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第四章 平面内两条直线
4.5 垂线
第2课时 垂线段与点到直线的距离
一、教学目标
1.掌握垂线段、点到直线的距离的有关概念.
2.会作出直线外一点到一条直线的垂线.
3.理解垂线段最短的性质.
4.经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力.
二、教学重难点
重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质.
难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【情境引入】
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短 说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗
设计意图：通过实际问题的引入，让学生感受到生活中处处可以遇到垂直问题，体会数学在生活中的应用价值.
环节二 探究新知
【做一做】
问题1 如图，任画一条直线 l ，作 l 的垂线.这样的垂线能画出几条？
预设：可以画无数条.
问题2 任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
(1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？
预设：可以画一条
画法：一靠，二过，三画.
(2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？
预设：可以画一条
根据以上操作，你能得出什么结论
【抽象】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意:
① “过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.
② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.
设计意图：通过做一做画垂线活动，总结归纳得到在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段．
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
经过点P的其他直线分别交直线l于A，B，C，D ···，线段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．
【说一说】
比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
预设：
① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短.
② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度，可知线段 PO 最短.
【抽象】
特别规定：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
设计意图：引导学生通过用刻度尺测量、圆规比较等操作，自主探究垂线段与斜线段的长度关系，培养学生动手实践能力和自主探究精神，在操作基础上发现垂线段最短这一性质，经历从实践到理论的归纳过程，加深对该性质的理解与记忆，提高学生归纳总结能力.
【做一做】
(1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离.
预设：
(2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处，如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
预设：如图，垂线段最短．
(3)由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？
预设：求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
设计意图：培养学生总结归纳的能力，帮助学生掌握将复杂问题转化为简单问题的数学方法，提升数学思维水平.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(1) 点 A 到直线 BC 的距离；
(2) 点 B 到直线 AC 的距离.
解：因为∠ABC = 90°，
所以 AB⊥BC， 点B为垂足，
所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.
因为AB = 5，
所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，
所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.
因为S△ABC =BC AB= AC BD ,
所以BD===.
所以点B到直线AC的距离为.
设计意图：通过例题，巩固本节课所学知识，为学生提供规范的逻辑推理思路，培养学生分析和解决几何问题的能力.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离.
解：作 AD ⊥ BC，垂足为点 D .
所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离.
因为S△ABC =AC AB= BC AD，
所以AD==.
因为∠BAC = 90°，
所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足，
所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4.
2.某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示(比例尺为：1∶5 000)，其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离．
提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离.
3.如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
解：体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.
4. 如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1) 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2) 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3) 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
预设：如图所示:
(1)沿AB走，两点之间线段最短；
(2)沿BD走，垂线段最短；
(3)沿AC走，垂线段最短.
设计意图：通过练习，检测学生对本堂课所学知识的掌握程度.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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