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第十章　二元一次方程组
10.3《实际问题与二元一次方程组》
第2课时
本节内容是在学习和掌握了二元一次方程组及二元一次方程组解法的基础上，来探究实际问题与二元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识.
在教学中，通过小组合作、讨论交流的方式，探索二元一次方程组的解法，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力.培养学生严谨、细致的学习态度，为后续学习打下良好的基础.
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法，能够解决一些简单的一元一次方程问题.然而，对于二元一次方程组的认识和解题能力尚需加强.在学习本章节时，学生可能会在以下几个方面遇到困难:首先，对于二元一次方程组的概念理解不够深入，难以将其与实际问题相结合；其次，消元求解过程中，可能会对符号处理不当，导致解题错误；最后，学生在将实际问题抽象为数学模型时，可能会感到困惑，难以找到等量关系.
为此，在教学过程中，教师应关注学生的这些难点，通过设置贴近生活的实际问题，引导学生逐步建立方程组模型，并在解题过程中给予适当的提示和指导.此外，教师要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，发挥学生的主体作用，帮助他们克服困难，提高解题能力时，针对学生的个体差异，教师应制定有针对性的教学策略，使每个学生都能在本章节的学习中取得进步.
1.掌握二元一次方程组的建立与求解方法，提高将实际问题转化为数学模型的能力；
2.理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，体会数形结合的数学思想，初步感知数学的建模思想；
3.在解决实际问题的过程中，感受数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强数学应用意识；
4.通过合作交流，探索二元一次方程组的应用，养成严谨、细致的学习态度.掌握二元一次方程组的建立与求解方法，提高将实际问题转化为数学模型的能力.
重点：掌握二元一次方程组的建立与求解方法，提高将实际问题转化为数学模型的能力；
难点: 理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，体会数形结合的数学思想，初步感知数学的建模思想.
复习回顾
问题1：请你说一说解二元一次方程的数学思想有哪些？解法有几种？
答：解二元一次方程组的数学思想有转化、消元和整体的数学思想.
解法有代入消元法、加减消元法.
问题2：什么叫作代入消元法
答：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
什么叫作加减消元法，其解法中应注意的事项有哪些
答：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种法叫作加减消元法，简称加减法．
解法中应注意的事项：①将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值回代；⑤写出方程组的解.
师生活动：教师提问，学生举手回答.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动一：探究用二元一次方程组解决实际问题
问题3：前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题．
探究1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是现要把一块长200m 、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
分析：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形EBCF．此时设AE=x m, EB=y m，根据问题中涉及长度、产量的相等关系，列方程组,解答即可．
解：设AE=x m, EB=y m.
根据题意得
解得
故划分方法为：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物．
设计意图：通过分析，初步感知数学的建模思想.
探究2：对于探究1中的问题，如果按照如图的方式划分土地，分别在长方形
DMNC和MABN土地中种植甲、乙两种作物，那么AM的长度是多少？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，然后小组讨论，选代表解答，教师补充总结.
解：设AM=x m, DM =y m.
根据题意得
解得
答： AM的长度是40 m.
应用新知
【经典例题】
例1 如图所示为边长分别为、的两个正方形，其面积之差为．
根据题意，请列出一个关于、的方程组： ；
请将中的方程组，转化为一个二元一次方程组；
分别求两个正方形的面积．
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
解：(1)
(2)因为，，
所以，所以转化为一个二元一次方程组为
(3) 解方程组 得
所以两个正方形的面积分别为、.
设计意图：通过例题，更好的理解并识别二元一次方程组中的等量关系，将其转化为方程组，掌握消元法求解方程组的步骤，从而找到解决问题的突破口.
【经典例题】
例2 如图，学校规划在一块长18m、宽13m 的长方形场地ABCD上，分别设计与AD，AB平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？
提示：本题图形中包含下面的信息:长AD包含3个AM长和2个通道宽,宽AB包含2个AN长和1个通道宽.
解：设通道宽的宽为x m, M =8ym， 9y m.
