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热点必刷题05 二次函数的综合压轴题
题型一 二次函数的图象与各系数关系综合 1
题型二 二次函数的图象与性质综合 15
题型三 二次函数图象的平移综合 28
题型四 二次函数与方程、不等式综合 40
题型五 二次函数的含参应用题 54
题型六 二次函数的面积问题综合（含定值） 72
题型七 二次函数的角度问题综合 88
题型八 二次函数与相似三角形综合 88
题型九 二次函数与三角函数综合 88
题型十 二次函数的最值问题 88
题型十一 二次函数的存在性问题 88
题型十二 二次函数材料理解型问题 104
题型一 二次函数的图象与各系数关系综合
1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（ ）
A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤
2．（2024·江苏无锡·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
3．（24-25江苏苏州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．

4．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点、．
(1)若点的坐标为，
①_______，点的坐标为______；
②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______；
(2)若，求证：．
题型二 二次函数的图象与性质综合
5．（2022·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A． B．25 C．30 D．
6．（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ．
7．（2023·江苏无锡·三模）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值为 ．
8．（2023·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系 中，二次函数的图像经过，两点.
(1)当时，求线段的长及 h 的值；
(2)若点也在二次函数图像上，且，
①求二次函数图像与x 轴的另外一个交点的横坐标 （用 h 表示） 以及 h 的取值范围；
②若，求的面积；
③过点作 y 轴的垂线,与抛物线相交于 、两点 （P 、Q 不重合） ，与直线交于点 ,是否存在一个 a 的值，使得恒为定值？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由
题型三 二次函数图象的平移综合
9．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
10．（2023·江苏淮安·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点，与轴交于点．点的坐标为，点的坐标为直线经过两点．
(1) ， ；
(2)点为轴上的动点，过点且平行于轴的直线，分别交该二次函数的图象于点（点在点的左边），交直线于点（如图）．
当点为线段的中点时，求点的坐标；
设的横坐标分别为，点的纵坐标为；
若，则的取值范围是 ．
(3)若将该二次函数的图象进行适当平移，当平移后的图象与直线最多只有一个公共点时，请直接写出图象平移的最短距离，并求出平移后的二次函数图象的顶点坐标．
11．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表：
m … 0 1 …
… 0 …
… 2 3 2 …
他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上．
(1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围；
(3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值．
12．（2024·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______；
①；②；③．
(2)已知函数与函数互为“融创函数”．
①求公共点的坐标；
②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点）
(3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围．
题型四 二次函数与方程、不等式综合
13．（2023·江苏扬州·二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
14．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ；
（2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ．
15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
16．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，．
(1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若，求证：当时，．
(3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是．
题型五 二次函数的含参应用题
17．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
每天销售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
18．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）
销售量（件） 100
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
19．（2022·江苏南京·二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
20．（2022·江苏徐州·一模）某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；
(3)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率=利润÷成本×100%）
(4)疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a元（10≤a≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a的取值范围．
题型六 二次函数的面积问题综合（含定值）
21．（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且，
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)若抛物线与轴交于点、，当为何值时的面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式．
22．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标．
23．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
24．（23-24江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的一个动点，
①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标．
题型七 二次函数的角度问题综合
25．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且．
(1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______．
(2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，．
①求此时抛物线的函数表达式；
②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标．
26．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若，则点P的坐标为 ；
(3)如图2，延长交x轴于点G，若．
①求点G的坐标；
②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ．
27．（2023·江苏连云港·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求点P的横坐标．
28．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
题型八 二次函数与相似三角形综合
29．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．

(1)下列说法正确的是 （填序号）．
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线上．
(2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值．
(3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式．
30．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O出发，同时点Q从点O出发，沿OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当点P与点O重合时运动停止．设运动时间为t秒．
(1)当时， ；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)当时，抛物线经过P，Q两点，与x轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
31．（2024·江苏无锡·一模）如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标；
(3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______．
32．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积；
(3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
题型九 二次函数与三角函数综合
33．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图像的开口方向，决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点（）（异于顶点）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（）叫这个点的“股高”，记作；点（）到顶点（）的距离（的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．

