资源简介

热点必刷题02 应用题综合专训
题型一 一元一次方程应用题 2
题型二 二元一次方程应用题 3
题型三 一元二次方程应用题 5
题型四 分式方程应用题 7
题型五 不等式类应用题 8
题型六 一次函数的实际应用 10
题型七 二次函数的实际应用 13
题型八 反比例函数的实际应用 18
题型一 一元一次方程应用题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量；
2．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话
请问：
(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？
(2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？
3．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元．
(1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？
(2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？
4．（2024·江苏苏州·三模）某公司安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装2个型物流和3个型物流箱共11.8万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高0.6万元．
(1)求型物流箱和型物流箱的单价；
(2)某社区需安装物流箱共30个，其中型物流箱不少于18个，为了更多地推广型物流箱，公司决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求的取值范围．
5．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表：
A型产品（元/件） B型产品（元/件）
甲地区销售可获得的利润 180 130
乙地区销售可获得的利润 160 120
若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元．
(1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？
(2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值．
题型二 二元一次方程应用题
6．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份
甲货物 50 70
乙货物 30 40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
7．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元．
(1)求、两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围．
8．（2024·江苏苏州·二模）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 20
乙 24
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元．
(1)求的值；
(2)该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值．
9．（2024·江苏盐城·三模）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批发价/（元/千克） 4 3
零售价/（元/千克） 5
(1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数关系式；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
10．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
题型三 一元二次方程应用题
11．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．
(1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
(2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量．
12．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
13．（2024·江苏盐城·一模）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
15．（2023·江苏无锡·模拟预测）有两条相邻的平行滑道（不光滑）．甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止．甲木块与起点线m的距离（厘米）与滑行时间t（秒）之间满足．甲木块滑行2秒后，乙木块在另一滑道从起点线m以某一初速，持续受力运动，乙木块与起点线m的距离（厘米）与受力时间t（秒）是二次函数关系，变化规律如下表：
t（秒） 0 1 2
S乙（厘米） 0 16 36
(1)求与t之间的函数关系式；
(2)求乙木块追上甲木块用时多长；
(3)求甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离．
题型四 分式方程应用题
16．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？
17．（2024·江苏盐城·二模）学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
请从①篮球的单价是足球单价的3倍；②足球的单价是篮球单价的2倍；③篮球的单价比足球的单价贵60元；这3个选项中选择一个作为条件（填序号），并求出足球的单价．
18．（23-24八年级下·新疆克拉玛依·期末）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 a 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求a的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件，求销售完这两种饰品的最大利润；
19．（2024·江苏连云港·二模）为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等．
(1)求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？
(2)该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？
20．（2024·江苏宿迁·二模）某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7600元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
题型五 不等式类应用题
21．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表：
型利润 型利润
甲店
乙店
(1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围；
(2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
22．（2023·江苏苏州·二模）新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2023年植树节，某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
23．（2023·江苏扬州·二模）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
(3)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
24．（2023·江苏苏州·一模）某商场计划销售甲、乙两种品牌的电脑，甲电脑进价比乙电脑高0.15万元/台．现计划用16万元购进甲电脑，15万元购进乙电脑，甲电脑数量与乙电脑数量之比恰好为2：3．
(1)该商场计划购进甲、乙两种电脑各多少台？
(2)通过市场调研，甲电脑的利润率是10%，乙电脑的利润率是20%，该商场决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲电脑的购进数量，增加乙电脑的购进数量，已知乙电脑增加的数量是甲电脑减少的数量的3倍，且用于购进这两种电脑的总资金不超过35万元．更改购进策略后，该商场怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润．（利润=利润率×进价）
25．（2023·江苏常州·一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
题型六 一次函数的实际应用
26．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像；
(2)若慢车出发时与快车第次相遇．
①求快车从出发到返回甲地所用的时间；
②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________．
27．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用）
28．（2024·江苏淮安·模拟预测）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象．
(1) ______， ______；
