资源简介

第八章 三角形
8.3 用正多边形铺设地面
第1课时 用相同的正多边形
“用相同的正多边形铺设地面”是华师版七年级下册第8章第3节第1课时的内容，是在学生学习了多边形内角和、外角和等知识基础上展开的．它将抽象的多边形知识与实际生活中的地面铺设问题紧密联系，具有很强的实用性与趣味性．从知识体系看，这一内容不仅是对多边形内角和等知识的深化应用，还为后续探究多种正多边形铺设地面以及更复杂的图形镶嵌问题奠定基础，起到了承上启下的作用．通过学习，学生能进一步理解多边形的性质，体会数学在生活中的广泛应用，提升数学应用意识与实践能力，增强对数学学科的认同感与兴趣．
七年级学生处于形象思维向抽象思维过渡关键期．对生活中地板铺设等具体实例，学生能观察到图案特征，引发兴趣，但从现象提炼出用正多边形铺设地面的数学原理，如围绕一点内角和为360°，部分学生难以完成思维跨越．课堂上，学生具备一定自主学习能力，能在教师引导下尝试探究问题，但缺乏系统性和深度，如自主探究正多边形能否铺满地面时，可能仅停留在表面拼摆，未深入思考内角和与铺设原理的内在联系．小组合作学习中，虽有合作意愿，但部分学生缺乏有效沟通、分工协作技巧，导致合作效率低，难以充分发挥小组优势解决问题．在归纳总结方面，学生能对简单、直观现象归纳，但从特殊正多边形（正三角形、正方形等）推广到一般正多边形铺设地面的条件，构建数学模型，对学生抽象概括能力要求高，多数学生需教师进一步引导．
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．
2．知道怎样的正多边形能无空隙的铺设地面．
3．探索用一种正多边形拼地板的过程和原理．
4．结合现实世界中的美丽图案，充分感受用正多边形拼地板的意义．
重点：运用多边形内角和与外角和公式，分析判断何种正多边形能单独用于铺设地面．
难点：深刻理解并掌握用相同正多边形铺设地面的原理，即围绕一点拼合的正多边形内角之和为360°．
情境导入
思考：这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？它们有什么特点？
答：这些瓷砖都是正多边形．
设计意图：通过展示生活中常见的不同正多边形瓷砖铺设地面的精美图片，吸引学生注意力，引发学生对生活中数学现象的关注，激发学生对用正多边形铺设地面这一问题的好奇心和探究欲望．
探究新知
活动一：镶嵌的概念
生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面或地面．从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不重叠地铺满平面的一部分，这就是平面图形的镶嵌．
设计意图：给出平面图形镶嵌的定义，帮助学生准确把握概念内涵，为后续探究用正多边形进行平面镶嵌（铺设地面）的原理和方法奠定基础．
活动二：探究镶嵌的规律
探究：使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不互相重叠呢？
答：与正多边形的内角大小有关．
请根据下图，完成表格．
答：
思考：从正三角形、正方形、正五边形、正六边形···中选用其中一种镶嵌，哪几种正多边形能够进行平面镶嵌(铺满地面)？
答：
由图可知，6个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面．
由图可知，4个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面．
由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面．
由图可知，3个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面．
由图可知，正八边形不能无缝拼接，所以正八边形不能铺满地面．
思考：你知道镶嵌的规律了吗？
结论：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就可以铺满地面．
如果用x表示正多边形的一个内角的度数，a表示正多边形的个数，那么上面的结论可表示为：
　
设计意图：引导学生探究正多边形密铺，从特殊正多边形推广到一般情况，归纳出正多边形密铺的条件，培养学生归纳概括能力．
应用新知
经典例题
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
例：正七边形、正九边形、正十边形、正十二边形能密铺地面吗？为什么？
解：如图，均不能密铺，内角不能被360°整除．
总结：判断用一种正多边形能否铺满地面，关键是看这种正多边形的一个内角能否整除360°．
若能整除，则能铺满地面；否则不能铺满地面．
设计意图：引导学生从具体例题中提炼一般性结论，加深对正多边形密铺条件的认识，培养归纳概括能力，构建完整知识体系．
课堂练习
1．用一种正多边形能进行平面铺设的条件是（ ）
A．内角都是整数度数
B．边数是3的整数倍
C．内角整除180°
D．内角整除360°
答：D．
2．用正三角形瓷砖铺满地面，它在一个顶点周围的正三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答：D．
3．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干图案，则时，白色地砖共有______块．
答：34．
设计意图：让学生运用正多边形密铺原理进行实际运算，培养学生运用知识解决具体问题的能力，加深对密铺原理的理解．
课堂检测
限时训练
1．下列正多边形能铺满地面的是（ ）
A．正五边形 B．正方形 C．正七边形 D．正八边形
答：B．
2．若用一种正多边形铺满地面，则这个正多边形的内角度数是______（写出一个即可）．
答：90°．
3．一个正多边形能铺满地面，它的一个外角是60°，则这个正多边形是正______边形．
答：六．
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对正多边形密铺的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．能用相同的正多边形铺满地面需要满足的条件是？
3．判断一个正多边形能否铺满地面，关键是要看什么？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
找一找家里铺的是正几边形的地砖，并与家人分享选择的理由．
在讲解用相同正多边形铺设地面的原理时，虽学生已具备多边形内角和、外角和及正多边形相关基础知识，但部分同学在联系旧知推导何种正多边形能铺满地面这一关键环节仍存在障碍．例如，从正多边形内角和公式过渡到判断其内角能否整除360°时，学生思维转换较慢，反映出对内角和公式理解的深度不够，后续应强化公式推导过程回顾，多设置引导性问题帮助学生建立知识关联．
引导学生从具体拼摆上升到抽象原理推导时，困难较为明显．用代数式表示正多边形铺满地面条件，对七年级学生抽象思维挑战较大，不少学生跟不上节奏，理解吃力．后续教学需放慢脚步，利用更多直观示例，如动画演示不同正多边形围绕一点拼合的动态过程，配合分步讲解，助力学生跨越思维难关，掌握抽象原理．
在解决实际问题，像设计简单地面铺设方案练习中，暴露出学生将数学知识与生活实际对接的短板．学生往往不能迅速把场地面积、瓷砖尺寸等实际要素转化为数学量进行计算，知识迁移和综合运用能力亟待提升．日后应增加贴近生活的案例练习，搭建数学与生活的桥梁，培养学生灵活运用知识的能力，提升其数学应用素养．

展开更多......

收起↑