资源简介

教学设计
名称 三角形的中位线
知识点来源 □学科：数学 □年级：八年级下册 □教材版本：北师大版 □所属章节：第六章第3节
设计思路 通过有趣的古巴比伦泥板上的土地分割问题，带领学生进入中位线的探索之旅。 动画演示中线和中位线的画法，让学生直观感受这两者的区别和联系。 观察猜想中位线和第三边的关系（包含数量关系和位置关系），并加以论证（给出了九种证法：倍长法之中位线倍长2种、倍长法之中线倍长、平行法2种、相似法、中点公式法、作高法）。 方法多样，让学生感受到：倍长法和平行法的相通性（转化为全等三角形和平行四边形问题）、相似法和中点公式法的精妙（寥寥几步，化繁为简）。 三个常用结论的提炼和证明，进一步丰富了中位线定理的体系，大大加深学生对定理的理解，以及提升他们的解题能力。 例题讲解和闯关游戏（6个关卡）是对定理的灵活运用，逐级加大难度，让学生感受到晋级的紧张和喜悦，激发他们的积极性和兴趣。 链接数学史（欧几里得面积法、刘徽割补法），让学生感受先人的伟大智慧，激励他们勇于探索，在数学道路上越走越远。 整个微课，知识容量大，节奏紧凑，既重视知识发生的源头、探究的过程，又重视知识的变式运用，渗透化归、特殊到一般的数学思想方法，让学生感受数学的无穷魅力。
教学设计
内 容
教学目的 运用三角形中位线定理解决简单问题。 2.经历观察猜想、论证三角形中位线定理、三个常用结论的过程，渗透化归、从特殊到一般的数学思想，并发展合情推理意识和演绎推理能力。 3.体验探究的快乐，激发学生的学习热情和求知欲。 4.领略数学史，感受前人的伟大智慧和数学的无穷魅力。
教学重点难点 教学重点：中位线定理的证明和运用。 教学难点：中位线定理的证明。
教学过程 一、情境引入-----古巴比伦泥板上的故事 在古巴比伦，有位父亲为将他的一块三角形土地均分给四个儿子而愁眉不展，幸亏聪明的测量师帮忙，给出了三种解决办法，这里涉及的D、E、F均为边上的等分点，可是，父亲又犯起愁来，三个方案都将土地均分成四个大小、形状相同的小土地了吗？选择哪一种方案更合理呢？带着这个问题，我们进入新课的学习，届时谜底自然揭晓哦！ 【设计意图】 三角形的中位线定理最早在古籍中出现是用于土地分割问题，以古巴比伦泥板上的故事引入，让学生大胆探究哪个方案最合理，问题具有开放性，既贴近生活，又与本节课的中位线知识点息息相关，大大激发了学生的兴趣和积极性。 中位线 中位线概念 什么是中位线？在三角形中，任选两条边中点，像这样一连，就是中位线了，显然，这么一连，也是中位线，这两中点的连线，也是中位线，那三角形就有三条中位线了，连接三角形两边中点的线段就是中位线的概念。 【设计意图】 动画演示中位线的画法，并引入中位线的概念，让学生明晰中位线的准确定义和在三角形中的位置（三角形有三条中位线），为后面中位线定理的证明和运用做好铺垫。 中线和中位线的异同 中线和中位线的异同，不难看出，相同的地方：都是线段，且都有三条。不同的地方：中线-----线段一个端点是三角形顶点，另一端点是三角形的边的中点。中位线------线段两个端点都是三角形边的中点。 【设计意图】 中线和中位线一字之差，有着相同点和不同点，学生容易混淆！分别动画演示中线和中位线，让学生直观感受它们的异同点，师生共同总结归纳成文字。 观察猜想 观察猜想：DE和BC有什么关系呢？ 关系是指数量关系（即大小关系）和位置关系（即平行或垂直），从图上来看，一长一短，数量上有着一半的关系，即DE=BC，位置上，是平行的关系.怎么证明呢？ 【设计意图】 不直接告诉学生中位线定理的内容，而是让学生自己观察图形，猜想出中位线和第三边的关系（包含数量关系和位置关系），亲身体会数学探究的来龙去脉和求知的乐趣。 证明中位线定理（9种） （一）方法一：测量法 第一步，用尺子量出DE长5.15cm，BC长10.3cm，得到DE=BC。 第二步，用量角器量出∠ADE=45°，∠ABC=45°，从而得到∠ADE=∠ABC，进而证出DE//BC. 