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第七章 相交线与平行线
7.5平行线的性质
第1课时
平行线是“空间与图形”的重要组成部分，是后续学习空间与图形领域的基础，也是以后研究平移以及几何推理等内容的基础.本节课所探究的是平行线的性质，这是证明角相等或角计算的重要方法，不但可以为证明三角形内角和定理提供了转化的方法，还为今后三角形相似、全等的知识奠定了理论基础.在其他学科里面也有广泛应用，尤其是物理学科里的光学部分，牵涉到折射反射的问题，经常遇到平行光束，借助平行线的理论知识可以帮助学生更好地学习光学，所以学好这部分内容至关重要
在七年级上学期，学生对几何知识的学习过程中，已经历了一些探索、发现的数学活动，并积累了一些直观活动经验，具备了一定的图形的识别能力和借助图形分析、解决问题的能力，初步感受了推理说明的必要性；同时七年级学生经过一个学期的合作交流，初步形成了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.而且初中生本身好胜、好强的特点，也为他们独立思考，合作探究奠定了基础
1.经历探究平行线性质定理的过程，掌握平行线的性质定理.
2.理解并灵活运用平行线的性质定理解决有关问题.
3.提高学生的合情推理能力，发展学生的说理能力.
4.通过学生的学习活动，培养学生的合作意识和互帮互助的良好品质，感受数学来源于生活，服务于生活.
重点：熟练掌握平行线的性质定理
难点：理解并灵活运用平行线的性质定理解决有关问题
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
图中为世界著名的意大利比萨斜塔，为8层圆柱形建筑，目前，它与地面所成的较小的角为∠1=85°，它与地面所成的较大的角∠3是多少度呢？
设计意图：展示图片让学生感受到生活中数学无处不在，设置悬念，吸引学生兴趣.
一起探究
活动二：回顾旧知．
平行线的判定方法是什么？
答：同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
设计意图：利用平行线的性质与判定直线平行的条件的互逆关系自然引入新课，学生不觉得突兀，极易猜想出结论.
活动三：平行线的性质
如图，已知直线a∥b，且被直线c所截.
(1)猜想同位角∠1与∠5的大小有什么关系，用量角器量一量，验证你的猜想.
(2)图中其他的同位角是否也相等呢 和同学互相交流.
师生活动：学生动手操作，用量角器进行测量发现∠1 =∠5.
设计意图：根据学生自己动手测量、猜想、证明等过程，让学生充分感受到“两条平行线被第三条直线所截” 形成的角的关系.在合作交流的过程中，注重培养学生的逻辑思维能力及语言表达能力.
猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
追问：(3)请画一条直线d，使它和a，b都相交.量一量其中任意一对同位角，看其大小有什么关系.
师生活动：学生在自己的练习本上用三角板作出两条平行线被第三条直线所截，并用用量角器进行测量.
设计意图：通过学生自己动手画，让学生明确平行线的性质探究中，以两条直线平行为前提.每位同学所画的平行线及截线的位置不同，为总结平行线的性质做好铺垫.
结论：平行线性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简称为：两直线平行，同位角相等.
思考：你能用几何语言来描述这个定理吗？
∵ a∥b（已知）
∴ ∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
师生活动：学生用几何符号语句描述两直线平行，同位角相等的推导过程，不妥之处，其他同学补充，教师在学生得到两直线平行，同位角相等后，梳理过程，它是由两直线平行，进而得到同位角相等，充分渗透转化的数学思想.
设计意图：为了得到问题的结论，老师向学生设置了几个小问题作为梯子，把问题简单化，把问题已有知识化，同时这也是转化思想的渗透，学生有了这些问题，得到结论就容易多了.
如图，直线AB∥CD，AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2吗？
师生活动：学生交流后，小组进行展示，教师做补充.
∠1=∠2，理由如下：
∵ AB∥CD（已知）
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴ ∠1=∠2(等量代换).
结论：平行线性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称为：两直线平行，内错角相等.
思考：你能用几何语言来描述这个定理吗？
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
设计意图：让学生先做出合乎情理的猜想，然后讨论，最后理论验证进而得到问题的结论，这样知识的形成合乎学生的认知，同时尊重学生已有的知识经验，水到渠成的获得知识.
思考：如图，直线AB∥CD，AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2互补吗？
师生活动：学生交流后，小组进行展示，教师做补充.
∠1与∠2互补，理由如下：
∵ AB∥CD（已知）
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠3+∠2=180°(平角的定义)
∴ ∠1+∠2=180°(等量代换)
所以，∠1与∠2互补.
结论：平行线性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简称为：两直线平行，同旁内角互补.
思考：你能用几何语言来描述这个定理吗？
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
思考：还有其他的说理方法吗？
∵ AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等)
又∵ ∠4+∠2=180°(平角的定义)
∴ ∠1+∠2=180°(等量代换)
所以，∠1与∠2互补.
设计意图：在前面的探究中，学生基本可以叙述出平行线的性质，在学生总结的基础上纠正，并加以强调，加深学生对平行线的理解和记忆.
