用适当的方法解下列方程组：
(1)； (2)
解：（1）将①代入②，
得：，
解得：，
将代入①得：，
∴原方程组的解为：；
（2）①÷2，得：，
②+③，得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为： ．
【知识技能类练习】选做题：
4．已知方程组和方程组有相同的解,求，的值．
解：根据题意，可有，
①②，可得 ，解得 ，
把代入①，可得，解得，
∴该方程组的解为，
∵方程组和方程组有相同的解，
∴，．
【综合拓展类练习】
5．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，求它的高度约是多少？
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得，解得，
∴个纸杯叠放在一起时的高度为：
，
当时，其高度为．
选择适当的方法解二元一次方程组
解复杂的二元一次方程组
选择适当的方法解二元一次方程组
【知识技能类作业】必做题：
1．二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法
C．代入消元法或加减消元法 D．无法确定
B
【知识技能类作业】必做题：
2．已知方程组，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．6
C
【知识技能类作业】必做题：
3．用适当的方法解下列方程组：
(1) (2)
解：（1）把②代入①得：
，
解得，
把代入②得：，
∴原方程组的解为；
（2）①×3得：③，
②×2得：，
③④得：，解得，
把代入③得：，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识技能类作业】选做题：
4．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值．
解：由题意是的解，
∴，解得：，
又是的解，
∴，解得：，
．
【综合拓展类作业】
5．蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题．
已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值．
【综合拓展类作业】
(1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为　　　，y的值为　　　　；
(2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值．
5
解：（2）①②，得．
．
，
，
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同步探究学案
课题 10.2.2 加减消元法（第3课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 能选择适当方法解二元一次方程组。
重点 选择哪一种方法解二元一次方程组。
难点 灵活运用两种方法来解二元一次方程组。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.用代入法解方程组 2.用加减法解方程组
新知探究 本节课来研究： 本节我们根据方程组的具体情况，研究选择适合它的解法。 思考：怎样解下面的方程组？ （；（ 分别用代入消元法和加减消元法求解，再对比分析． 归纳：解二元一次方程组，看系数选方法 当方程中有未知数的系数为1（或_____）时，可直接用____法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为_____时，相加消元；当系数_____时，相减消元；当系数既不相等，也不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数____或互为_______再相减或相加消元． 例1：选择合适的方法解下列方程组： （1） （2） 例2：解方程组 例3：我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．解方程组的最佳方法是（ ） A．代入法消去y，由得 B．代入法消去x，由得 C．加减法消去y，得 D．加减法消去x，得 2．已知是方程的解，则的值为（ ） A．15 B． C．20 D． 3．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 选做题： 4．已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【综合拓展类练习】 5．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，求它的高度约是多少？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解（ ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入消元法或加减消元法 D．无法确定 2．已知方程组，则的值为（ ） A．4 B．5 C．3 D．6 3．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 选做题： 4．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 【综合拓展类作业】 5．蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题． 已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值． (1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为　　　，y的值为　　　　； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值．
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分课时教学设计
第六课时《10.2.2 加减消元法（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课重点围绕选择恰当方法解二元一次方程组展开，通过相关学习进一步强化和巩固对解二元一次方程组一般步骤的认知，同时着力提升对二元一次方程组解法的熟练运用水平。
学习者分析 学生己经学习过解二元一次方程组的两种方法——代入消元法与加减消元法，初步掌握这两种方法的，在解决具体问题的基础上，能够掌握选取合适的方法来解二元一次方程，提高对二元一次方程组解法的熟练运用。
教学目标 能选择适当方法解二元一次方程组。
教学重点 选择哪一种方法解二元一次方程组。