(2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当______时，两车恰好相距．
29．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
30．（2024·江苏南京·二模）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像．
题型七 二次函数的实际应用
31．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
32．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
(1)求y与的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒．
①求与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
33．（2024·江苏无锡·模拟预测）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
（元/件） 40 55 70
（件） 1100 950 800
(1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）；
(2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润；
(3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________．
34．（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示．
时间 0 2 8 10 …
平均速度 0 4 14 …
(1)表格中时，v的值为 ．
小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ；
(2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式；
(3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程．
35．（2024·江苏盐城·一模）盐城东台以其独特的地理位置、优越的土壤条件、丰富的种植经验形成了汁多爽口，细嫩鲜甜的东台西瓜．某经销商调研发现该品种西瓜成本价为每千克6元，售价不低于成本，且不超过13元/千克，经市场调研发现，该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．
(1)求该品种西瓜一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的函数关系式；
(2)若该品种西瓜售价定为多少元/千克时，日销售利润最大？并求出最大利润．
(3)为了回馈社会，该销售商决定，每卖出1千克，捐出元进行助农活动，若当日利润最大为800元．求此时的值．
题型八 反比例函数的实际应用
36．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
P（万元） 10.6 12 14.2
(1)求P与x之间满足的函数关系式；
(2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
37．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据：
… …
… 4 …
（1）由题意可得________；
【探索研究】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质．
①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________；
【拓展提升】
（3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________．
38．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
39．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大 最大年利润是多少 (说明：年利润年销售利润研发费用)
40．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
(1)若，，，则______，______．
(2)求证．
(3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点必刷题02 应用题综合专训
题型一 一元一次方程应用题 2
题型二 二元一次方程应用题 7
题型三 一元二次方程应用题 15
题型四 分式方程应用题 21
题型五 不等式类应用题 26
题型六 一次函数的实际应用 35
题型七 二次函数的实际应用 46
题型八 反比例函数的实际应用 57
题型一 一元一次方程应用题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量；
【答案】5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设5月份此经销商购进商品件，可得：，即可解答．
【详解】解：设5月份此经销商购进商品件，则购进商品件，
根据题意得：，
解得，
，
5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件．
2．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话
请问：
(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？
(2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？
【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是
(2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
（1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可．
（2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答．
【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是．
（2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，
依题意得：，
解得：，
所以，
答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元．
3．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元．
(1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？
(2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？
【答案】(1)种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元
(2)共有三种送货方案
【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（2）根据各数量之间的关系，列出，从而根据题意正确列出二元一次不等式组，分析即可．
【详解】（1）解：设种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元，
依据题意：得，
解得．
则，．
答：种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元．
（2）设购进种礼盒个，种礼盒个，
依据题意，得，
整理，得，
即．
∵，
∴，
解得：，
∵，是整数，
∴的值为，，，的值为，，，
综上可知，共有三种送货方案．
4．（2024·江苏苏州·三模）某公司安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装2个型物流和3个型物流箱共11.8万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高0.6万元．
(1)求型物流箱和型物流箱的单价；
(2)某社区需安装物流箱共30个，其中型物流箱不少于18个，为了更多地推广型物流箱，公司决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求的取值范围．
【答案】(1)型物流箱的单价为万元，则型物流箱的单价为万元
(2)的取值范围是
【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出方程和解析式是解题的关键．
（1）设型物流箱的单价为x元，则型物流箱的单价为元，根据共11.8万元列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设安装B型物流箱x个，则安装A型物流箱个，总费用为w，根据题意求出函数关系式，再分两种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：设型物流箱的单价为x元，则型物流箱的单价为元，
则，
解得，，
则，
答：型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为元；
（2）解：设安装B型物流箱x个，则安装A型物流箱个，总费用为w，由题意可得：
当时，则，一次函数随着x增大而增大，
∵，
∴当时，，
解得，
∴此时，
当时，则，一次函数随着x增大而减小，
∵，
∴当时，，
解得，
∴此时m不存在，，
综上可知，的取值范围是．
5．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表：