根据题意得 解得
答：通道宽的宽为1m.
总结：二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设计意图：通过例题，更好在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识.
例3.如图，小明家客厅的电视背景墙是由10块形状、大小都相同的长方形墙砖砌成的．
求一块长方形墙砖的长和宽；
求电视背景墙的面积．
解：(1)设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m．
由题意，得
解得 所以一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m．
(2)由（1）得一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m，所以10块长方形墙
砖的面积为. （m2）则电视背景墙的面积为m2
课堂练习
1.如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y各应取什么值？
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
提示：格子中已知的各行三个数之和:,
各列的三个数之和:,
各对角线上的三个数之和:,
则满足的相等关系为:
解：根据题意得
解得
答：x，y各应取-1,1.
2.某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为180 m的河道的清理任务．已知Ａ工程队每天清理12 m ， B工程队每天清理80m，两个工程队工作天数之和为20 天， A，B工程队分别清理了多长的河道？
提示:本题相等关系如下:①工作量:;②工作时间:天.
工作时间=工作量÷工作效率.
解：设A,B工程队分别清理了xm和ym的河道.
根据题意得.
解得
答:A，B工程队分别清理了60m和120m的河道.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是的大正方形，中间围成的小正方形的面积是．下面说法正确的是( )
A. 若， 则 B. 若， 则
C. 若，则 D. 若，则
解：根据大正方形的面积求得该正方形的边长是，则，
若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是，
则，解得，，则，故选项A、D错误；
若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是，
则，解得，，，故选项B错误，选项C正确．
2. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是( ) A. B. C. D.
解析：设长方形的长为，宽为，
则，解得
则，，
点在第二象限，，
故选D
3.同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶它们各自单独行驶并返回的最远距离
是现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A 地( )
A. B. C. D.
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完.
设，，
根据题意得：， 解得：．
A和B的最远距离是．故选B．
4.为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元．那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
解：设这个市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为元．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这个市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元．
5.在某体育用品商店，购买根跳绳和个毽子共用元，购买根跳绳和个毽子共用元．跳绳、毽子的单价各是多少元？该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买根跳绳和个毽子只需元，该店的商品按原价的几折销售？
解：(1)设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元，
根据题意得
解得
答：跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元．
(2)设该店的商品按原价的a折销售，可得
，
解得 ．
答：该店的商品按原价的9折销售．
6.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通 笔记本，这种笔芯每盒支，整盒买比单支买每支可优惠元．小贤要买支笔芯、本笔记本需花费元；小艺要买支笔芯、本笔记本需花费元．
求一本笔记本的价格和单独购买一支笔芯的价格；
小贤和小艺都还想再买一件价格为元的小工艺品，如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩元钱．他们怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品？请通过运算明．
解：(1)设一本笔记本的价格为x元，单独购买一支笔芯的价格元．
由题意得 解得
答：一本笔记本的价格为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
(2)由（1）得一本笔记本的价格为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元.
由题意得小贤和小艺带的总钱数为（元），两人合在一起购买整盒笔芯所需的费用为（元）．
因为，，且，所以他们合在一起购买整盒笔芯，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
设计意图：加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.请你说一说列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤有哪些？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
请你以实际生活为背景：编一道二元一次方程组应用题，在小组内与大家分享.
本节课利用二元一次方程组解实际问题是在了解二元一次方程的基础上，开展的教学，通过这一节知识的学习进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的方程思想，养成仔细读题、认真审题、细心解答的良好习惯.
1.强调读题的重要性，反复读题，直到读懂为止，找出题有已知条件和所求问题.
2.找准等量关系式.
3.解设未知数时根据题意设两个未知数，根据等量关系式表示出相关的量并列方程组解答.
4.解完题后用大括号表示结果，检验时，一看方程解答是否正确，二看结果是否符合题意.
总之:学生在解题过程中出错很正常，做的题多了，就会知道自己容易在什么地方出错，改正即可，作为老师要有训练意识，培养学生严谨的思路和方法，同时提供足够的练习时间和练习量.

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