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第九章 因式分解
9.2提公因式法
这节课是冀教版数学七年级下册第九章第二节《提公因式法》.学习分解因式，一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是学生后续学习的重要基础.本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用．
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基石.
学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验.
1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式；
2.会用提公因式法把多项式分解因式；
3.能够正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题；
4.在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想；在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系．
重点：会用提公因式法分解因式；
难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题．
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
小明求得圆环公路的面积为，所以记下面积为，你知道他为什么这样记录吗？
一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：探索公因式及提公因式的概念．
思考1：
多项式有哪几项？
答：ma，mb，mc
每一项的因式都分别有哪些？
答：依次为m， a和m， b和m， c
这些项中有没有相同的因式？若有，是哪个？
答：有，是m.
思考2：
在多项式的两项中，有没有相同的因式 若有，是哪些
答：有，是a，b，ab.
实际上：
多项式 项 相同的因式
ma，mb，mc m
a，b，ab
归纳总结：
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
例如，ma+mb+mc的公因式就是m.
师生活动：教师提出问题后主要由学生总结，由于有了“思考”环节的铺垫，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式，知道公因式的概念.
逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，例如：
，
.
这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
做一做：找出的公因式.
师生活动：学生认真思考，教师适当点拨.学生知道每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论.在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式.
归纳总结：
找公因式的方法：
定系数：公因式的系数应取各项系数的最大公因数
定字母：公因式中的字母取各项相同的字母
定指数：相同字母的指数取其次数最低的
设计意图：通过本环节中寻找多项式中各项的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力，顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力.
做一做：1.写出下列多项式的公因式：
(1)； (2)；(3)； (4).
解：(1)中的公因式为3x ；
(2)中的公因式为a ；
(3)中的公因式为ab ；
(4)中的公因式为2xy.
2.先指出下列多项式的公因式，再进行因式分解：
(1)； (2)3； (3)； (4)4
解：(1)中的公因式为x ；
.
(2)中的公因式为3a ；
=
=.
(3)中的公因式为2ax ；
.
(4)中的公因式为4 ；
=
=
师生活动：由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解.学生在刚开始可能还是不能够按照正确的步骤去找到一个多项式的公因式，教师应鼓励学生多说明公因式是怎样找到的. ）
设计意图：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备.
应用举例
例1 把下列多项式分解因式：
(1)； (2).
解：(1).
(2)
师生活动：学生认真思考后尝试解答，教师进行强调：(1)最后一项提出公因式 后，还有因式1.(2)公因式的系数是负数时，提公因式后各项要变号.
口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守，提负要变号.
方法总结：
找准公因式要“五看”：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项含有负号，则公因式符号为负．
例2. 把下列多项式分解因式：
(1)； (2)
解：(1)
=
=.
(2)
=
=.
师生活动：学生思考后独立完成例题，2名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．并提醒学生：(1)把b+c看成一个整体“提”出来；(2) 调整式子顺序要注意是否变号；其次，把a-b看成一个整体“提”出来．
方法总结：用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式.
注意：1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
设计意图：通过例2，让学生加深对提公因式法的理解，正确掌握提公因式法进行因式分解的运用方法.
例3 用简便方法计算：
(1)； (2)2023×2026-2023×2024+8×2023.
解：(1) -2023×23
=2023×(2023-23)
=2023×2000.
=4046000
(2) 2023×2026-2023×2024+8×2023
=2023×(2026-2024+8)
=2023×10.
=20230
师生活动：学生思考后独立完成例题，再次提醒学生注意：公因式既可以是一个单项式，也可以是一个多项式的形式，还可以是数字.
设计意图：通过此题，让学生进一步体会提公因式法的含义，并会运用提公因式法解决问题.
课堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2.把下列多项式的公因式和分解因式的结果填入表格中：
多项式 公因式 分解因式的结果
解：
多项式 公因式 分解因式的结果
3.把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)
解：(1)；
(2)
=
(3)；
(4)=
=
4.当x=37时，请用简便方法求的值.
解：
当x=37时，原式=37×(37-36)=37×1=37.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)；
(2).
(3).
(4)
2.把下列各式分解因式：
(1)； (2)7； (3)； (4).
解：(1).
(2)).
(3).
(4)).
3.把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6).
解：(1)=.
(2)
=.
(3)
=.
(4)
=).
(5)).
(6)
=).
4.a是整数，请说明一定能被2整除的理由.
解：因为且a是整数，
所以，为两个连续整数的乘积.
因为连续的两个整数中必有一个为偶数，
所以)为偶数.
故一定能被2整除.
在引入因式分解这一个概念时，是通过复习整式乘法接着让学生逆向得到的.因式分解和整式乘法的区别则通过把等号两边的式子互相转换位置而直观得出的.在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提取公因式这一因式分解的方法，其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算的过程.此外，是充分让学生自主探索，合作学习，而实际上学生的学习兴趣还是调动起来了，接着通过例题讲解，最终让学生自主完成练习题.上完本课，教学目标能够完成，教学重难点也能够逐个突破.

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