A型产品（元/件） B型产品（元/件）
甲地区销售可获得的利润 180 130
乙地区销售可获得的利润 160 120
若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元．
(1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？
(2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值．
【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件
(2)利润的最大值是72000元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，
（1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润；
解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件，
由题意得：，
解之得：，
，
∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件；
（2）由题意得：
，
随若x的增大而增大，
当时，y有最大值72000，
答：利润的最大值是72000元．
题型二 二元一次方程应用题
6．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨） 5月份 6月份
甲货物 50 70
乙货物 30 40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【答案】(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨
(2)该物流公司7月份最多将收到19800元运输费
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，根据甲货物的数量不大于乙货物的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该物流公司7月份将收到元运输费，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得：，
解得：，
答：在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨；
（2）解：设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，
依题意得：，
解得：，
设该物流公司7月份将收到元运输费，
依题意得：，
，
随着的增大而增大，
当，有最大值，
答：该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
7．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元．
(1)求、两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围．
【答案】(1)中奖品的单价为12元，种奖品的单价为16元
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，，不等式的应用，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）根据购买费用种奖品的费用种奖品可求出元与件之间的函数关系式，再根据题意列出不等式组可求出的取值范围．
【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
（2）由题意可得：，
购买费用不超过元，
，
解得：，
又种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，
，
解得：，
自变量的取值范围．
8．（2024·江苏苏州·二模）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 20
乙 24
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元．
(1)求的值；
(2)该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值．
【答案】(1)的值为17，的值为20
(2)正整数的最大值为8
【分析】（1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过3820元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每千克甲种水果的销售利润销售数量每千克乙种水果的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质及获得的最大利润不低于600元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
答：的值为17，的值为20；
（2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据题意得，解得，
设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，则，即，
，
随的增大而减小，
又，且的最大值不低于600元，
，解得，
又为正整数，
的最大值为8，
答：正整数的最大值为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2024·江苏盐城·三模）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批发价/（元/千克） 4 3
零售价/（元/千克） 5
(1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数关系式；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)全部售完获利为580元
(2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解；
（2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解；
②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解；
找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克，
根据题意列出方程组为：
解得：，
全部售完获利：
（元）．
（2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜（）件，
根据题意
，
②超市第二次获利不能超过第一次获利，
理由如下：
，
解得：，
由①可知，，
，
一次函数w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
（元），
，
超市第二次获利不能超过第一次获利．
10．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时
(2)甲商户增加的生产时间为3小时
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键：
（1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，
则：，解得：；
答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：甲商户增加的生产时间为3小时．
题型三 一元二次方程应用题
11．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．
(1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
(2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量．
【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为
(2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可．
（2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可．
【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为．
得：，
解得：，（舍去）．
∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为．
（2）由题意得：（万辆）．
∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆．
12．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为．
(2)该片菜地最多可收获千克的菜．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．
(1) 设，则，依题意列方程计算即可．
(2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可．
【详解】（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜地的面积能达到时的长为．
（2）设菜地的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
即菜地的最大面积是．
∴（千克），
答：该片菜地最多可收获千克的菜．
13．（2024·江苏盐城·一模）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？