【设计意图】 测量法是学生最容易想到的办法，虽然“质朴”了些，但是一个直尺和一个量角器就能大致量出DE、BC的长度关系和角度关系，可以粗略验证猜想的正确与否，不失为一个好办法。 （二）方法二：倍长法（中位线倍长） 延长DE至点F使得EF=DE，连接CF. 因为∠AED=∠CEF，AE=CE，所以△ADE≌△CFE. 由此推出：AD=CF，∠ADE=∠CFE. 所以AD//CF. 因为AD=BD，且AD、BD在同一条直线上， 所以BD平行且等于CF. 推出四边形BDFC是平行四边形. 所以DF平行且等于BC. 故DE平行BC，且等于BC的一半. 【设计意图】 中位线倍长法是课本上推荐的证明方法，证明思想是来源于剪拼法（将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形）。 利用中点的对称性添加辅助线，得到全等三角形，通过全等三角形和平行四边形的性质，得到DE、BC的数量关系和位置关系。 （三）方法三：平行法 过点C作CF//AB交DE延长线于点F， 则∠A=∠ECF，因为AE=CE，∠AED=∠CEF，所以△ADE≌△CFE. 由此推出：AD=CF，DE=EF. 因为AD=BD，所以BD=CF. 又因为BD//CF， 所以四边形BDFC是平行四边形. 推出DF平行且等于BC. 故DE平行BC，且等于BC的一半. 【设计意图】 平行法和倍长中位线法，辅助线看起来长得一样，其实只是前面推理的步骤稍有不同，后面的推理是一样的，让学生感受到，辅助线作法的不同，导致条件不同，证明难易程度有别，但是大体证明思路是相通的（通过倍长线段或作平行将倍分关系转化为相等关系，其本质是一样的，都是最终转化为全等三角形和平行四边形来解决问题），如何去正确书写规范的证明过程，是学生要下功夫学习的。 方法四：相似法 因为∠A=∠A，AD/AB=AE/AC=1:2， 所以△ADE∽△ABC. 由此推出：∠ADE=∠B，DE/BC=1:2. 所以DE平行BC，且等于BC的一半. 【设计意图】 由中点，联想到小线段与大线段之比是1:2，又因为∠A是公共角，进而想联到两边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，那么对应角相等，对应边成比例，结论得证。让学生感受到相似法的威力，寥寥几步，化繁为简，轻松证明猜想。 方法五：中点公式法 以点B为原点，如图建立平面直角坐标系， 设点C坐标为（x1,0），点A坐标为（x2，y2）， 所以BC长为x1. 由中点公式知：点D坐标为（，），点E坐标为（，）， 所以DE平行BC，DE= =BC. 【设计意图】 将几何问题转化为代数问题，有时候会让人迅速抽丝剥茧，直达问题的本质，找到解决问题的诀窍，与几何法达到异曲同工之妙。 这让学生感受到用平面直角坐标系的威力以及数学的博大精深，很值得在数学这条路上深挖精妙的方法和技巧，为我所用。 方法补充（4种） 除了以上五种方法，在这里补充另外四种方法：倍长法之中位线倍长、中线倍长，平行法，作高法，当然，证明中位线定理的方法远不止这几种，欢迎同学们课下继续探究新方法喔！ 【设计意图】 再次提供4种方法，一是让学生感受到辅助线的添加办法是多样的，二是让学生在这么多种方法中，总结梳理其中蕴含的思想和技巧，三是让学生感受数学的无穷魅力，并增强学生学好数学的自信心。 三角形中位线定理及其运用 现在，来总结梳理三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 用几何语言来书写的格式是： 因为点D、点E分别是AB、AC的中点， 所以DE//BC，DE= BC. 接下来看一道例题： 如图，若点E，点F分别是AB，AC的中点，BC＝4 cm，∠B＝50°，则EF＝____cm，∠AEF＝____°. 