资源简介

第八章 三角形
8.2 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
《多边形外角和》是华师版七年级下册第8章第2节第2课时的内容，承接了三角形内角和、外角性质以及多边形内角和公式等知识．此前学生对三角形和多边形内角相关内容的学习，为探究多边形外角和奠定了基础．从知识体系构建来看，多边形外角和完善了多边形的角相关知识架构，它与多边形内角和相互补充，共同揭示了多边形角的特征．通过学习多边形外角和，能让学生从新的角度认识多边形，体会多边形内角与外角之间的内在联系．这不仅有助于深化学生对多边形概念的理解，还为后续学习多边形的其他性质，如多边形的稳定性、正多边形的特征等，以及在实际生活中解决与多边形相关的问题，如建筑设计、图案拼接等，提供了重要的理论支撑，在整个初中几何知识体系中起到了承上启下的关键作用．
学生已掌握三角形内角和、外角性质及多边形内角和公式，为学习多边形外角和提供类比与推导基础．但从三角形到多边形，知识迁移有难度，如识别多边形外角易混淆，推导思路不清晰，对概念、公式理解浮于表面，运用不灵活．
七年级学生处于形象向抽象思维过渡阶段，观察多边形图形尚可，归纳出抽象定理较难．自主学习缺深度、系统性，对数学思想方法感悟、运用不足．
1．理解多边形外角和的定义，能准确识别多边形的外角．
2．掌握多边形外角和，并能熟练运用该公式进行相关计算．
3．经历探索多边形外角和公式的过程，学会运用转化、类比、从特殊到一般等数学思想方法．
4．通过自主探索和合作交流，培养勇于探索创新的精神和团队合作意识，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和信心．
重点：多边形外角和概念及公式的理解．
难点：利用多边形的外角和公式进行相应的计算．
复习回顾
1．三角形的外角和的概念
答：从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
2．三角形的外角和等于_________．
答：360°．
3．多边形的内角和公式：_________________．
答：(，n为正整数)
思考：多边形的外角和是多少呢？
设计意图：回顾三角形外角和概念及多边形内角和公式，巩固学生已有知识，为探究多边形外角和做知识储备，搭建新旧知识联系桥梁．
探究新知
活动一：多边形的外角和
问题1 根据三角形的外角和定义，你能说一说多边形的外角和的定义吗
概念：从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．
例如：∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四边形的外角和．
问题2 通过类比三角形外角和的求解方式，你能求出四边形的外角和吗？
从图中可以知道：
，
所以．
四边形ABCD的内角和为．
因此．
问题3 n边形的外角和等于多少度呢
根据n边形的每一个内角与和它相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的外角和．据此，请将数据填入表格．
答：
通过验证可以得出多边形的外角和为
即：任意多边形的外角和都为360°．
设计意图：借助类比三角形外角和定义，引导学生自主归纳多边形外角和定义，模仿三角形外角和求解，探究四边形外角和，从四边形拓展到更多边数多边形，让学生填表找规律，以数据支撑，助力其掌握从特殊到一般归纳出多边形外角和．
应用新知
经典例题
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
例1：一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
．
解得 ．
因此，这个多边形是五边形．
例2：一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
．
解得 ．
因此，这个多边形是十二边形．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深多边形外角和的掌握．
【思考】
正多边形的每个外角是多少度？
答：因为正多边形的每个角相等，所以知道正多边形的边数，就可以求出每一个外角的度数．
正n边形的每个外角度数：．
设计意图：引导学生基于正多边形性质（各角相等），结合多边形外角和为360°这一结论，推导出正n边形每个外角的度数公式，培养学生逻辑推理与知识应用能力，深化对正多边形外角特征的理解．
课堂练习
1．一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：，．
因此，这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135°．
在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
解：根据多边形的外角和可知，多边形的外角最多可以有3个钝角，所以多边形的内角最多可以有3个锐角．
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是，
外角和等于360°，
所以 ．
解得
因此，这个多边形是八边形．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，掌握多边形的外角和．
课堂检测
限时训练
1．如图，状状从点A出发沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米．又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米．所以这个多边形的边数为．
所以一共走了（米）．
2．如图，用n个完全相同的正五边形进行拼接，使相邻的两个正五边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正n边形，则n的值等于______．
答：10．
将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则______．
答：102°．
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对多边形外角和的掌握．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．说一说多边形的外角和概念？
3．多边形的外角和是多少？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
任意的画一个多边形，用量角器测下它的外角并计算这些角的和，与同学交流．
在知识讲授上，虽学生已有一定基础，但部分同学在多边形外角和概念理解时仍混淆不清，如对外角的选取与内角关系模糊，后续应强化概念剖析，多举例类比．推导定理环节，小组合作未达预期，个别学生主导，多数被动跟随，应提前规划小组分工，培养协作技巧．练习巩固时，综合题出错率高，反映出学生知识迁移、运用能力弱，要设计分层练习，从基础巩固到综合提升，逐步深化．教学方法上，生活实例引入激发了兴趣，但抽象到理论转化过快，应延长过渡时间，借助多媒体动态演示，助力学生从形象思维迈向抽象思维，让学生更扎实地掌握知识．

展开更多......

收起↑