【答案】(1)道路的宽为6米
(2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大
【分析】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）由题意知，道路的宽为x米，根据铺花砖的面积列出方程并解答；
（2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解．
【详解】（1）根据道路的宽为米，根据题意得，
，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为6米；
（2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
当时，月租金收入最大为12500元，
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大．
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
【答案】(1)3000元
(2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式．
（1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可；
（2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
解得：，
∴乙种蔬菜种植面积为（亩），
（元）
答：乙种蔬菜总种植成本为3000元．
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此时乙种蔬菜种植（亩）
答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩．
15．（2023·江苏无锡·模拟预测）有两条相邻的平行滑道（不光滑）．甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止．甲木块与起点线m的距离（厘米）与滑行时间t（秒）之间满足．甲木块滑行2秒后，乙木块在另一滑道从起点线m以某一初速，持续受力运动，乙木块与起点线m的距离（厘米）与受力时间t（秒）是二次函数关系，变化规律如下表：
t（秒） 0 1 2
S乙（厘米） 0 16 36
(1)求与t之间的函数关系式；
(2)求乙木块追上甲木块用时多长；
(3)求甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离．
【答案】(1)
(2)3秒
(3)27厘米
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出与t之间的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）求出甲停止时滑行的最大距离，以及此时乙滑行的距离，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可设与t之间的函数关系式为：，
把代入解析式可得：
，
解得：，
∴S乙与t之间的函数关系式为：；
（2）∵甲木块滑行2秒后，乙才开始运动，
∴，
方程整理可得：，
解得：（舍去），
答：乙木块追上甲木块用时3秒；
（3）根据题意可得：，
∵，且甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止，
∴当时，甲滑行的最大距离为厘米，此时甲停止滑行，
∵甲木块滑行2秒后，乙才开始运动，
∴乙的受力时间（秒），
此时，
∴（厘米），
答：甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离为厘米．
题型四 分式方程应用题
16．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？
【答案】5元
【分析】本题主要考查的是分式方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设第一次购进该纪念品的进价是x元，列出分式方程即可．
【详解】解：设第一次购进该产品的单价是x元，则第二次购进该产品的单价是元．
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：第一次购进该产品的单价5元．
17．（2024·江苏盐城·二模）学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
请从①篮球的单价是足球单价的3倍；②足球的单价是篮球单价的2倍；③篮球的单价比足球的单价贵60元；这3个选项中选择一个作为条件（填序号），并求出足球的单价．
【答案】①；足球的单价为30元
【分析】设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：选择①篮球的单价是足球单价的3倍，理由如下：
设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即足球的单价为30元，
故答案为：①（答案不唯一）．
18．（23-24八年级下·新疆克拉玛依·期末）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 a 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求a的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件，求销售完这两种饰品的最大利润；
【答案】(1)的值为100
(2)销售完这两种饰品的最大利润为41000元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一次函数关系式．
（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴的值为100；
（2）解：设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，
由题意得：．
其中，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值，
答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元．
19．（2024·江苏连云港·二模）为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等．
(1)求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？
(2)该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？
【答案】(1)甲0.6万元/个，乙0.8万元/个；
(2)200个
【分析】（1）设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元，
根据用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等，列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，进而即可得出答案；
（2）设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件，根据花费不超过200万元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（万元），
答：甲型路灯组件的单价是0.6万元，则乙型路灯组件的单价是0.8万元；
（2）设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件，
根据题意得：，
解得：，
y的最小值为200，
答：至少购买甲型路灯组件200个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2024·江苏宿迁·二模）某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7600元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)80元；60元
(2)①80件；②见解析
【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列式是解题的关键．
（1）设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元，根据用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件列出方程，解方程并检验即可；
（2）①设甲种服装购进x件，根据甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元，列出不等式组，解不等式组即可；
②设获得利润为y元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质分类讨论即可．
【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元，
根据题意得：，
解得，，
经检验是原方程的解且符合题意，
∴，
∴甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
（2）①设甲种服装购进x件，
∵甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元，
∴，
解得；
∴甲种服装最多购进80件；
②设获得利润为y元，
根据题意得：，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大；
当时，所有进货方案利润都是4000元；
当时，y随x增大而减小，
∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大.