应用举例
例1如图，a∥b，c∥d，∠1=73°.求∠2和∠3的度数.
解：∵ a∥b (已知)，
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，内错角相等).
∵ ∠1=73° (已知)，
∴ ∠2=73° (等量代换).
∵ c∥d (已知)，
∴ ∠2+∠3=180° (两直线平行，同旁内角互补).
∴ ∠3=180°-∠2 (等式的性质).
∴ ∠3=180°-73°=107° (等量代换).
师生活动：先由学生独立完成，后由教师和学生一起补充完善，．
设计意图：设置例题的目的，一是巩固对平行线性质定理的认识，二是引导学生体会基本的演绎说理的形式.
例2.小芳想知道作业纸上两相交直线AB，CD 所夹锐角的大小，但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.小亮提供了如下间接的测量方案:
①如图，画一直线 GH，分别交 AB，CD 于点E，F;
②利用尺规作∠HEN=∠CFG;
③测量∠NEB 的度数即可.
小亮的方案可行吗 为什么
解：小亮的方案可行.理由如下:
∵∠HEN=∠CFG（已知），
∴EN∥CD，（内错角相等，两直线平行）
∴∠NEB等于直线AB，CD所夹的锐角
测量∠NEB的大小即可，
所以，小亮的方案可行.
师生活动：学生独立思考后尝试解答.
设计意图：熟练掌握平行线的三个性质定理，强化训练，从具体的图形中进行辨析，训练学生图形分割的能力，同时培养学生合作交流意识.
课堂练习
1.如图，已知AB∥CD，∠1=110°，求∠2，∠3，∠4的度数.
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠2=∠1=110°，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠2+∠3=180°（平角的定义）
∴∠3=180°-∠2=70°
∴∠4=∠3=70°（对顶角相等）.
2.下面给出了命题 “如图，如果∠B=∠C，那么∠A+∠1=180°”
的说理过程，请补充完整.
∵ ∠B=∠C ( )，
∴ ∥ ( ).
∴ ∠A+∠1=180° ( ).
解：∵ ∠B=∠C (已知)，
∴ AB ∥ CD ( 内错角相等，两直线平行 ).
∴ ∠A+∠1=180° (两直线平行，同旁内角互补).
3.如图，AB∥DC，AC∥BD，且∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数.
解：
4.如图，已知一工件ABCD，它的下半部已经残缺，只知道AD∥BC，并且量得∠A=115°，∠D=99°.你能算出残缺的下半部中∠B 和∠C 两个角的度数吗 请说明理由.
解：能算出.∠B=65°，∠C=81°
∵AD//BC，∠A=115°，∠D=99°，(已知)
∴∠B=180°-∠A=65°，∠C=180°-∠D=81°.(两直线平行，同旁内角互补)
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1如图，在四边形ABCD中，∠C＋∠D＝180°，∠A－∠B＝40°，则∠B＝______.
解∵∠C+∠D=180°，（已知）
∴AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A-∠B=40°，（已知）
∴40°+∠B+∠B=180°，（等量代换）
∴∠B=70°（等式的性质）
故答案为70°．
2.将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起.若AC∥DE，则∠BCE 为多少度
解：∵AC∥DE，
∴∠ACD =∠CDE =30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=15°
∵∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠DCE-∠DCB=75°，
所以∠BCE 为75度.
3.如图，直线AD∥BC，AB∥DC，∠1=120°，求∠2的度数.
解：∵ AD //BC，∠1=120°，(已知)
∴∠ABC=∠1=120°(两直线平行，同位角相等)
∵AB//DC(已知)，
∴∠ABC十∠2=180(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠2=180°-∠ABC=60°(等式性质).
4.如图，点B，C，D 在同一条直线上，∠A=∠B.如果CE∥AB，那么∠1=∠2.请将下列说理过程补充完整.
∵ CE∥AB (已知)，
∴ ∠1=∠ ( )，
∠2=∠ ( ).
∵ ∠A=∠B (已知)，
∴ ∠1=∠2 ( ).
解：∵ CE∥AB (已知)，
∴ ∠1=∠ B (两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠ A (两直线平行，内错角相等).
∵ ∠A=∠B (已知)，
∴ ∠1=∠2 (等量代换).
实践作业：你能求出“情境”中的比萨斜塔与地面所成的较大的角∠3是多少度吗？动手试一试.
初中数学的关键是促进学生全面持续和谐的发展，它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等方面也得到进步和发展，遵循这些原理的基础上，再明确本节课的重点与难点.在课程设计的时候，我依据以上原则，根据知识的重难点，留给学生充分的时间对平行线的性质进行探索，并让学生自己动手画三线八角，通过测量，验证两直线平行，同位角相等.再在此基础上，通过合情推理来得到两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补的结论.而例题的训练，一是巩固对平行线性质定理的认识，二是引导学生体会基本的演绎说理的形式.整体来说，我认为教学环节基本合理，重难点突出，体现了以学生为主体，以学生的发展为本的现代教学观念.

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