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第六章 二元一次方程组
6.1二元一次方程组
本节课《二元一次方程组》是冀教版初中数学七年级下册第六章第1节的内容.“二元一次方程组的概念和解”，本节课主要让学生了解二元一次方程及二元一次方程组的有关概念，会验证所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解.让学生经历从实际问题中抽象出列二元一次方程组的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界有效的数学模型，体会代数方法的优越性和多样性.
本节课是学生学习了上册《一元一次方程》，学习了一元一次方程的概念，已经具备了对方程的初步认知以及一定的基础知识和构建数学模型的基本思想.在此基础上进一步学习二元一次方程的概念和解，通过类比学习更易掌握.同时，对于数学建模思想的认识和理解不够，对于归纳总结的思维能力有限，通过学习有利于提高学生的分析问题、解决问题的能力．
1.了解二元一次方程和二元一次方程组及它们的解的概念.
2.会判断一个方程组是否为二元一次方程组；会判断一组未知数的值是否为二元一次方程(组)的解.
3.会把一些简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来.
4.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值.在自主探索和合作交流的过程中，激发学生学习数学的兴趣.
重点：二元一次方程(组)及其解的概念，判断一组未知数的值是否为二元一次方程(组)的解.
难点：理解二元一次方程组的解的概念，将简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来.
情景导入
问题1：什么叫做方程？什么叫一元一次方程？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
问题2：你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
答：设樟树苗买了x棵，花了2x元；白杨树苗买了(45-x)棵，花了(45-x)·1元.买树苗一共花了60元.依据题意，得2x+(45-x)·1=60.
解方程，得x=15，45-x=30.
答：樟树苗买了15棵，杨树苗买了30棵.
问题3：如果将樟树苗的棵树设为x，白杨树苗的棵树设为y，是否可以将上述问题中的等量关系用方程表示出来呢？
答：可以.设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，根据两种树苗总数为45棵，得x+y=45.
又根据购买树苗的总费用是60元，得2x+y=60.
设计意图：通过这个问题的探讨,可使学生利用类比的方法进行知识的迁移，让学生用原有的知识结构去同化新知识，符合建构主义理念，学生通过自己努力归纳的结论也是教育的一部分.
一起探讨
问题4：x+y=45①， 2x+y=60②.
(1)上面的两个方程是否为一元一次方程
(2)每个方程中有几个未知数
(3)每个含未知数的项的次数是多少
(4)等式两边的式子都有什么特点
(5)把x=15，y=30分别代入方程①②中,你会有什么发现
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分；3.补充质疑 +2分
答：(1)否，一元一次方程是含有一个未知数，未知数的次数为1的方程；(2)2个；(3)1次；(4)方程两边的式子都是整式；(5)使方程①和方程②的左右两边相等.
归纳：含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程,叫作二元一次方程.使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫作二元一次方程的一组解.
如x=15，y=30是x+y=45的一组解,也是2x+y=60的一组解.一般地,将二元一次方程的一组解记为的形式.
设计意图：组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解二元一次方程的概念及解.
问题5：已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(1)尝试使用一元一次方程进行求解.
(2)设甲数为x，乙数为y，请根据问题中的等量关系，尝试用含有两个未知数的一组方程表示.
(3)在(1)中解出的甲数和乙数代入(2)中的一组方程中，方程两边是否相等？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.正确回答 +2分；2.补充质疑 +2分
答：(1)设乙数为x，则甲数为，
根据题意，得，解得x=2，
所以乙数为2，甲数为.
(2)因为甲数为x，乙数为y，
根据题意得2x+3y=12，3x-2y=5.
(3)由(1)可知，甲数为3，乙数为2，即x=3，y=2，
代入2x+3y=12，2×3+2×2=12，代入3x-2y=5，3×3-2×2=5，等号成立.
归纳：在解决某些问题时，既可以列一元一次方程来求解，也可以列两个二元一次方程来求解，两种方法进行比较，列两个二元一次方程更容易找到等量关系.因此，当遇到存在两个变量时，可以列两个二元一次方程来求解.
做一做：用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52t，10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货54t.那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨
问题中是否存在两个变量？如若存在，尝试设未知数x，y，列出两个二元一次方程.
答：存在.两个变量分别为每辆轻型货车的载质量和每辆中型货车的载质量.
设每辆轻型货车的载质量为x t，每辆中型货车的载质量为y t，
根据题意，得4x+5y=52，10x+3y=54.
