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第十章　二元一次方程组
10.3《实际问题与二元一次方程组》
第1课时
本节内容是在学习和掌握了二元一次方程组及二元一次方程组解法的基础上，来探究实际问题与二元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识.
在教学中，通过小组合作、讨论交流的方式，探索二元一次方程组的解法，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力.培养学生严谨、细致的学习态度，为后续学习打下良好的基础.
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程的解法，能够解决一些简单的一元一次方程问题。然而，对于二元一次方程组的认识和解题能力尚需加强。在学习本章节时，学生可能会在以下几个方面遇到困难:首先，对于二元一次方程组的概念理解不够深入，难以将其与实
际问题相结合;其次，消元求解过程中，可能会对符号处理不当，导致解题错误;最后，学生在将实际问题抽象为数学模型时，可能会感到困惑，难以找到等量关系。
为此，在教学过程中，教师应关注学生的这些难点，通过设置贴近生活的实际问题，引导学生逐步建立方程组模型，并在解题过程中给予适当的提示和指导。此外，教师要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，发挥学生的主体作用，帮助他们克服困难，提高解题能力时，针对学生的个体差异，教师应制定有针对性的教学策略，使每都能在本章节的学习中取得进步。
1..掌握二元一次方程组的建立与求解方法，提高将实际问题转化为数学模型的能力;
2. 理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，掌握消元法求解方程组的步骤，从而找到解决问题的突破口，初步感知数学的建模思想;
3.在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识;
重点：掌握二元一次方程组的建立与求解方法，提高将实际问题转化为数学模型的能力;
难点: .理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，掌握消元法求解方程组的步骤，从而找到解决问题的突破口，初步感知数学的建模思想;
复习回顾
问题1：请你说一说二元一次方程的概念，二元一次方程组呢？
答：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1 ，像这样的方程叫作二元一次方程.
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1 ，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
问题2：什么叫作代入消元法，其解法步骤呢
答：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
代入消元法解法步骤：①变形；②代入；③求解；④回代；⑤写出方程组的解
问题3：什么叫作加减消元法
答：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种法叫作加减消元法，简称加减法．
问题4：加减消元法的解法步骤是什么
答：加减消元法解法步骤：①将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值回代；⑤写出方程组的解.
问题5：解二元一次方程组的基本数学思想有哪些？
答：解二元一次方程组的基本数学思想有转化和消元.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动一：探究用二元一次方程组解决实际问题
问题6：前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题．
探究1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料，每头小牛1天需饲料．你能通过计算检验他的估计吗？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
分析：设每头大牛和每头小牛1 天各约用饲料xkg，ykg
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值即可.
解：设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1 天约需饲料ykg.
根据题意得，，
解得.
答：每头大牛1天约需饲料20，每头小牛1 天约需饲料5 .
故每头大牛需要的饲料估计正确，每头小牛需要的饲料估计不正确
设计意图：通过分析，初步感知数学的建模思想.
探究新知
活动二：探究用方向角和距离表示平面内物体的位置
问题7：探究2：为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯． A车间购买了3 盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元； B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元． 1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，然后小组讨论，选代表解答，教师补充总结.
解析：本题等量关系如下:
3盏甲型节能灯的费用+5 盏乙型节能灯的费用=50 元;
12盏甲型节能灯的费用+4 盏乙型节能灯的费用=88元.
解:设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是x元和y元.
根据题意,列得方程组，
解这个方程组，得
答:1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是5元和7元.
应用新知
例1 “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家商店连续两个月销售规格为“10cm”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况如下表所示．
销售量件 销售额元
冰墩墩 雪容融
第个月
第个月
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格．
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
提示：从表格获取信息的能力,根据2个月的销售额列方程组求解.
解：设冰墩墩摆件的零售价格为每个x元，雪容融摆件的零售价格为每个y元．
根据题意，得解这个方程组，得
答：“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格都是每个88元．
设计意图：通过例题，更好的理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，掌握消元法求解方程组的步骤，从而找到解决问题的突破口.