由图1可得，对于函数：
（1）当勾距为定值时
①；股高和弦长均随增大而增大；
②；偏角随增大而减小；
（如：函数中，当时，；）
（2）当偏角为定值时
，勾距、股高和弦长均随增大而减小；
（如：函数中，当时，、）
利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
(1)函数中，①当时，________，②当时，________；
(2)如图2：以为顶点作抛物线：和与轴相交于点与直线相交于点，与轴相交于点：
①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点M在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值
34．（2023·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
35．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，拋物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)若由点A、B、C组成的角满足，求m的值及点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，点D是直线上方抛物线上的动点，过点D作直线的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围________．
36．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接．
(1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， )
(2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值；
(3)连接，当 时，
①求点的坐标；
②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________．
题型十 二次函数的最值问题
37．（2024·江苏无锡·三模）如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________．
38．（2024·江苏盐城·二模）如图1，已知直线与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线与x轴交于点A．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标；
(3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
(4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标．
39．（2024·江苏扬州·二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
40．（23-24山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
题型十一 二次函数的存在性问题
41．（23-24广东肇庆·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
42．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
43．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
44．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
题型十二 二次函数材料理解型问题
45．（2024·江苏扬州·二模）我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．

(1)若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
(2)如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
(3)如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
46．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当时，求点P的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
47．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图，直线是函数的图像与正方形的一条“楚河汉界线”．
(1)在直线，，，中，是图函数的图像与正方形的“楚河汉界线”的有______；（填序号）
(2)如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．
48．（2024·江苏盐城·二模）定义：当（，为常数，）时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为______．（填序号）
①；②；③．
【尝试应用】
（2）若一次函数（，为常数，）和反比例函数（为常数，）都是在上的“雅正函数”，求的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数是在（，为常数，）上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求、的值；
②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．参考公式：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点必刷题05 二次函数的综合压轴题
题型一 二次函数的图象与各系数关系综合 1
题型二 二次函数的图象与性质综合 15
题型三 二次函数图象的平移综合 28
题型四 二次函数与方程、不等式综合 40
题型五 二次函数的含参应用题 54
题型六 二次函数的面积问题综合（含定值） 72
题型七 二次函数的角度问题综合 88
题型八 二次函数与相似三角形综合 88
题型九 二次函数与三角函数综合 88
题型十 二次函数的最值问题 88
题型十一 二次函数的存在性问题 88
题型十二 二次函数材料理解型问题 104
题型一 二次函数的图象与各系数关系综合
1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（ ）
A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①错误；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为，
当时，，即，所以③正确；
抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧
当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，所以⑤正确．
故选：D
2．（2024·江苏无锡·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键．
先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可．
【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴，
当函数与直线相交时，有解，
整理得，
根据根的判别式，
解得或，
因为，
所以或，且时，二次函数与有唯一的交点．
若函数与B点相交时，将代入得，
解得，则此时如下图：
函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得；
若函数与A点相交时，把代入得，
解得，
则此时如下图：
函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点，
解得．
综上所述或或，
A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意；
B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意；
C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意；
D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25江苏苏州·阶段练习）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．

【答案】或
【分析】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
分两种情形：如图，当直线过点B时和当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
解得，
则抛物线与x轴的交点为，，
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
∴开口方向相反，开口大小一样
∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称
∴翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
∴，解得；
当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得，
所以b的值为或．
故答案为：或．
4．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点、．
(1)若点的坐标为，
①_______，点的坐标为______；
②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______；
(2)若，求证：．
【答案】(1)①，；②；
(2)见解析．
【分析】（1）①由∵抛物线经过点、，，得，把点代入得，，，从而抛物线的解析式为，令，则，得或，即可求解；②过点作轴于，交于点，设中，，则，得，再求得直线为，证，得，即，，设，则，由，构建方程求解即可；
（2）由抛物线经过点、，，得，，进而得，再代入即可证明结论成立．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点、，，
∴即，
∴，
把点代入得，
∴，即
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
∵点在点的左侧，
∴，
故答案为：，；
②过点作轴于，交于点，
设中，，则，
∴，
设直线为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线为，
∵，
∴，
∵轴，轴
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵抛物线经过点、，，
∴，即，，
∴，，
∴，即
∴
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型二 二次函数的图象与性质综合
5．（2022·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A． B．25 C．30 D．
【答案】A
【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，在证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
【详解】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，
∴A点坐标为(6,0)，即OA=6，
将配成顶点式得：，
∴B点坐标为(3,4)，
∴BD=4，OD=3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC=∠ANO=90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，利用勾股定理得，
∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC=5MC，
∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC=5MC，进而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本题的关键．
6．（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式和根与系数的关系得到，根据二次函数，得到 时，y随x的增大而减小，根据在对称轴的左侧，，得到当时，顶点纵坐标的最大值是．
【详解】∵关于x的方程的两根，满足，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数，
∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵在对称轴的左侧，，
∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴,
∴，
∴顶点纵坐标的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
7．（2023·江苏无锡·三模）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值为 ．
【答案】/
【分析】方法1：分别作垂直于x轴于点E、F，设，由抛物线解析式可得，作于H，交y轴于点G，连接交y轴于点D，设点，易证，所以，即．可得．再证明，所以，即，可得．即得点D为定点，坐标为，得．进而可推出点C是在以为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半时最大．
方法2：设点、，求得直线的解析式为，同方法1，求得，推出，说明直线过定点D，D点坐标为．得．进而可推出点C是在以为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半时最大．
【详解】解：方法1：如图，分别作垂直于x轴于点，