教学难点 灵活运用两种方法来解二元一次方程组。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 能选择适当方法解二元一次方程组。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.用代入法解方程组 解：由①，得 x＝32－y ③ 把③代入②，得 2(32－y)＋4y＝84 解这个方程，得 y＝10 把 y＝10 代入③，得 x＝22 所以这个方程组的解是 2.用加减法解方程组 解：①×2，得 2x＋2y＝64 ③ ②－③，得 2y＝20 y＝10 把 y＝10 代入①，得 x＝22 所以这个方程组的解是 导言：解方程组的基本思想是消元．代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．学生活动2： 学生按要求独立解方程组后回顾代入法和加减法解方程组的步骤活动意图说明： 通过回顾消元思想及代入消元法和加减消元法，为灵活选择解法解二元一次方程组做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：怎样解下面的方程组？ （；（ 问题：分别用代入消元法和加减消元法求解，再对比分析． 预设： 代入消元法 解：由①，得y＝1.5－2x．③ 把③代入②，得 0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3， 解得x＝－1． 把x＝－1代入③，得y＝3.5． 所以这个方程组的解为 加减消元法 解：①×0.6，得1.2x＋0.6y＝0.9③ ③－②，得0.4x＝－0.4， 解得x＝－1． 把x＝－1代入①，得y＝3.5． 所以这个方程组的解为 代入消元法 解：由①，得x＝3－2y．③ 把③代入②，得3(3－2y)－2y＝5， 解得y＝． 把y＝代入③，得x＝2． 所以这个方程组的解为 加减消元法 解：①＋②，得x＋3x＝3＋5， 解得x＝2． 把x＝2代入①，得y＝． 所以这个方程组的解为 说一说：如何根据方程组的形式选择比较简便的方法？ 预设： 代入消元法 加减消元法 归纳：解二元一次方程组，看系数选方法 当方程中有未知数的系数为1（或－1）时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，也不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元． 例1：选择合适的方法解下列方程组： （1）（2） 分析： （1）方程2x－y＝3中y的系数是－1，故可选择代入消元法，用含x的式子表示y． （2）方程组中y的系数的绝对值成整数倍，故利用加减消元法解二元一次方程组比较简便． 解：(1)由①，得 y＝2x－3③ 把③代入②，得 3x＋4(2x－3)＝10 解得x＝2 把x＝2代入③，得 y＝1 所以这个方程组的解是 (2)①×2，得 2x＋4y＝6③ ②＋③，得 5x＝5 解得x＝1 把x＝1代入①，得 y＝1 所以这个方程组的解是 例2：解方程组 分析：二元一次方程组的标准形式为（a1，a2，b1，b2不同时为0）． 方程①去括号，得4m－4n－4＝3－3n－2．化简，得4m－n＝5． 方程②去分母，得3m＋2n＝12． 解：原方程组可化为 ①×2＋②，得 11m＝22 m＝2 把m＝2代入①，得 n＝3 所以这个方程组的解是 归纳：解较复杂的二元一次方程组时，一般先把方程组化简为标准形式，且系数都化为整数，再设法消元求解． 例3：我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题． 解：设笼中有鸡x只、兔y只． 根据题意，得 由①，得x＝35－y．③ 把③代入②，得 2(35－y)＋4y＝94， 解得y＝12． 把y＝12代入③，得x＝23． 所以这个方程组的解为 答：笼中有鸡23只、兔12只．学生活动3： 学生尝试用两种方法解二元一次方程组，并在小组合作探究中得出最优化的解法选择，然后完成教师出示的例题并讨论交流活动意图说明： 通过用两种方法解二元一次方程组，加深对两种解法的认识，在对比中找到最优化的解法，提高学生归纳、概括能力，然后通过例题的训练，提高学生对二元一次方程组解法的熟练运用。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.2.2 加减消元法（第3课时） 一、选择适当的方法解二元一次方程组 二、解复杂的二元一次方程组教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．解方程组的最佳方法是（ ） A．代入法消去y，由得 B．代入法消去x，由得 C．加减法消去y，得 D．加减法消去x，得 答案：C 2．已知是方程的解，则的值为（ ） A．15 B． C．20 D． 答案：B 3．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 解：（1）将①代入②，得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）①÷2，得：， ②+③，得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为：． 选做题： 4．已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 【综合拓展类练习】 5．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，求它的高度约是多少？ 解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得， 解得， ∴个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．二元一次方程组，最适合用下列哪种消元法求解（ ） A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入消元法或加减消元法 D．无法确定 答案：B 2．已知方程组，则的值为（ ） A．4 B．5 C．3 D．6 答案：C 3．用适当的方法解下列方程组： (1) (2) 解：（1）把②代入①得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为； （2）①×3得：③， ②×2得：， ③④得：， 解得， 把代入③得：， 解得， ∴原方程组的解为． 选做题： 4．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 解：由题意是的解， ∴， 解得：， 又是的解， ∴， 解得：， 【综合拓展类作业】 5．蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题． 已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值． (1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为　　　，y的值为　　　　； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值． 解：（1）把①③联立得： 得 解得：， 将代入①得， ， 方程组的解为， 故答案为：，； （2）①②，得 ． ． ， ， 解得．
教学反思 本课鼓励学生自主探索与合作交流，让学生在实践中体验、理解和掌握数学知识，归纳出解题步骤，使之更具操作性，促进学生由方法向技能的转化。整个课堂教学时时处处立足于让学生先看、先思、先做、先说，以学生为主体，并让学生在对比中提高对二元一次方程组解法的熟练运用。
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