综上所述，当时，购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大
题型五 不等式类应用题
21．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表：
型利润 型利润
甲店
乙店
(1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围；
(2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
【答案】(1)
(2)当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件．
【分析】此题主要考查了一次函数的应用；得到分配给甲乙两店的不同型号的产品的数量是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键；
（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围；
（2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可．
【详解】（1）解：分配给甲店型产品件，则分配给甲店型产品件，分配给乙店型产品件，分配给乙店型产品件，
，
，
，
；
（2）由题意得：，
即，
，
．
∴，函数随的增大而增大，
当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件
22．（2023·江苏苏州·二模）新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2023年植树节，某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
【答案】(1)甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元
(2)
【分析】（1）设购买甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，根据题意列方程，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，根据题意列一元一次不等式组，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，
根据题意，得，
解方程组，得，
购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元．
（2）设购买甲种树苗棵，则乙种树苗棵，
根据题意，得，
解不等式组，得，
购买甲种树苗数量的取值范围是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用和一元一次不等式组应用，根据题意建立二元一次方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键．
23．（2023·江苏扬州·二模）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
(3)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
【答案】(1)见解析
(2)当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元
(3)至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元
【分析】（1）先求出每天安排人生产甲产品，再根据每人每天生产2件甲产品求出每天生产甲产品的数量，据此填表即可；
（2）设每天的生产总成本为W元，根据成本生产数量每件的生产成本列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设对外招工a人，列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出W的最小值，再根据每天的生产总成本不高于350元列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解；设每天安排人生产乙产品，
∴每天安排人生产甲产品，
∵每人每天生产2件甲产品，
∴每天生产甲产品件，
填表如下：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元）
甲 10
乙 x
（2）解：设每天的生产总成本为W元，
由题意得
，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，当时，W随x增大而减小，
∵甲产品每天至少生产20件，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，W最小，最小为400，
∴，
∴当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元；
（3）解：设对外招工a人，
由题意得，
，
∵，
∵甲产品每天至少生产20件，
∴，
∴，
同理可得当时，W最小，
，
∵每天的生产总成本不高于350元，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，列代数式，正确理解题意列出W关于x的二次函数关系式是解题的关键．
24．（2023·江苏苏州·一模）某商场计划销售甲、乙两种品牌的电脑，甲电脑进价比乙电脑高0.15万元/台．现计划用16万元购进甲电脑，15万元购进乙电脑，甲电脑数量与乙电脑数量之比恰好为2：3．
(1)该商场计划购进甲、乙两种电脑各多少台？
(2)通过市场调研，甲电脑的利润率是10%，乙电脑的利润率是20%，该商场决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲电脑的购进数量，增加乙电脑的购进数量，已知乙电脑增加的数量是甲电脑减少的数量的3倍，且用于购进这两种电脑的总资金不超过35万元．更改购进策略后，该商场怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润．（利润=利润率×进价）
【答案】(1)甲电脑购进40台，乙电脑购进60台
(2)甲电脑购进29台，乙电脑购进93台使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为5.81万
【分析】（1）设甲电脑进价万元/台，则乙电脑进价万元/台，根据题意可得，求出的值即可得到答案；
（2）甲电脑减少台，则乙电脑增加台，根据题意可得，解得，再求出利润的表达式即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲电脑进价万元/台，则乙电脑进价万元/台，
根据题意可得：
解得，
所以乙电脑进价0.25万元/台，
甲电脑购进台，乙电脑购进台；
（2）解：甲电脑减少台，则乙电脑增加台，
根据题意可得：，
解得：，
全部销售后获得的总利润为，
当时，最大总利润为5.81万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
25．（2023·江苏常州·一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．
(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．
【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润分别为元、每个B品牌足球的销售利润为元；
(2)①y与x之间的函数关系式为；②最大利润为元
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：
，
解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不少于个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，
解得：，
在中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即最大利润为元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
题型六 一次函数的实际应用
26．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像；
(2)若慢车出发时与快车第次相遇．
①求快车从出发到返回甲地所用的时间；
②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意读懂函数图像是解题的关键．
（1）根据题意可知快车和慢车的函数图像在时第一次相遇交于，因此借助慢车的函数图像确定点的位置，把连接点与并延长交直线于，然后对称作出快车返回甲地的函数图像即可；
（2）①慢车的速度为，快车的速度为，根据快车出发两车相遇列出方程求出，根据路程速度时间得到，根据题意可得．设的函数表达式为，进而求出，然后求出当时，的值即可得到答案；②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时，则快车到达乙地的时间为，则，结合当两车第次相遇的地点距离乙地可求出，根据路程速度时间，即可求解．