设，由抛物线解析式为，
则，
作于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点，
∵，
∴，
∴，即．
化简得：．
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
∴，即，
化简得．
则，说明直线过定点D，D点坐标为．
∵，
∴点C是在以为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：．
方法2：∵点A、B为抛物线上的两个动点，
设点、，直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与y轴的交点D的坐标为，
如图，分别作垂直于x轴于点，则，，

∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
∴，即，
化简得．
说明直线过定点D，D点坐标为．
∵，
∴点C是在以为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．
8．（2023·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系 中，二次函数的图像经过，两点.
(1)当时，求线段的长及 h 的值；
(2)若点也在二次函数图像上，且，
①求二次函数图像与x 轴的另外一个交点的横坐标 （用 h 表示） 以及 h 的取值范围；
②若，求的面积；
③过点作 y 轴的垂线,与抛物线相交于 、两点 （P 、Q 不重合） ，与直线交于点 ,是否存在一个 a 的值，使得恒为定值？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)，
(2)①二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，；②；③存在一个a的值，使得恒为定值，，理由见解析
【分析】
（1）由题意可得，轴，则，再由抛物线的对称性可得；
（2）①当时，，整理得，根据根与系数的关系可得二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，又由，，可求；
②将代入，可得，将、代入，确定点、，用待定系数法求直线的解析式为，则，所以，则；
③由对称性可得，又由、，求出直线的解析式为，当时，，所以，当时，即时，为定值．
【详解】（1）解：当时，轴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①当时，，
整理得，，
设抛物线与x轴的交点的横坐标为，
∴，
∴，
∴二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
将代入，
∴，
∴，
将、代入，
∴，
解得，
∴、，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴；
③存在一个a的值，使得恒为定值，理由如下：
由对称性可得，，
∵、，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
当时，即时，为定值．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
题型三 二次函数图象的平移综合
9．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式．
【详解】解：在直线上，
或B是抛物线的顶点，
的横坐标相同，
抛物线不会同时经过B、C点，
抛物线过点A和C两点，
把代入：
得，解得，
二次函数为
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为，
平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为．
故答案为：．
10．（2023·江苏淮安·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点，与轴交于点．点的坐标为，点的坐标为直线经过两点．
(1) ， ；
(2)点为轴上的动点，过点且平行于轴的直线，分别交该二次函数的图象于点（点在点的左边），交直线于点（如图）．
当点为线段的中点时，求点的坐标；
设的横坐标分别为，点的纵坐标为；
若，则的取值范围是 ．
(3)若将该二次函数的图象进行适当平移，当平移后的图象与直线最多只有一个公共点时，请直接写出图象平移的最短距离，并求出平移后的二次函数图象的顶点坐标．
【答案】(1)，；
(2)①；②；
(3)最短距离为； 顶点坐标．
【分析】（）把，两点坐标代入解析式，从而求得，；
（）可推出R在抛物线的对称轴上，进一步得出结果；
可推出或，从而得出直线在直线，之间或在轴下方，进一步得出结果；
（）可以根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线，根据得 ，当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，此时，进而求得图象平移的最短距离，进一步求得移动后抛物线的顶点；
本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一元二次方程的解法等知识以及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）由题意得，
，
∴ ，
故答案为：，；
（2）设直线的解析式为
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，关于对称轴对称，是的中点，
∴点的横坐标是，
当时，，
由得，，，
∵在的左边，
∴；
如图，
∵，
∴或 ，
∴或 ，
∵，
∴或，
∴直线在直线，之间或在轴下方，
由得函数的最大值是，
∴或；
（3）如图，
根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线，
∴，，
∴
设平移后的直线的解析式为，与轴交于点，
由得，，
当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，公共点记作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图象平移的最短距离为，
作轴，作于，
∴，
∴顶点向先平移个单位，向左平移个单位后为．
11．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表：
m … 0 1 …
… 0 …
… 2 3 2 …
他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上．
(1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上；
(2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围；
(3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等定系数法求函数解析式，位似变换等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用等定系数法求解即可；
（2）先求出点，再利用平移的性质即可求解；
（3）利用位似比得到，得到，或，得到，即可求解．
【详解】（1）解：设，将代入得
，
∴，
，
当时，
∴无论m取何值点M都在该抛物线上．
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为：，
设抛物线与轴的交点为，
令，则，
解得：，，
∴，
设，，
依题意， 或向右移动到之间时，移动距离为的范围，如图：
移至：
移至，，
移至，，
移至：
移至，，
移至，，
∴．
（3）解：如图，与位似，位似比，则，
，
