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第八章 整式的乘法
8.5乘法公式
第1课时
平方差公式这一内容是在学生学习了整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用．可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容．
学生已经掌握了整式的乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于，对公式的结构特征的理解.本节课关注学生对公式的探索过程，有意识地培养学生的推理能力，让学生经历“引入—形式—理解—应用—深化”的过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用．
1.理解平方差公式的意义，能利用多项式与多项式的乘法法则推导平方差公式
2.能熟练运用平方差公式进行计算，并能在解题过程中增强符号感和提高推理能力.
3.能利用平方差公式解决一些简单的实际问题，提高数学的应用意识与应用能力.
4.让学生在合作探究中推导平方差公式，准确应用公式，培养学生的建模思想和抽象思维能力，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣．
重点：平方差公式的推导及应用.
难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
小明的父亲在自家院子里圈一块长方形的地，准备种植一种新品种黄瓜，测得它的长为10.3米，宽为9.7米．小明的父亲让他算算这块地的面积，小明脱口而出99.91平方米！他父亲惊讶的问：“你怎么算的这么快？”小明自豪的说：“我利用了一个刚学过的数学公式而已．”
你知道他用了什么公式吗？我们一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力．
一起探究
活动二：复习回顾．
如何计算多项式乘多项式？
设计意图：回顾旧知，通过复习多项式与多项式的乘法运算方法，为后边平方差公式的得出做好铺垫.
活动三：探索平方差公式
在进行多项式与多项式相乘时，往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘，其结果也很特殊.
由多项式的乘法，得
.
两个二项式相乘，运算结果一般应有四项．如果两个特殊形式的多项式与相乘，那么运算结果是否也是特殊形式的多项式呢
做一做：计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(1) (x+1) (x 1)
(2)(a+2)(a 2)
(3) (2x+1)(2x 1)
(4) (a+b)(a b)
师生活动：四名学生板演，其他人独立完成计算.教师在学生正确解答之后继续提出问题：在上面四个式子中，两个因式之间有怎样的特征？学生认真思考，合作交流，尝试用自己的语言叙述发现.
等号前：都是两个数的和乘这两个数的差
等号后：都是等于这两个数的平方差
设计意图：学生利用已有的知识，通过计算，发现从特殊到一般的规律，鼓励学生大胆发表自己的见解.
师生活动：教师提出问题：你能试着用字母表示你所发现的规律吗？学生认真思考，合作交流得出：(a+b)(a b)=.
师生共同完善平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
用字母表示为：(a+b)(a b)=.
设计意图：让学生经历概念的形成过程，培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考，让学生更深入的理解，培养学生严谨的学习态度.
活动四：深化理解平方差公式
思考：你能从几何的角度对平方差公式进行解释吗？
如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形
(1)两个图形（着色部分）的面积之间有什么关系？
(2)请你结合图形对平方差公式(a+b)(a b)=进行解释.
师生活动：学生积极思考，先独立完成再小组讨论，汇报结果，教师点评
设计意图:由学生自己在计算操作的基础上，在教师的引导下，学生通过面积的计算，进一步验证上面的规律，使学生真正经历这一过程，以促进学生的观察能力和归纳概括能力的发展.
做一做：按要求填写下面的表格:
算式 与平方差公式 中a对应的项 与平方差公式 中b对应的项 写成“”的形式 计算结果
(m+2)(m-2)
(2m+3)(2m-3)
(x+2y)(-x+2y)
(1+3y)(1-3y)
设计意图:通过简单的运算，强调平方差公式的形式，在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果.
应用举例
例1 计算：
(1) ； (2)； (3) .
分析：在(1)中，可以把2x看成a，y看成b，即
(1)(2x+y)(2x y)＝.
(a+b) (a b) ＝ .
解：(1).
(2).
(3)
方法总结：
平方差公式的运用：
①看：看是否可以用公式
②找：找相同项和相反项
③套：套用公式
师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：通过例1，让学生加深对平方差公式的理解，正确掌握平方差公式的运用方法.
例2. 计算：
(1) (2x+3)(2x 3) (x+2)(x 2) ； (2) 102×98.．
解:(1) (2x+3)(2x 3) (x+2)(x 2)
(2)
方法总结：平方差公式中的a与b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数，运用公式做题时关键分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不能混淆.
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
设计意图：借助此题让学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式.
思考：你知道“情境”中的小明用了什么公式来计算菜地的面积吗？
师生活动：学生独立思考后举手作答.
解：10.3×9.7=(10+0.3)(10 0.3)＝ =100 0.09=99.91（平方米）.
设计意图：与情境中的问题呼应，让学生体会成功的喜悦感，并学会利用平方差公式解决实际问题.
课堂练习
1.计算:
(1)； (2)；
(3)； (4)
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2.用平方差公式计算:
(1)998×1002； (2)48×52+37×43.
解：(1)998×1002
=(1000 2)×(1000+2)
=
=1000000-4
=999996.
(2)48×52+37×43
=(50 2)×(50+2)+(40 3)×(40+3)
=
=2500-4+1600-9
=4087.
3.先化简，再求值.
(1) .其中，x=-1.
(2) .其中，x=2，y=-1.
解：
(2)
4.(1)用简便方法计算:
19×21= ； 29×31= ； 39×41= ； 49×51= .
(2)你发现了什么规律 请用含有字母的式子表示出来.
解：(1)
(2)
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.下列各式的计算是否正确 如果不正确，请改正过来.
(1).
(2) .
(3) .
解：(1)不正确.应为：.
(2)不正确.应为：.
(3)不正确.应为：.
2.计算:
(1)； (2) ；
(3)； (4) .
解:(1).
(2).
(3).
(4).
3.(1)已知，求的值.
(2)已知=3，求的值.
解：(1)
(2)
总结：
平方差公式：(a+b)(a b)=；可逆用(a+b)(a b).
4.说明:两个相邻偶数的平方差一定是4的倍数.
解：
——公式的逆用
实践作业：你还能用其它图形验证平方差公式吗 请动手试一试吧.
平方差公式是初中数学代数学知识方面应用最广泛的公式，也是学生代数运算的基础公式，在今后的数学学习过程中，更能体现其重要性，所以公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握，在学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，发现平方差公式，由找规律得出公式的猜想，再介绍平方差公式的几何面积验证方法，来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出平方差公式，得出公式后再来实际应用.教学设计提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生数形结合思想方法和能力的重要性，通过几何意义说明平方差方式的探究过程，学生可以切实感受到两者之间的联系，学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学证明的灵巧间法与和谐美是很有必要的.其次，加强师生之间的活动也是必要的.在活动中，通过教师的组织、引导和鼓励下，学生不断地思考和探究，并积极地进行交流，使活动有序进行，我始终以平等、欣赏、尊重的态度参与到学生活动中，营造出了一个和谐，宽松的教学环境.

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