归纳：列两个二元一次方程的一般步骤：
第一步：分辨两个变量，并设两个变量为未知数x,y；
第二步：利用题中两个等量关系，列出两个二元一次方程.
设计意图：组织学生尝试列出两个二元一次方程，让学生明确并熟悉存在两个变量的问题时，列两个二元一次方程的步骤.
问题6：(1)对于二元一次方程,任意给定未知数x 的一个值,你能求出满足方程的未知数y的值吗 请填写下表.
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
(2)方程2x+3y=12和方程3x-2y=5是否还存在其他解？二元一次方程的解是唯一的吗？
(3)是否有同时满足这两个方程的一组解 若有，请指出是哪组解.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.正确回答 +2分；2.补充质疑 +2分
答：(1)
(2)存在，二元一次方程的解是不唯一的.
(3)有，.
归纳：由几个方程组成的一组方程叫作方程组.含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一组方程，叫作二元一次方程组.二元一次方程组中方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解.
二元一次方程2x+3y=12,3x-2y=5组成的方程组可记为的形式，这个方程组的解可记为的形式.
设计意图：组织学生合作探究，让学生更加深刻的理解二元一次方程组的概念及解，明确方程组的表示形式.
应用举例
例1 已知下列方程：
①xy=1；②2x=3y；③x-=2；④x2+y=3；⑤=3y-1.
其中， 是二元一次方程.（填序号）
答：②⑤
例2 请问下列方程组是二元一次方程组吗？
(1) (2) (3) (4) (5)
答：(1)是；(2)不是，三个未知数；(3)是；(4)不是，未知数出现在分母中；(5)是.
例3 二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
答：C
设计意图：在对二元一次方程、二元一次方程组的概念及解已有认识的基础上，通过举例应用，学生会更深刻理解和掌握二元一次方程组的概念和解.
课堂练习
1.已知下列方程组：
① ② ③ ④
其中， 是二元一次方程组.（填序号）
答：③
2.若是二元一次方程2x+ay=3（a为常数）的一组解，求a的值.
答：将x=1,y=3代入2x+ay=3得：2+3a=3,解得a=.
3.根据题意，设适当的未知数，列二元一次方程组.
如果甲数比乙数少3，甲数与乙数的和是15，求甲数与乙数.
答：设甲数为x，乙数为y.
根据题意可得方程组为：.
课堂总结
①这节课你学到了哪些知识？
答：二元一次方程、二元一次方程组的概念及解.
②二元一次方程、二元一次方程组的特征是什么？
答：二元一次方程具备的特征:
(1)它是一个整式方程;
(2)只含有两个未知数;
(3)含有未知数的项的次数为1,两个未知数的系数不为 0.
构成二元一次方程组的两个要素:①含有两个未知数;②每个方程都是一次方程.
③从实际问题到方程组，一般要经历哪些过程？
答：根据实际情境列二元一次方程组，一般要根据题目中的数量关系，选择两个未知数，将题中给出的数量关系表示成含有两个未知数的等式.
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1.若3x3m-3-y2n-1=5是二元一次方程，则m= ，n= .
答：2；1.
2.下列哪对x,y的值是二元一次方程x+2y=6的解( )
A. B. C. D.
答：C
3.若是关于x,y的方程组的解，则(a+b)(a-b)的解为( )
A.-16 B.-7 C.7 D.16
答：C
4.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何 ”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为( )
A. B. C. D.
答：B
设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对二元一次方程组的应用情况，以便教师及时对学生进行矫正．
实践作业：1.七（2）班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，问甲、乙两种票各买了多少张？解决问题并尝试使用二元一次方程组表示.
2.寻找生活中可以使用二元一次方程组表示的实际问题.
本节课教学的是二元一次方程、二元一次方程组的概念及解.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念.结合学生的实际情况，从实际问题延申至二元一次方程、二元一次方程组，引出问题，同学们可以结合已有知识进行解决。采取学生小组合作交流、自主探索的学习方式，把难点分解，让学生归纳总结二元一次方程、二元一次方程组的概念及解。让学生经历探索活动，积累探索经验，发了学生的学习兴趣，激活了学生的思维。通过运用结论解决问题，初步培养了学生的推理能力，提高了应用能力。组织课堂提问，更加充分的调动学生的学习积极性、主动性，进而提高课堂学习效率。

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