资源简介

第九章 因式分解
9.1因式分解
本节课是在学习了第八章《整式的乘法》基础上，对因式分解进行的学习探究，因式分解是整式乘法的逆向运算，是代数式的一种重要恒等变形，它与整式乘法运算有着密切的联系.通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备，同时学习因式分解对学生的逆向思维能力的培养起到一定的作用.因此本节课起到承上启下的作用，为后面学习因式分解的方法和八年级分式的学习作铺垫．
学生已经具备整式乘法的相关知识，积累了一定的经验本节课是在原有的认知基础上的逆向思维，对于学生具有一定的挑战性.七年级学生对事物充满了好奇心，已经具备探索和合作的习惯，但观察和归纳能力差，教师通过问题和活动不断制造思维的兴奋点，充分调动学生的积极性，达到事半功倍的效果.
1.了解因式分解意义，理解因式分解的概念，以及它与整式乘法的关系；
2.能判断因式分解的正误，会进行简单的因式分解；
3.经历从因数分解到因式分解的类比过程，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力；
4.让学生体会类比、数形结合的数学思想．
重点：理解因式分解的意义，准确辨析整式乘法与因式分解这两个变形
难点：对因式分解与整式乘法关系的理解
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
师生活动：教师通过课件进行动画演示，学生积极思考.
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：探索因式分解的定义．
观察下面计算－2011×2010和的过程，哪种更简便
小明的方法：
－2011×2010
=4044121－4042110
=2011.
=1369－1296
=73.
小亮的方法：
－2011×2010
=2011×(2011－2010)
=2011.
=(37+36)×(37－36)
=73.
思考：
(1)小明用的什么方法
(2)小亮的第一个算式用了什么方法
(3)小亮的第二个算式用了什么方法
答：
(1)根据乘方的意义直接进行计算.
(2)乘法对加法的分配律的逆用.
(3)平方差公式.
设计意图：解决问题后进行观察、分析共同属性：问题解决的关键是把一个加减运算关系的算式化成了几个相乘关系的算式，从而体会化为“几个相乘关系的算式”的意义.
做一做：观察下面三个算式:
.
思考：上面三个算式能反过来，写成整式乘积的形式吗
答：能.
归纳总结：
因式分解：
像这样，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式.
做一做：
计算下列式子.
(1)　　　　　　　　；
(2)　　　　　　　　；
(3)=　　　　　　　　；
根据上面的算式填空.
(1)　　　　　　　　；
(2)　　　　　　　　；
(3)　　　　　　　　.
思考：因式分解与整式的乘法有什么关系
师生活动：学生积极思考，合作交流，教师适当引导，得到因式分解的定义，并强调因式分解与整式乘法的关系.
设计意图：让学生抓住概念的本质属性——凡是“分解因式”都是把整式从左边和差的关系变形为右边“积”的形式，凡不是“分解因式”的式子都不具有上述属性.
应用举例
例1 下列对多项式的变形，哪些是因式分解 是因式分解的，请指出它的各因式.
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)是因式分解，它的各因式为x和；
(2)不是因式分解；
(3)是因式分解，它的各因式为和；
(4)是因式分解，它的各因式为和.
方法总结：
判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
师生活动：学生思考后独立完成例题．
设计意图：通过例1，让学生加深对因式分解定义的理解.
例2. 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里:
(1)2x+4=2( )；
(2)x xy=x( )；
(3)( )；
(4)( ).
解:(1)2x+4=2( x+2 )；
(2)x xy=x(1 y )；
(3)(4x 1)；
(4)(a+3).
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：借助此题让学生进一步体会因式分解的含义，并初步领会因式分解的方法，为后续的学习做铺垫.
例3.若能分解成两个因式的乘积且有一个因式为，设另一个因式为，其中为常数，请你求出的值.
解：，
由题意可得，
所以， ，解得，
所以的值分别为.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：例题3与前两道题的思考方式不同，主要考查学生的逆向思维，培养学生分析问题解决问题的能力.
课堂练习
1.下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)(2)(3)是因式分解，符合因式分解的定义；
(4)不是因式分解.
2.下列各式的因式分解正确吗 如果不正确，请改正过来.
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)正确；
(2)不正确，应为：；
(3)正确；
(4)不正确，应为：.
3.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里:
(1)2R 2r=2( )；
(2)3mn 6nx=( )(m-2x)；
(3)3ax+3ay=3a( )；
(4)10ax 15xy+5x=5x( ).
解：(1)2R 2r=2(R r)；
(2)3mn 6nx=(3n)(m-2x)；
(3)3ax+3ay=3a(x+y )；
(4)10ax 15xy+5x=5x(2a 3y+1).
4.二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为，求另一个因式及b的值.
解：设另一个因式为，得
，
所以， ，解得，
所以，另一个因式为，b的值为3.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(2)(3)是因式分解，符合因式分解的定义；
(1)(4)不是因式分解，等式右侧不是整式乘积的形式.
2.下列因式分解是否正确 为什么
(1)； (2).
解:(1)不正确，因为等式的右边不是几个整式的乘积的形式.
(2)正确，符合因式分解的定义.
3.因为，所以可因式分解为_______．
解：因为，所以.
所以可因式分解为.
4.若是多项式因式分解后的两个因式，求的值.
解：
本课要研究的是因式分解的概念及意义，因式分解是在学生已经学过因数分解的概念及整式的乘法运算的基础上进行的，因式分解是进行代数式恒等变形的重要手腕之一，它不仅在一些简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解一元二次方程、解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解关于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义.本节内容的重点是因式分解的意义，由整式乘法寻求因式分解的方式是一种逆向思维进程，而逆向思维对初一年级学生还比较生疏，学习起来必然有难度，再者本节还没涉及因式分解的具体方式，因此明白因式分解与整式乘法的关系，并运用它们之间的关系寻求因式分解的方式是教学中的难点.

展开更多......

收起↑