∴，
，，
令，得；
如图，
，
，
，
，
，，
令，
12．（2024·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
(1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______；
①；②；③．
(2)已知函数与函数互为“融创函数”．
①求公共点的坐标；
②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点）
(3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)① ②
(3)
【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可；
（2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可；
（3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果．
【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限，
直线与直线不平行，故有唯一点；
反比例函数的图象在一、三象限，
关于直线与反比例函数的图象有两个交点；
二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点，
与一次函数互为“融创函数”的是①③．
故答案为：①③；
（2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”，
则联立，
消去y得；，
则，解得，
故函数，令
解得
∴R的坐标为；
②将函数向左平移个单位得到函数．
联立函数与函数，
则，即，
解得：或，
当，则；当，则；
如图：
设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点，
函数与函数，
，
当时，，当时，，
则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个；
（3）解：函数与函数互为“融创函数”，
令，整理得：
则，即，
当，恒有，
点在函数顶点的右侧，即，
解得，
由，
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键．
题型四 二次函数与方程、不等式综合
13．（2023·江苏扬州·二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，结合二次函数的图象和性质，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得，，
解得：．
分类讨论：①当时，即，
∴原方程为，
解得：，满足题意；
②当时，即时．
∴原方程有两个不相等的实数根．
∵该二次函数的对称轴为直线，且有且只有一个根在的范围内，
∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示，
观察图象可知，当时，方程的两个根分别为，，不满足题意；
当时，方程的两个根分别为，，满足题意；
当时，方程的两个根都在范围内，不满足题意．
综上可知，满足条件的t的范围为或，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的关系，解题关键是树立数形结合思想，利用二次函数图象解决一元二次方程根的问题．
14．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ；
（2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ．
【答案】 /0.125 或
【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值；
（2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：（1）依题意，令，
整理，得：，
又抛物线与直线有且只有一个交点，
，
解得：，
故答案为：；
（2）顶点在第二象限，
，
然后分两种情况讨论：
①当点在轴的正半轴上时，
如图，过点作于点，
令，则，
，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：或（不符合题意，故舍去）；
②当点在轴的负半轴上时，
如图，过点作于点，
令，则，
，
令，则，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：或（不符合题意，故舍去）；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，锐角三角函数的定义，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，根据锐角三角函数的定义列出关于的方程是解题的关键．
15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得；
（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证；
（3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
将代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴这个一元二次方程没有实数根，
∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
二次函数化成顶点式为，
∴其对称轴为直线，顶点坐标为，
设点关于对称轴的对称点为点，则，
∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．
则分以下两种情况：
①如图，当点在点左侧时，，即，
此时在图形内，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
②如图，当点在点右侧时，，即，
此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
综上，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，．
(1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若，求证：当时，．
(3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）证明即可解决问题．
（2）将代入函数解析式，进行证明即可．
（3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）证明：将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下．
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以．
（3）对称轴为直线，顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，，
即，解得：
②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时
即，解得，
综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），
故答案为：或．
题型五 二次函数的含参应用题
17．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
每天销售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：当时，，当时，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得，
