资源简介

第十章 二元一次方程组
10.4《三元一次方程组的解法》
第2课时
本节课《三元一次方程组的解法》是人教版初中数学七年级下册第十章第四节的内容.这一章是选学内容，是以学生学习完二元一次方程组的知识为基础.本节内容学生主要学习三元一次方程组在实际问题中的应用和代数式中应用的知识，丰富了学生的知识储备，开阔了眼界.
到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和转化思维能力，对三元一次方程组可以进行初步的理解和学习，帮助学生从三元一次方程组转化为二元一次方程组，再到一元一次方程的过程，让学生认识到化元的魅力和奇妙，为深入的学习和应用三元一次方程组解决实际问题打下基础.
1. 学生通过回顾复习，牢固掌握用代入消元法和加减消元法来解三元一次方程组的技巧；
2. 通过对三元一次方程组的学习，学生能够将其灵活应用，用来解决实际问题；
3. 经历各式各样的解题方法，让学生体会到转化思想，培养学生理论联系实际和解决问题的能力.
重点：学生通过回顾复习，牢固掌握用代入消元法和加减消元法来解三元一次方程组的技巧；
难点：通过对三元一次方程组的学习，学生能够将其应用，用来解决实际问题.
复习回顾
问题1：请你说一说解三元一次方程组的基本思路？
师生活动：小组形式汇报．
结论：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
设计意图：通过学生对以前学过的三元一次方程组的解法的复习，进而为本节利用三元一次方程组解决实际问题打下基础.
探究新知
活动一：三元一次方程组在求值中的应用
问题1：在等式是常数中，当时，；当时，；当时，求，，的值．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解：把分别代入等式，得
，得，解得．
，得
把代入，得．
把，代入，得．
所以，，．
设计意图：让学生借助列代数式的相关知识，来构建出三元一次方程组，并且能够三元一次方程组的解法来求值.
活动二：三元一次方程组在实际问题中的应用
问题2：一个三位数，十位上的数等于百位上的数的倍，百位上的数的倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为求这个三位数．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示.
答：解：设这个三位数的百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，则这个三位数是．
根据问题中的相等关系，列得方程组
由，得
，得
由与组成二元一次方程组
解这个方程组，得把，代入，得，．
因此，这个三元一次方程组的解是
．
答：这个三位数是．
设计意图：让学生能够利用已经学过的方程的知识，列出三元一次方程组，并且能够解法解出 来，体现出来学以致用，用来解决实际问题.
应用新知
经典例题：球类运动室有篮球、排球和足球共26个．已知篮球比排球多1个，排球与足球个数的和比篮球多6个．问这三种球各多少个？
解：
解得
答：篮球有10个，排球有9个，足球有7个.
教材例题：
例2：在等式中，当x= 1时，y=0；当x=2时，y=3；x=5时，y=60.求a、b、c的值.
分析：把a、b、c看做三个未知数，分别把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
答：解：根据题意，列得三元一次方程组
②-①，得a+b=1 ④
③-①，得4a+b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a=3，b= 2代入①得,
c= 5
因此a、b、c的值分别为3,-2,-5.
例3：一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数.
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
答：解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z．根据题意，列得三元一次方程
解这个方程组得
因此这个三位数是473.
教材例题归纳：让学生借助列代数式的相关知识及已经学过的方程的知识，来构建出三元一次方程组，并且能够三元一次方程组的解法来求值，学以致用，从而解决实际问题.
课堂练习
教材练习：
1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等丙数的．求这三个数.
解：设甲数是x，乙数是y，丙数是z.
由题意得
解得
答：甲、乙、丙这三个数分别是10，15，10.
2. 在等式z=ax+by+c中，当x=1,y=2时，z=8；当x=2,y=1时，z=5；当x= 1,y= 1时，z=4.求a,b,c的值.
答：解：由题意可得
解这个方程组得
答：a,b,c的值分别是-1，2，5.
限时训练：
1.解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是( )
A. 加减法消去，即，
B. 加减法消去，即，
C. 加减法消去，即，
D. 代入法消去，，中的任何一个
答：C
2.已知且，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
答：B
3.在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比：：，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到：，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是______．
答：：
解：设该村已种药材面积，余下土地面积为，还需种植贝母的面积为，则总面积为，川香已种植面积、贝母已种植面积，黄连已种植面积
依题意可得，
由，得，
将代入，得，
贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比，
故答案为：．
4.现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共值元．角、角、元硬币各取出多少枚？
答：设取出1角、5角、1元硬币各x，y，z枚.
根据题意，得．
②-①得4y+9z=55，即y=
因为x，y，z都不大于，且只能取正整数，所以．
答：应取枚角，枚角，枚元的硬币．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.如何用代入消元法和加减消元法来解三元一次方程组？
3.如何利用列三元一次方程组来解决实际问题？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
请同学们以小组为单位，以男生、女生和任课老师的人数为依据，编一道三元一次方程组的题目，并由其他小组进行解答，看你们得到的结果一致吗？
在教授初中七年级人教版三元一次方程组的解法第二课时时，我收获了许多宝贵经验.课堂上，我通过带领学生回顾上一课时三元一次方程组的解法，为应用题的学习打下了坚实基础，学生能较好地运用消元思想来解决实际问题，知识过渡较为自然.
在课堂练习环节，组织学生进行小组合作讨论，共同解决较复杂的应用题.学生们在小组中积极交流想法，互相启发，不仅提高了合作能力，还找到了多种解决问题的思路和方法，培养了学生的思维灵活性.
但也存在不足.尽管大部分学生能跟上教学进度，但仍有少部分学生在理解应用题题意和建立三元一次方程组模型时存在困难.在后续教学中，需要更加关注这部分学生，给予他们更多的指导和练习机会.在讲解一些较难的应用题时，花费时间较多，导致后面的课堂小结有些仓促，没有充分让学生分享自己在本节课的收获和体会，影响了课堂教学的完整性.
后续教学中，我会加强小组讨论的组织引导，明确规则与方向，确保全员参与.优化习题设计，增加分层练习，满足不同层次学生需求.同时，持续挖掘生活素材，丰富教学内容，让学生更深入掌握三元一次方程组的知识.拓宽学生的解题思路，提高他们的综合应用能力.

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