资源简介

第七章 相交线与平行线
7.5平行线的性质
第2课时
本节课是冀教版版七年级数学下册第七章第五节第二课时的内容，是在学生学行线的判定、平行线的性质的基础上进行的，主要目的是复习、巩固判断直线平行的条件和平行线性质的相关内容并得出平行线的另一条性质——平行于同一条直线的两条直线平行．平行线是图形与几何领域中最基础的几何图形，是学生在初中阶段学习三角形，平行四边形的基础，本章也是初次认识判定和性质，为后期学习其他图形的判定和性质打下了知识基础；平行线在生活中也有着广泛的应用．探索和掌握好平行线的相关知识，不仅为我们学习好数学知识奠定了基础，也在学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力等方面发挥着至关重要的作用．
1．学生的知识技能基础：学生已经认识了“三线八角”及平行线的判定与性质，能够正确的表示角，能够进行简单的说理证明，具有一定的读图能力和数形结合思想的意识．
2．学生的活动经验基础：在将近一年的初中数学学习过程中，学生具备了相对较好的小组合作意识和合作能力，能够较为准确的、有条理的进行说理证明，在课堂活动中已经养成了良好的小组合作探究的能力，也依然保持着学习的积极性，具有较强的表现欲．
1．掌握平行线的判定与性质定理，能熟练运用平行线的判定与性质定理解决有关问题．
2．掌握平行于同一条直线的两条直线平行，并能加以运用．
3．提高学生的合情推理能力，发展学生的说理能力．
重点：掌握平行于同一条直线的两条直线平行，并能加以运用．
难点：掌握平行线的判定与性质定理，能熟练运用平行线的判定与性质定理解决有关问题．
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
如图，你能说出图中的直线平行的道理吗
设计意图：展示图片让学生感受到生活中数学无处不在，设置悬念，吸引学生兴趣．
一起探究
活动二：回顾旧知．
1．平行线的判定方法是什么？
答：同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
同旁内角互补，两直线平行．
2．平行线的性质定理是什么？
答：两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
例1 如图，∠1=∠2．请说明∠3=∠4的理由．
分析：∠1和∠2是直线 AB，CD被直线BD所截得的内错角，由∠1= ∠2可得 AB∥CD．
∠3和∠4是直线 AB，CD 被直线AC所截得的内错角，由AB∥CD，可得∠3=∠4．
解：∵ ∠1=∠2 (已知)，
∴ AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
∴ ∠3=∠4 (两直线平行，内错角相等)．
师生活动：让学生阅读该“分析”，然后进行解释，体会它的作用．
设计意图：通过例题一是让学生熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，二是进一步体会演绎推理的步骤与书写格式．
活动三：平行线的性质
做一做：1．先画直线，再画直线 分别与平行．
师生活动：学生动手操作，借助直尺和三角板，先画直线，再画直线 分别与平行．
2．观察画出的图形，直线与具有怎样的位置关系 请提出猜想，并对猜想的正确与否说明理由．
猜想：∥．
师生活动：学生根据图象，直观猜测∥，教师引导学生对猜想进行证明．
事实上，如图，如果a∥b，a∥c，那么b∥c．
分析：由a∥b 可得∠1=∠2．由a∥c 可得∠1=∠3．由等量代换可得∠2=∠3．由同位角相等，两直线平行，可得b∥c．
理由：∵ a∥b (已知)，
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等 )．
∵ a∥c (已知)，
∴ ∠1=∠3 (两直线平行，同位角相等 )．
∴ ∠2=∠3 (等量代换)．
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行)
师生活动：学生独立思考，选派学生代表展示．
设计意图：把这一过程充分展开，让学生在探究中把自己的思考过程和理由展示出来，然后统一到“分析”所体现的基本方式上来，再完成表达与注明理由的步骤，以起到更好的发挥、培养与提高学生推理能力的作用．
结论：平行于同一条直线的两条直线平行．
追问：你能用几何语言来描述这个定理吗？
∵ a∥b，a∥c（已知）
∴ b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）
师生活动：学生用几何符号语句描述平行于同一条直线的两条直线平行，教师帮助学生进行完善，归纳得出结论．
设计意图：为了得到问题的结论，老师向学生设置了几个小问题作为梯子，把问题简单化，把问题已有知识化，同时这也是转化思想的渗透，学生有了这些问题，得到结论就容易多了．
思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师生活动：学生独立思考后，小组交流．
猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行．
追问：你能尝试验证你的猜想吗？
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c．
理由：∵b⊥a，c⊥a（已知）
∴∠1= ∠2 = 90°(垂直的定义)
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)
师生活动：学生独立思考，利用已有经验尝试对猜想内容进行证明．
结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
设计意图：让学生先做出合乎情理的猜想，然后讨论，最后理论验证进而得到问题的结论，这样知识的形成合乎学生的认知，同时尊重学生已有的知识经验，水到渠成的获得知识．
应用举例
例2已知：如图，AB//CD，∠A=100°， ∠C=110°，求∠AEC的度数
分析：过点E作EF∥AB，则∠1+∠A=180°．由AB//CD，得EF//CD，则∠C+∠FEC=180°．由∠A=100°， ∠C=110°，可求得∠1和∠FEC的度数，根据角的和差，可求得∠AEC的度数．
解：过点E作EF//AB．
∵AB//CD，EF//AB，∴EF//CD．