∵，
∴．
18．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）
销售量（件） 100
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
19．（2022·江苏南京·二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
【答案】(1)500
(2)30亩；4500元
(3)
【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得到关系式，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
【详解】（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
（元）
故答案为：500；
（2）设出租亩土地，则方式一的每亩年租金为：，
∴方式一的年总租金为：
方式二的年租金为
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，
∵
∴当时，y有最大值为4500
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
（3）设出租亩土地，方式一的年收入为：方式二的年收入为：；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，
所以，对称轴为直线
∵
∴对称轴直线
∵
∴当时，w取得最小值
租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则
即：
解得，，
∵
∴a的取值范围为：
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式．
20．（2022·江苏徐州·一模）某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；
(3)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率=利润÷成本×100%）
(4)疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a元（10≤a≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元
(4)
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）根据利润=（售价-单价）×销售量，即可得出答案；
（3）根据题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；
（4）根据题意可求出x的取值范围和W与x、a的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增，即可得出关于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
根据图象可知点(130，50)和点(150，30)在的图象上，
∴，
解得：．
∴．
令，则，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）根据题意可得，
即每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为；
（3）根据题意可得：，
解得：．
∴．
∵，
∴当时，有最大值，
且（元）．
故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元；
（4）根据题意可知
解得：．
．
∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，
∴，
解得：．
∵，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
题型六 二次函数的面积问题综合（含定值）
21．（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且，
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)若抛物线与轴交于点、，当为何值时的面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式．
【答案】(1)直线
(2)1
(3)的面积最小值为，此时抛物线的解析式为
【分析】本题考查了二次函数与面积问题、二次函数与一元二次方程、待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）根据抛物线过点，，得到，设点的坐标为，其中，再利用三角形的面积公式得出，，由整理得到，得出，最后代入和到，利用待定系数法即可求解；
（3）令，用含的代数式表示出，再利用三角形的面积公式得出，再结合二次函数的性质求出的面积最小值和此时的值，即可得出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：抛物线过点，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，且直线为，
，即，
点在线段上，
设点的坐标为，其中，
，
点到直线的距离为，
，，
，
，
整理得：，
点的坐标为，
代入和到，得，
解得：，
的值为1．
（3）解：令，则，
解得：，，
，
，
点到轴的距离为2，即点到的距离为2，
，
当时，有最小值3，此时有最小值，
此时抛物线的解析式为，
综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为．
22．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点．
(1)直接写出该二次函数的表达式为 ___________；
(2)连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图2，连结交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）根据二次函数与y轴的交点可得，，则，将点的坐标代入抛物线表达式，运用待定系数法即可求解；
（2）根据点的坐标可得直线的解析式，由二次函数与坐标轴的交点的计算可得点的坐标，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，可得，由此可得四边形面积，代入计算，再根据二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点，则点，可得直线的表达式为：，根据两直线的交点的计算可得点的坐标为：，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，则点在的中垂线上；当时，即；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数中，令时，，
∴，
∴，
∴点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
（2）解：，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的表达式为：，
在二次函数中，当时，，
解得，，
∴，则，
如图所示，过点作轴的垂线，交于点，
∵点为抛物线第二象限上一动点，
∴设点，则点，
∴，
∴四边形面积
，
∵，
故四边形面积存在最大值，
当时，四边形ABCP面积的最大值为；
（3）解：设点，则点，
设直线的解析式为：，，
∴，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和直线的表达式得：，
