资源简介

第八章 三角形
8.3 用正多边形铺设地面
第2课时 用多种正多边形
本课时聚焦 “用多种正多边形铺设地面”，在华师版七年级下册第8章第3节中占据重要地位．它是在学生掌握用相同正多边形铺设地面的基础上，对平面镶嵌知识的进一步拓展与深化．从知识体系看，多种正多边形铺设地面问题涉及到多边形内角和、外角和、正多边形内角特点等知识的综合运用，不仅加深学生对这些知识的理解与掌握，还能让学生体会不同数学知识之间的内在联系．通过学习，学生能够将数学知识与实际生活中的艺术设计、建筑装饰等紧密结合，增强数学应用意识与审美能力，培养创新思维与实践能力，为后续学习图形的变换、相似等知识积累经验，在整个初中数学学习中起到承上启下的关键作用．
学生已学习了多边形内角和、外角和公式，对正多边形的基本特征，如各边相等、各内角相等有清晰认知，且掌握了用相同正多边形铺设地面的原理，知晓单个正多边形能铺满地面需其内角能整除360°．然而，对于知识的综合运用尚显薄弱，在面对多种正多边形组合问题时，难以迅速关联已学知识，例如不能快速准确计算不同正多边形内角和并判断组合可行性．部分学生对之前所学公式理解停留在表面，未深入领会推导过程，导致在新情境下灵活运用公式解决复杂镶嵌问题时力不从心．
1．理解多种正多边形能够铺满地面的数学原理，掌握常见的两种或两种以上正多边形铺满地面的组合情况．
2．能够根据正多边形内角和公式计算出正多边形的内角度数，并据此判断多种正多边形能否铺满地面．
3．通过观察、实验、拼图等活动，提高动手操作能力、自主探索能力和合作交流能力．
4．感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，增强对数学学习的兴趣．
重点：熟练掌握常见的两种或两种以上正多边形铺满地面的组合情况．
难点：能依据正多边形内角和公式准确计算内角度数，以此判断多种正多边形能否铺满地面．
复习回顾
1．在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中取一种，可以铺满地板的有哪些？
答：正三角形、正方形、正六边形．
2．用同种正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么？
答：正多边形的一个内角能否整除360°．
思考：如果用不同种正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板吗？
设计意图：回顾用相同正多边形密铺的判断方法，为后续探究多种正多边形组合能否铺满地面做铺垫．
探究新知
活动一：用两种正多边形铺设地面
问题 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形……中任取两种进行组合是否能铺满地面呢？
答：正方形、正三角形组合，
．
正六边形、正三角形组合，
．
正十二边形、正三角形组合，
．
正八边形、正方形组合，
．
正五边形、正十边形组合，
．
思考：围绕一点能拼成360 ，但能扩展到整个平面，即铺满地面吗？
答：如图，尽管能围绕一点拼成360 ，但不能扩展到整个平面．
设计意图：通过选取几种正多边形探究组合密铺，让学生初步尝试，感知不同组合效果，为归纳密铺规律积累经验，培养探究与分析能力．
活动二：用两种以上正多边形铺设地面
问题 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形……中任取几种进行组合是否能铺满地面呢？
答：正六边形、正方形、正三角形组合，
．
正十二边形、正方形、正六边形组合，
．
正十二边形、正方形、正三角形组合，
．
思考：多种正多边形应该满足什么样的条件才能铺满地面？
答：需满足围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360 ．
模型：
正多边形1的个数×正多边形1的内角度数＋正多边形2的个数×正多边形2的内角度数＋… ＝360
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面．如：正五边形与正十边形的组合．
设计意图：让学生从多种正多边形中选取组合探究能否铺满地面，激发主动探索，初步感受多种正多边形组合密铺情况，培养动手和分析能力．
应用新知
经典例题
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
例：说说用正方形和正六边形不能镶嵌成一个平面图案的原因吗？
解：正方形的一个内角为90°，正六边形的一个内角为120°，
设若能进行平面镶嵌时正方形有x个，正六边形有y个，且x、y都是正整数，
则，
此时找不到同时满足x、y均为正整数的解，
故正方形和正六边形不能平面镶嵌．
方法总结：用任意几种正多边形铺满地面时，根据铺满地面的正多边形的种类，列出关于这几种正多边形的二元一次方程或三元一次方程，求其正整数解，方程有几组正整数解，就有几种铺设方法．没有正整数解，则不能密铺．
设计意图：通过具体实例，让学生运用正多边形内角度数知识以及方程思想，判断两种正多边形能否镶嵌，巩固多种正多边形平面镶嵌的原理及相关计算方法．
课堂练习
1．用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形
C．正三角形和正六边形 D．正方形和正八边形
答：B．
2．设在一个顶点周围有a个正三角形，b个正十二边形铺满地面，则______，______．
答：1，2．
3．现有四种地板砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地板砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
答：B．
4．铺设一间长6 m、宽3.5 m的客厅地面需要同样规格的正方形地板砖，现有“40 cm×40 cm”“30 cm×30 cm”“50 cm×50 cm”和“60 cm×60 cm”的地板砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破且不留一点空隙，选哪一种规格？为什么？需要多少块？
解：选“50 cm×50 cm”规格的．
理由：∵6 m=600cm，3.5 m=350 cm，
600，350都是50的倍数，
∴选“50 cm×50cm”规格的．
需要（块）．
设计意图：让学生运用正多边形密铺原理进行实际运算，培养学生运用知识解决具体问题的能力，加深对密铺原理的理解．
课堂检测
限时训练
1．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A．正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
答：D．
2．用正三角形和正六边形铺成平面，共有不同的拼法是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答：B．
3．在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
答：B．
4．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形铺满，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，那么另外一个为(　 　)
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
答：B．
5．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖，则的值为(　 　)
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
答：B．
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对不同种正多边形组合进行密铺的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．用多种正多边形铺满地面需要满足的条件是？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
假设你正在为家中的一个小房间（例如书房、儿童房等）设计地面或墙面的装饰方案．要求使用至少两种不同的正多边形瓷砖进行铺设，使图案既美观又满足数学上的拼接要求．
在讲解多种正多边形铺设地面的原理时，尽管学生已熟悉多边形内角和等基础知识，但从单一正多边形过渡到多种正多边形组合，知识综合运用的难度提升，部分学生出现理解障碍．例如，在运用方程思想求解正多边形组合数量时，不少学生难以依据内角和为360°准确列出方程，反映出对知识的串联和灵活运用能力不足．后续教学需强化知识间的联系，多通过实例引导学生逐步构建解题思路，加深对原理的理解．
在解决实际问题，像设计地面铺设方案练习中，学生短板尽显．他们虽知晓原理，但在兼顾场地形状、美观需求等现实因素时，显得力不从心，难以将数学知识与实际完美融合．知识迁移和综合运用能力亟待提升，日后应增加贴近生活的复杂案例练习，引导学生逐步学会平衡各方要求，提升数学应用素养．

展开更多......

收起↑