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠FEC=180°
又∵∠A=100°，∠C=110°，
∴∠1 =180°－∠A=80 °，
∠FEC=180°－∠C=70 °
∴∠AEC=∠1+∠FEC= 80° +70° = 150° ．
师生活动：先由学生独立思考后，小组交流，由教师和学生一起补充完善，．
设计意图：熟练掌握平行线的性质定理，强化训练，从具体的图形中进行辨析，训练学生图形分割的能力，同时培养学生合作交流意识．
归纳：解决拐角问题需要添加辅助线，添加辅助线的方法：
逢拐角作平行线．
注意：一般有几个拐角就作几条平行线
课堂练习
1．将下面的说理过程补充完整．
已知:如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，a⊥c．请说明b⊥c的理由．
理由:∵ a∥b ( )，
∴ ∠1= ( )．
∵ a⊥c ( )，
∴ ∠1=90° ( )，
∴ ∠2=90° ( )．
∴ b⊥c ( )．
解：理由:∵ a∥b (已知 )，
∴ ∠1= ∠2 ( 两直线平行，同位角相等 )．
∵ a⊥c ( 已知)，
∴ ∠1=90° (垂直的定义)，
∴ ∠2=90° (等量代换)．
∴ b⊥c (垂直的定义)．
2．填空:
已知:如图，AB∥CD，AB，CD 与直线EF分别相交于点M 和N，MP平分∠AMF，NQ 平分∠END．请说明MP∥NQ 的理由．
理由:∵ AB∥CD (已知)，
∴ ∠AMF= ( )．
∵ MP 平分∠AMF (已知)，
∴ ∠1= ( 角平分线的定义 )
同理 ∠2=∠END．
∴ ∠1= ( )．
∴ MP∥NQ ( )．
解：理由:∵ AB∥CD (已知)，
∴ ∠AMF= ∠END ( 两直线平行，内错角相等 )．
∵ MP 平分∠AMF (已知)，
∴ ∠1= ∠AMF ( 角平分线的定义 )
同理 ∠2=∠END．
∴ ∠1= ∠2 ( 等量代换 )．
∴ MP∥NQ ( 内错角相等，两直线平行 )．
3．如图，直线a，b 被直线c，d 所截．若∠1=60°，∠2=60°，∠3=100°，求∠4的度数．
解：∵∠1=60°，∠2=60°，(已知)
∴∠2=∠1
∴a//b(内错角相等，两直线平行)，
∠4=∠3=100°(两直线平行，同位角相等)．
所以∠4的度数为100°．
4．如图，已知∠1＝∠A，∠2＝∠B，那么MN 与EF平行吗？如果平行，请说明理由．
解：MN 与EF 平行．理由如下：
∵∠1＝∠A，
∴MN∥AB (内错角相等，两直线平行)，
∵∠2＝∠B，
∴EF∥AB (同位角相等，两直线平行)，
∴MN∥EF (平行于同一条直线的两条直线平行)．
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会．
平行于同一条直线的两条直线平行．
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系．
课堂检测
1．已知:如图，AB∥CD，∠B=∠D．请说明AD∥BC的理由．
解：∵AB//CD(已知)，
∴∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠C+∠D=180°(等量代换)，
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)．
2．如图，如果AB⊥MN 于点B，CD⊥MN于点D，BP为∠ABN的平分线，DQ为∠CDN的平分线，那么BP∥DQ．请写出说理过程．
解：∵AB⊥MN(已知)，∴∠ABN=90°(垂直的定义)．
∵CD⊥MN(已知)，∴∠CDN=90°(垂直的定义)．
∴∠ABN=∠CDN(等量代换)．
∵BP为∠ABN的平分线(已知)，
∴∠PBN=∠ABN．(角平分线的定义)．
∵DQ为∠CDN的平分线(已知)，
∴∠QDN=∠CDN(角平分线定义)
∴∠PBN=∠QDN(等量代换)．
∴BP//DQ(同位角相等，两直线平行)．
3．如图，已知AB⊥BD 于点B，CD⊥BD 于点D，∠1＝∠2，试问CD 与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF．
理由：因为∠1＝∠2(已知)，
所以AB∥EF (同位角相等，两直线平行)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
所以CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
4．如图，已知AB∥CD，将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板EFG的顶点E落在直线AB上，三角板PMN的边MN落在直线CD上，并且边GF，PN在一条直线上，求∠BEF的度数．
解：过点F作FG//AB．
∵AB//CD，FG//AB，∴FG//CD．
∴∠BEF+∠EFG=180°，∠GFN+∠FND=180°
∴∠BEF+∠EFG+∠GFN+∠FND=∠BEF+∠EFN+∠FND=360°
又∵∠EFN=180°-∠EFG=150°，∠FND=180°-∠PNM=135°，
∴∠BEF=360°-∠EFN-∠FND=360°-150°-135°=75°．
实践作业：看一看街边的路灯，电线杆之间是平行的吗？为什么？
本节课在第一课时的基础上，依据学生的认知基础，恰当确立教学起点．从课的一开始，教师就从学生的认知基础上进行建构，充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想．在练习的设置过程中，从易到难，由简单的平行线性质的应用到两步或三步的推理，层层递进，学生容易接受．本节课的重点是能熟练运用平行线的性质和判定直线平行的条件解决实际问题，并培养学生的推理能力和有条理的表达能力，为后面学习证明打下基础．因此要启发学生用推理的方法，进一步发展空间观念．但是因为学生初次接触正规的推理，有的还不能理解它的意义，哪个放题设哪个放结论还不能充分的理解，导致出现错误，应加强这方面的训练．同时，学生对基本图形的认识能力仍有待提高．

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