【经典例题】
例2 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元； 3 辆A 型汽车、 2 辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、 B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，请你帮助该公司设计购买方案．
【解析】
（1）设A型汽车每辆的进价为x万元， B 型汽车每辆的进价为y万元，
根据“2辆A 型汽车、 3 辆B 型汽车的进价共计80 万元； 3 辆A型汽车、 2辆B 型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x ， y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 型汽车m辆，购进B 型汽车n辆，根据总价单价数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数即可得出购买方案
解：（1）设A 型汽车每辆的进价为x万元， B 型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答： A 型汽车每辆的进价为25万元， B 型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A 型汽车m辆，购进B 型汽车n辆，
依题意，得：，所以
因为m ， n 均为正整数，所以n 为5的倍数，所以，，，
所以共3种购买方案，方案一：购进A 型车6辆， B 型车5辆；方案二：购进A 型车4辆， B型车10辆；方案三：购进A型车2辆， B 型车15辆．
总结：二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设计意图：通过例题，更好在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识.
课堂练习
1. 学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅．第一次买了2 套《西游记》和3套《水浒传》，共花费155元；第二次买了4套《西游记》和2 套《水浒传》，共花费170 元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
解：设每套《西游记》的价格是x元,每套《水浒传》的价格是y元.
根据题意,得,
解得
答:每套《西游记》的价格是25元,每套《水浒传》的价格是35元.
2. 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020 元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240/t上调为300/t ，建筑垃圾清运费的收费标准由150/t 上调为180/t ．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
列表分析：
餐厨垃圾处理费(元/t) 建筑垃圾清运费(元/t) 总费用/元
调价前 240 150 7020
调价后 300 180 8520
解：设这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有xt和yt.
根据题意得
解得
答:这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有8t和34t.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球为单位，已知第一、二束气球的价格如图，则第三束气球的价格为（ ）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
答案：C
解析：此题考查二元一次方程组解实际问题的运用和数学整体思想的运用，解答本题时根据单价数量总价的数量关系建立方程是关键．
要求出第三束气球的价格，先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论．
2.如我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
答案：C
3.为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：

价格万元台
节省的油量万升年台
（1）请求出a和b的值；
（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？
解：根据题意得：，
解得：．
答： a和b的值分别为120，100.
设购买A 型车x台， B 型车y台，根据题意得
解得：
万元
答：购买这批混合动力公交车需要万元．
4 .为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆座客车？
若租用同一种客车，且使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得解得
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
(2)租45座客车：，所以需租14辆，租金为（元）
租60座客车：，所以需租10辆，租金为（元），
∵，∴租用14辆45座客车更合算．
5.在某体育用品商店，购买根跳绳和个毽子共用元，购买根跳绳和个毽子共用元．跳绳、毽子的单价各是多少元？
该商店在“元旦”期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售，节日期间购买根跳绳和个毽子只需元，则该商店的商品按原价的几折销售？
解：(1)设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元．
依题意，得 解得
答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元
(2)设该商店的商品按原价的m折销售．
由题意，得，解得 ．
答：该商店的商品按原价的八五折销售.
总结：此题考查二元一次方程组解实际问题的运用，解题的关键是：
设计意图：加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.请你说一说列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤有哪些？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
请你以实际生活为背景：编一道二元一次方程组应用题，在小组内与大家分享.
本节课利用二元一次方程组解实际问题是在教学了解二元一次方程的基础上，开展的教学，通过这一节知识的学习进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的方程思想，养成仔细读题、认真审题、细心解答的良好习惯。
1.强调读题的重要性，反复读题，直到读懂为止，找出题有已知条件和所求问题。
2.根据题意，找准两个等量关系式。
3.解设未知数时根据题意设两个未知数，根据等量关系式表示出相关的量并列方程组解答。
4.解完题后用大括号表示结果，并在稿纸上检验，一看方程解答是否正确，二看结果是否符合题意。
总之:学生在解题过程中出错很正常，做的题多了，就会知道自己容易在什么地方出错，改正即可，作为老师必须要有训练意识，培养学生严谨的思路和方法，同时提供足够的练习时间和练习量。

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