从题目条件可以看到，点E，点F分别是AB，AC的中点，说明EF是△ABC的中位线，根据中位线定理，EF=BC=×4=2cm. EF//BC，根据两直线平行，同位角相等，得到∠AEF=∠B=50°. 【设计意图】 前面用了9种方法证明了对中位线和第三边的猜想，已经完全可以引入中位线定理了，一是明确定理内容，二是指明可以开始运用定理了。这时，板书中位线定理的几何语言书写格式，以及讲解一道例题，都大大加深了学生对中位线定理的理解，提升学生的解题能力。 常用结论 （一）结论一 根据中位线定理，可以推出三个常用结论。 结论一：三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形。 证明思路：先由中位线定理得到：DE平行且等于BC的一半，进而得到DE平行且等于BF，由SAS证出△ADE≌△DBF，同理可证△ADE≌△EFC，从而得到这三个三角形全等，然后由边边边证出△EFC≌△FED，从而证出这四个三角形全等。 具体证明过程见上面。 这个结论，为我们揭开了开头均分土地的谜底，即第三种方案最合理。 【设计意图】 中位线定理可以推出很多结论，但是有三个尤为常用，总结梳理出来，可以帮助学生在解决问题时，迅速找到要害，从而对症下药。 结论一也是对开头古巴比伦土地分割问题的回应，这既揭开了课前留下的谜底，又让学生真切感受到中位线定理的实用性，一举两得。 结论二 结论二：三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的一半。 证明思路是：由中位线定理得到，三条中位线分别是原三角形三边的一半，结论得证。 具体证明过程见上面。 【设计意图】 结论二是许多经典考题的论据，内容很简单，也容易懂，但是题目千变万化，许多学生云里雾里，弄不清其中的本质，很有必要提炼和升华这个结论，加深学生对它的理解。 结论三 结论三：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。 证明思路是：连接四边形的任意一条对角线，将四边形分割成两个三角形，再根据中位线定理，得出两条中位线都是平行且等于该对角线的一半，进而由一组对边平行且相等证出新的四边形是平行四边形。 具体证明过程见上面。 【设计意图】 课本上的议一议，提到了中点四边形的形状问题，而许多经典考题也是来源于此，所以很有必要引出结论三，这也为后面闯关游戏关卡六，做好知识的铺垫。 闯关游戏 接下来进入闯关游戏，检验同学们掌握了没有哦。 关卡一：小试牛刀 关卡二：夯实基础 关卡三：变式挑战 关卡四：能力提升 关卡五：拓展训练 关卡六：终极挑战 恭喜你，闯关成功！ 【设计意图】 设置闯关游戏，共计六关，让数学题变得更有趣。 题目由易变难，让学生在一次又一次的挑战中，收获逐级通关的喜悦。另外，还附有答案解析，让学生更好地消化吸收，为我所用。 七、小结 本节课我们学习了三角形中位线定理、9种证明方法，以及三个常用结论，其中蕴含了化归和特殊到一般的数学思想。 【设计意图】 本节课知识容量比较大，适时的小结，梳理本节课的主要内容和脉络，让学生迅速抓住重点和难点，加快学生对本节课的消化和吸收。 八、先人智慧 早在古代，先人就证明了三角形中位线定理，比如古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，用面积法证明，而我国数学家刘徽在《九章算术》中，则是用割补法来证明。 【设计意图】 在教学过程中我们可以适当培养学生追本溯源，探究问题来源，刨根问题的优良数学品质，而考察问题的本源和发展史是最行之有效的方法。《几何原本》和《九章算术》是古代中西方数学史上的两个重要代表作品，带着学生一起领略欧几里得和刘徽的中位线证明的思想，让学生感受先人的伟大智慧，激励学生像先人那样，不怕艰难，敢于探索，必定生出真理之花。

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