解得：，则点的坐标为：，
由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为，
如果，则，则，故不存在，
则，
而，
当时，
则点在的中垂线上，则，
∴，
解得：（舍去）或，
即点；
当时，即，
解得：（舍去）或，
即点，
综上，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，等腰三角形的定义及性质，掌握二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点坐标为或
【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标；
（2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式；
（3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：二次函数，
，
，
，
，
，
代入得：，
，
二次函数，
令得，
解得：或，
的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：设，
，，
，
，
当最大时的值最大，
二次函数，
为抛物线的顶点时最大，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（3）解：，，
抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
是直角三角形，且，
记为对称轴与轴的交点，如图，连接，
，
，
，
，
，
则①当与重合，即；
②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
，，
圆心在直线上，设圆心坐标为，则，
，即，
解得：，
，即，
解得：，，
，
综上，点坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（23-24江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的一个动点，
①若中有一个内角是的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线与y轴和直线分别交于点D和点E，若，，的面积分别为，，，且满足，求点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)①或 ②
【分析】本题考查抛物线及抛物线上动点问题．
（1）根据题意由待定系数法即可求解．
（2）①由点的坐标得，，则中有一个内角是的3倍，即为，再分类求解即可．
②由三个三角形得高相同，则面积比等于底的比，当时，则，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线表达式为：．
（2）解：①由抛物线的表达式可知，点，由点的坐标得，在中，所以，故，
则中得一个内角是的3倍，即为，
则存在为直角的情况，
由于，则的外接圆除了和抛物线交于点外，不可能再出现点，故该情况不存在，
当为直角时，设点，过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，相较于点，
∵
∴，
中，，解得，
又∵过抛物线，
∴，解得或舍去
即点；
当为直角时，
同理可得，点；
综上，点的坐标为：或；
②：由点的坐标得，
设直线的表达式为，
分别代入点、，
得：解得：
得：，
设点，
直线的表达式为由点的坐标得，
解得：
解得直线的表达式为：
，
联立抛物线和直线的表达式得：
，
解得，
∵三个三角形的高相同，
则面积比等于底的比，
而三个底共线，
则，
当时，
则，
整理得：，
即，
解得：（舍去）或
则点P的横坐标为．
题型七 二次函数的角度问题综合
25．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且．
(1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______．
(2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，．
①求此时抛物线的函数表达式；
②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标；
（2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标．
【详解】（1）解： ∵，
∴这个抛物线的对称轴是：直线，
∴，
如图1所示，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
根据抛物线的对称性得，
故答案为：；
（2）解： ①如图1，
将代入二次函数中得：，
∴，
，
∴，
∵顶点与点关于轴对称，
∴，即，
，
，
，
设直线的解析式为：，
，
，
∴直线的解析式为：，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴此时抛物线的函数解析式为：；
②如图2，
当点在的下方时，连接，
∵顶点与点关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得：，
∴；
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，
当时，，
，
如图3，
当点在的上方时，连接，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，，，
，
过作轴，垂足为，
在中， ，
，
或 (舍去)．
，
综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键．
26．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若，则点P的坐标为 ；
(3)如图2，延长交x轴于点G，若．
①求点G的坐标；
②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解；
（3）①由，则，即可求解；
②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，
∴点，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，
则轴，则，
而，
则，
即和关于对称，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
∴，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或3，
则点，
故答案为：；
（3）解：①设点，
，
则，
则，
即点；
②由点A、D的坐标得，
直线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：，
联立和抛物线的表达式得：
，
则舍去或，
则点，
设点，点，
由点A、N、D、P、Q的坐标得，
，，，，
由①知，，
而，
即，
则，
即，
，
，
则，
即：,
则，
即n的最大值为：，
故答案为：
27．（2023·江苏连云港·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴；
（2）①解：当时，，即，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
如图1，
设，则，，
∵，
∴当时，有最大值，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴的最大值为；
②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，

