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第十章 二元一次方程组
10.4《三元一次方程组的解法》
第1课时
《三元一次方程组的解法》是初中数学代数部分的重要内容，承接二元一次方程组，是对方程组知识的进一步拓展和深化.通过学习三元一次方程组的解法，学生能够将之前解决二元一次方程组的思路和方法进行迁移，提升解决复杂方程问题的能力，为后续学习更高阶的方程以及函数等知识奠定基础，在数学知识体系的构建中起着承上启下的关键作用.
学生在之前已经学习了一元一次方程和二元一次方程组，掌握了一元一次方程的解法以及二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，对解方程的基本思路和方法有了一定的认识和实践经验.这些知识储备为学生学习三元一次方程组的解法提供了必要的基础，学生可以在已有知识的基础上，通过类比、迁移来理解和掌握新知识.
初中学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们具有一定的观察、分析和归纳能力，但对于较为复杂的数学问题，还需要教师的引导和启发.在学习三元一次方程组时，学生对于方程组中多个未知数的处理可能会感到困惑，需要教师通过具体的实例和直观的演示，帮助学生理解消元的思想和方法，逐步提高学生的抽象思维能力和运算能力.
初中学生好奇心强，对新鲜事物充满兴趣，但在学习过程中容易出现注意力不集中、缺乏耐心等问题.在教学过程中，教师可以采用多样化的教学方法，如问题引导、小组合作、多媒体演示等，激发学生的学习兴趣，提高学生的课堂参与度，同时培养学生的自主学习能力和合作交流能力.
1.了解三元一次方程组的概念；
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想，培养学生将复杂问题转化为简单问题的化归能力；
3.能解决简单的三元一次方程组的应用问题，提高学生分析问题、解决问题以及数学建模的能力.
重点：三元一次方程组的解法，尤其是代入消元法和加减消元法的运用；
难点: 解决简单的三元一次方程组的应用问题.
复习回顾
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
师生活动：教师提问，学生举手回答.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动一：探究三元一次方程组的概念
问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
教师问：题目中有几个条件？
学生答： 题目中共有3个条件.
教师问：问题中有几个未知量？
学生答：问题中有3个未知量.
教师问：题目中有哪些数量关系呢？
教师问：根据题目中的数量关系，你能得到几个方程呢？
师生一起解答：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，设球队胜，平，负的场数分别为x，y，z，根据题意可以得到下列三个方程:
把三个方程合在一起写成：
由此，我们得出三元一次方程组的定义.
含有三个未知数，含有未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
设计意图：通过观察，比较，得出三元一次方程组的定义.
探究新知
活动二：探究三元一次方程组的解法
问题：怎样解三元一次方程组呢？类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 求解下面的三元一次方程组：
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，然后小组讨论，选代表解答，教师补充总结.
解：把③分别代入①②得
解这个方程组，得
把 代入伞，得.
因此，三元一次方程组的解为
设计意图：通过知识迁移，将消元法运用在求解三元一次方程组中.
总结：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
应用新知
【经典例题】
例1求解
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
解：由方程②，得 . ④
把④分别代入①③，得 ,
解这个方程组，得
把代入④，得.
所以原方程组的解是:
设计意图：通过例题，让学生掌握三元一次方程组的解法.
【经典例题】
例2 在等式 y=ax2+bx+c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试
解： 根据题意，得三元一次方程组
得
,得
④和⑤组成方程组
解这个方程组，得
把a=3,b= 2 ,代入①，得c= 5.
所以a,b,c的值分别为3，-2，-5.
例3 幼儿营养标准中要求每个幼儿每天所需的营养中应包含35单位铁、70单位钙和35单位维生素.现需给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试
解： (1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
得
，得
④与 ⑤组成方程组
,得
把代入⑤，得
把，代入①，得
所以 .
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
设计意图：通过典型例题锻炼学生读题、解题能力，提升逻辑思维能力.
课堂练习
1.解方程组
解：由方程②得 . ④
把④代入①得 , ⑤
解由③⑤组成的二元一次方程组，得
.
把代入④，得.
所以原方程组的解是:
2.解方程组
解：得 . ④
解由①④组成的二元一次方程组，得
.
代入③，得.
所以原方程组的解是:
3.解方程组
解：得 . ④
解由①④组成的二元一次方程组，得
.
把代入，得.
所以原方程组的解是:
4.解方程组
解： ①+②得 . ④
②+③得 . ⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
.
代入③，得.
所以原方程组的解是:
师生活动：学生演板，教师点评.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.方程 中，三元一次方程的个数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　　 B. 2个　
C. 3个 　 D. 4个
解析：三元一次方程有三个未知数，并且未知数的项的次数都是1．
由题知，满足题意．
故选 B ．
2.若，则的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加的方法.
两个方程相加可得，所以
故选D ．
3.解方程组
则x＝_____，y＝______，z＝_______.
解析：①+②可得，②+③可得，将，带入①可得.
4.若，求的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
5.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的
数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数
比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z. 由题意，得
解得： ， 所以原三位数为368.
6.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
依题意,得
解得
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.请你说一说三元一次方程组的定义.
3.你会解三元一次方程组吗？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，鼓励学生自主探索、合作交流.设计了一系列富有层次的问题链，互动学习，充分研讨.在探究过程中，学生自主参与度高.类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组，根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.
解三元一次方程组，运算量大，变化较多，学生需要首先预判消去哪个未知数，所以在实际解题时容易出现消元选错未知数，重新消元，消元时出现符号错误，这些都是需要多练习多讲解的地方，还需要学生在课下多探究多找规律才能掌握.

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