【详解】（1）解：慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，
快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像过
设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意，两车第一次相遇时：，
解得：，
即两车第一次相遇的时间为，设两车的离甲地的距离（单位：）与时间的函数图像交于点，连接，并延长交所在直线于点，过点作轴于点，由于快车到达乙地后保持原速沿原路返回甲地，则快车返回甲地的图像应为关于对称的线段，设线段与慢车的图像交于点，
如图，即为所求所作；
（2）①慢车的速度为，快车的速度为，
根据题意得：，
，
，
，
设的函数解析式为，
将代入得：，
，
的函数解析式为，
令，则，
解得：，
快车从出发到返回甲地所用的时间为小时；
②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时，
则快车到达乙地的时间为，则，
当两车第次相遇的地点距离乙地，
，
，
故答案为：．
27．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用）
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大
(3)2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键．
（1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少，
∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：设日销售利润为元，由题意得：
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为元，由题意得：
，
对称轴为，
当时，，则当时，有最大值，将代入，得：
，
当时，
，
解得（舍去）；
当，，则当时，有最大值，将代入，得：
当时，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为．
28．（2024·江苏淮安·模拟预测）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车路程与甲行驶的时间的函数图象．
(1) ______， ______；
(2)求乙车行驶路程与时间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当______时，两车恰好相距．
【答案】(1)1；40
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是：
（1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）当时， 先求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可
【详解】（1）解∶ 由图知，
∴．
∵ ，
∴，
故答案为∶1；40；
（2）解：设乙车行驶路程与时间的函数关系式为，
把，代入，
得，
解得，
∴，
当时，，解得，
∴；
（3）解：当时，设甲车行驶路程与时间的函数关系式为，
把，代入，
得，
解得，
∴，
根据题意，得，
解得或，
当时，两车间的距离为，
所以不符合题意 ，
所以当时，两车恰好相距，
故答案为：．
29．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【答案】(1)
(2)， P的最大值为4418辆/时
(3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
【分析】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知：当时，；当时，，进而求解；
（3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：由图象知，当时，，
当时，设该段一次函数表达式是，
把两点坐标，，分别代入，
得，
解得，
关于的一次函数表达式是，
即；
（2）解：由题知：当时，．
当时，，
当时，车流量有最大值4418辆时．
，
当时，车流量有最大值4418辆时；
（3）解：由题意得：，解得，
而，
当时，，当时，，
即，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
30．（2024·江苏南京·二模）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像．
【答案】(1)160，1
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由图可知甲、乙两地相距；根据路程时间速度，求出慢车的速度为，可知快车出发时，慢车行驶的时间为，故快车比慢车晚出发；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲地；
（3）求出第三辆车的速度是；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为，故当时，第 三辆车从乙地出发，即与x之间的函数图象过和，即可画出函数图象．
【详解】（1）解：由图可知，甲、乙两地相距；
慢车的速度为，
由可知，快车出发时，
慢车行驶的时间为，
∴快车比慢车晚出发；
故答案为：160，1；
（2）解：由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶，
∵，
∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地；
（3）解：由（2）知，快车速度为，
∴第三辆车的速度是；
∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为，
∵，
∴当时，第三辆车从乙地出发，
即与x之间的函数图象过和，
画出图象如下：
题型七 二次函数的实际应用
31．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)．取得最小值
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
32．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是．
(1)求y与的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒．
①求与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可；
（2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可；
②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得过点，，
将，代入，得，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）①解：设，
将，代入，得，
解得，
∴；
②解：由题意得
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．
33．（2024·江苏无锡·模拟预测）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
（元/件） 40 55 70
（件） 1100 950 800
(1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）；
(2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润；
(3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围为_____________．
【答案】(1)
(2)这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元
(3)
【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
（1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可；
（2）根据某周该产品的销售量不少于750件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可；
（3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，
∴设，
∵由表格得：当时，；当时，，
∴代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵某周该产品的销售量不少于750件，由（1）得，