由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
如图2，作于，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，，
解得，或（舍去），
∴点P的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键．
28．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
【答案】(1)1，
(2)m的值为1
(3)①当时，， ；当时，，；；②
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，三角函数的定义；
（1）把、代入即可得到答案；
（2）先求出直线的解析式，设点，可得 ，进而即可求解；
（3）①先求出的解析式，的解析式，再表示，
，结合=，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点，
∴，解得：，
∴，
把代入，得，
故答案为：1，；
（2）∵直线过、两点．
∴直线的解析式是，
设点，
∴点M（m，）、N（m，），当点在点的上方时，则 ，
当时，，解得：；
∴m的值为1；
（3）①由题意得：的解析式为，
的解析式，
当时，，
∴点E（3，），
∴，，
∴，
，
∵=，
∴，解得：
∵点在直线的上方
∴令=，解得：
∴
∴存在，，满足=
当时，， ；
当时，，；
②当旋转后点F在点C左侧时
过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3，
∵直线的解析式为，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴和是全等的两个等腰直角三角形，
∴，
∵M（m，），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点F的坐标是，
当旋转后点F在点C右侧时
满足的点F不存在；
综上所述，点F的坐标是．
题型八 二次函数与相似三角形综合
29．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．

(1)下列说法正确的是 （填序号）．
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线上．
(2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值．
(3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式．
【答案】(1)①③
(2)线段的长度是定值
(3)
【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③；
（2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值；
（3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解．
【详解】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1，
∴开口向上，故①正确，符合题意；
当时，，
∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意；
将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意；
故答案为：①③；
（2）由，得：，
设，则，
，
，
∴线段的长度是定值．
（3）∵，
∴，
，
对直线，当时，，
，
设，则，
解得：或，
或
将代入，得，
解得：或，
当时，，
令时，或，
∴，
由，得：或，
∴，符合条件；
∴，
∴，
∴与不相似，舍去：
当时，，
令时，，无解；
将代入，得，
解得：或，
当时，不符合条件，舍去；
当时，，
由，得：或，
∴，
当时，，
解得：或，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，时，与相似，
则抛物线的表达式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题．
30．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O出发，同时点Q从点O出发，沿OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当点P与点O重合时运动停止．设运动时间为t秒．
(1)当时， ；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)当时，抛物线经过P，Q两点，与x轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)t的值为或
(3)抛物线上存在点D，其坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
（1）可用含的代数式分别表示出，，的长，再将代入，即可直接求出的面积；
（2）分两种情况讨论，当∽时，当∽时，分别用相似三角形的性质可求出的值；
（3）先求出抛物线的解析式，顶点坐标，点的坐标，如图，连接，，过点作轴于点，则，推出，当点在轴上方时，设与交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线交点即可；当点在轴下方时，作点关于轴的对称点，与抛物线交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线的解析式即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
，
当时，，，
，
故答案为：；
（2）由题意知，，
①当时，
，即，
解得，（舍去），；
②当时，
，即，
解得，（舍去），，
综上所述，当与相似时，的值为或；
（3）当时，，，
将代入，得，，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
，
由对称性知，，
如图，连接，，过点作轴于点，则，，
，
①当点在轴上方时，
则时，设与交于点，
又，
，
，
即，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为，
联立，得，
解得，，（舍去），
；
②当点在轴下方时，
作点关于轴的对称点，与抛物线交于点，
此时，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为，
联立，得，
解得，，（舍去），
，
综上所述，抛物线上存在点，其坐标为或．
31．（2024·江苏无锡·一模）如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标；
(3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）求出C点坐标，把B，C点坐标代入二次函数解析式求解即可；
（2）过点E作轴，过点P作，先证，由相似的性质可得，求出直线的解析式，设，由等腰三角形的性质可得，进而可得，把P点代入二次函数即可求出t，进而求出P点坐标；
（3）分为和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：，
，
，
把代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）过点E作轴于M，过点P作于N，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴， ，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
设点 ，
，
，
，
，
点P为线段BC上方抛物线上一动点，
，，
整理得，
解得或 （舍去），
；
（3）如图，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，延长交x轴于H，连接，则轴,
令得，，解得，
，
，
，
，
，
设，则，
，
轴，
，
，，
，
和相似，分为和两种情况，
当时，，，解得或（舍去），
此时E点坐标为；
当时，，解得或（舍去），
此时E点坐标为；
综上所述，当与相似时，点E的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线，数形结合思想，分类讨论思想的应用是解题的关键；
32．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积；
(3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)或或或
【分析】（1）把点，代入解析式中，即可求解；
（2）连接，由点A与点B关于对称轴对称即可得到点A的坐标，从而得到的长，待定系数法求出直线的解析式，从而求得点D的坐标，进而得到的高，根据，结合三角形的面积公式即可解答；
（3）分两种情况讨论：①当时，②当时，与相似，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图1所示，连接．