∴，
解得：，
设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，
∴，
∴，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元；
（3）解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元，
∴，
设该商场每周销售这种产品的利润为元，
∴，
∴，对称轴为，
∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
故答案为：．
34．（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示．
时间 0 2 8 10 …
平均速度 0 4 14 …
(1)表格中时，v的值为 ．
小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ；
(2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式；
(3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程．
【答案】(1)16，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把，代入，求出，把代入求出；把，；，代入求解即可；
（2）把代入，求出，把，；，代入求解即可；
（3）把（2）中化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
把，；，代入，
得，解得，
∴，
故答案为∶16， ；
（2）解：当时，，
把，；，代入，
得，
解得，
；
（3）解：
∴当时，s有最大值为192，
即求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程．
35．（2024·江苏盐城·一模）盐城东台以其独特的地理位置、优越的土壤条件、丰富的种植经验形成了汁多爽口，细嫩鲜甜的东台西瓜．某经销商调研发现该品种西瓜成本价为每千克6元，售价不低于成本，且不超过13元/千克，经市场调研发现，该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．
(1)求该品种西瓜一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的函数关系式；
(2)若该品种西瓜售价定为多少元/千克时，日销售利润最大？并求出最大利润．
(3)为了回馈社会，该销售商决定，每卖出1千克，捐出元进行助农活动，若当日利润最大为800元．求此时的值．
【答案】(1)；
(2)时，最大值，最大值为1250．
(3)当每日最大利润为 800 元时，此时 m 的值为 2．
【分析】本题考查二次函数的应用以及一次函数的应用，关键是求出一次函数、二次函数的解析式．
（1）根据该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．列出函数解析式即可；
（2）设这种水果每天获得的利润为 w 元，根据题意得：，再化成顶点式，由函数性质求最值即可；
（3）设此时的利润为（元），根据题意得：，
【详解】（1）解：根据题意得：，
即 y 与 x 之间的函数关系式为：．
（2）解：设这种水果每天获得的利润为 w 元，
根据题意得：
当时，最大值，最大值为1250．
（3）解：设此时的利润为（元），
根据题意得：
∴抛物线的对称轴为直线，
，
时，最大值，最大值为800
即
解得：，（舍去），
答：当每日最大利润为 800 元时，此时 m 的值为 2．
题型八 反比例函数的实际应用
36．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
P（万元） 10.6 12 14.2
(1)求P与x之间满足的函数关系式；
(2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时，
(2)在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【分析】（1）设基本价为b，第1场—第20场，且x为正整数，设P与x的函数关系式为，依题意得：，计算求解进而可得一次函数解析式；第21场—第40场，即且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即，依题意得：，计算求解进而可得反比例函数解析式；
（2）设每场获得的利润为w万元．当，且x为正整数时，，由二次函数的图象与性质求最值即可；当，且x为正整数时，由反比例函数的图象与性质求最值即可，然后进行比较，作答即可．
【详解】（1）解：设基本价为b，第1场一第20场，且x为正整数，
设P与x的函数关系式为，
依题意得：，
解得：，
∴．
第21～第40场，即且x为正整数时，
设P与x的函数关系式为，
即．
依题意得：，
解得，
∴，
∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；
当且x为正整数时，．
（2）解：设每场获得的利润为w万元．
当，且x为正整数时， ，
∵，对称轴为直线，
∴当时，w最大，最大利润为（万元）．
当，且x为正整数时，，
∵w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
37．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据：
… …
… 4 …
（1）由题意可得________；
【探索研究】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质．
①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________；
【拓展提升】
（3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________．
【答案】（1）；（2）①见解析；②不断减小；（3）．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合．
（1）根据已知列方程求解；
（2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解；
（3）作函数的图像，根据图像即可求解．
【详解】（1）根据题意可得，
由表可得，当时，，
，
解得：，
故答案为：；
（2）①函数的图像如下：
②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图，
由图像可知，不等式的解集为，
故答案为：．
38．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件
(2)4月份该产品销售单价的范围是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论；
（2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为．
令，则，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为元件，则，
解得，
答：该产品的生产成本为38元件；
（2）解：3月份利润为：元．
由题意得4月份成本为元件，
则，
解得，
月份该产品销售单价的范围是．
39．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大 最大年利润是多少 (说明：年利润年销售利润研发费用)
【答案】(1)
(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．
40．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
(1)若，，，则______，______．
(2)求证．
(3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．
【答案】(1)20；30
(2)见解析
(3)画图见解析，随着的增大而减小．
【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：；
（2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出；
（3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小．
【详解】（1）根据题意可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，即；
，即，
解得：，即；
故答案为：20；30；
（2）证明：根据题意可知，，，，
，
，
，即，
整理得：，
，，
，
，
，
，即 ，
，，
，
，
；
（3）列表：
描点、连线：
根据函数图象可知，随着的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