∵抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵将代入得：，
∴
设对称轴与x轴的交点为G，
∴．
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图2所示：当时．

∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴点F的纵坐标为1．
将代入抛物线的解析式得；，解得：，，
∵将代入得：，
∴．
∵将代入得：，
∴的坐标为．
如图3所示：当时，

∵，，
∴．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，即，
∴点F在直线上，
∴点F是直线与抛物线的交点．
∵，，
∴直线的解析式为，
解方程组得或，
∴点或，
∵轴，
∴点E的横坐标为1或4，
∴将代入得，
∴．
将代入得，
∴．
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，三角形的面积，相似三角形的判定，函数图象的交点，综合运用相关知识是解题的关键．
题型九 二次函数与三角函数综合
33．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图像的开口方向，决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点（）（异于顶点）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（）叫这个点的“股高”，记作；点（）到顶点（）的距离（的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．

由图1可得，对于函数：
（1）当勾距为定值时
①；股高和弦长均随增大而增大；
②；偏角随增大而减小；
（如：函数中，当时，；）
（2）当偏角为定值时
，勾距、股高和弦长均随增大而减小；
（如：函数中，当时，、）
利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
(1)函数中，①当时，________，②当时，________；
(2)如图2：以为顶点作抛物线：和与轴相交于点与直线相交于点，与轴相交于点：
①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点M在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【分析】（1）①根据材料（1）勾距为定值时，；
②当偏角为定值时，，代入数据即可求解．
（2）①根据题意，分别求得，进而即可求解；
②根据题意，分求得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①函数中，①当时，，②当时，，
故答案为：，．
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点

以为顶点作抛物线：和
∴
以为顶点的抛物线与轴相交于点，
由，令，解得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
则，
∴
∵
∴与轴交于点，，
∴，
∴
②当时，如图所示

由①可得，，
∴
∵设，
∴，
∴
∴
又，
∴
∴
又，
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握题目所给的材料是解题的关键．
34．（2023·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，18．
【分析】(1)将点代入解析式计算即可．
(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．
(3) 作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴．
（2）令，则，
∴，
令，则，
∴或，
∴，
∵，
∴，
如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
∴，
∴，
联立方程组，
∴（舍）或，
∴；
如图2，当P点在x轴下方时，
∵，，
∴，，
∴，
解得（舍去），
∴；
综上所述：P点坐标为或．
（3）线段存在最大值，且为18．理由如下：
作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
连接，
则，
以G点为圆心，半径为5的作，点，
当点Q位于上时，作直径，连接，，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，
故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
∵，∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．
35．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，拋物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)若由点A、B、C组成的角满足，求m的值及点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，点D是直线上方抛物线上的动点，过点D作直线的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围________．
【答案】(1)，点A的坐标为
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）求出点C的坐标为，则，根据正切的定义求出，得到点B的坐标为，把代入得到解得，得到抛物线解析式为，进一步求出点A的坐标即可；
（2）过点D作轴于点F，交于点H，求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则点的坐标为，则，证明，得到解得，即可得到答案；
（3）点M的坐标为，求出抛物线的对称轴为直线，得到点C关于对称轴的对称点坐标为，根据二次函数的图象和性质进一步进行分析即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
在中，∵
∴
∴点B的坐标为，
把代入得到
，
解得，，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得，
∴点A的坐标为
（2）存在，如图，过点D作轴于点F，交于点H，
设直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
（3）∵点C向右平移4个单位得到点M，
∴点M的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点C关于对称轴的对称点坐标为
∵抛物线与线段有且只有一个公共点，
∴或
∴m的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，数形结合和熟练掌握相似三角形的性质是关键．
36．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接．
(1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， )
(2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值；
(3)连接，当 时，
①求点的坐标；
②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值为
(3)①；②
【分析】（1）分别令即可求解；
（2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可；
②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解．
【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
∴令时，，整理得，，
∴，，
∴，，
令时，，
∴，
故答案为：；
（2）解：已知，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线所在直线的解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，
∴当时，，
∴，则，
∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴设，且，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∵点关于的对称点为，且，
∴，
∴点三点共线，
∴；
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，，则，，，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∵点，点，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴；
②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，

已知，，是的垂直平分线，
∴，，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即的最小值为，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
∵，
∴，
综上所示，的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
题型十 二次函数的最值问题
37．（2024·江苏无锡·三模）如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________．
【答案】(1)；
(2)存在，；
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）证明，得，由，得到，则的最小值就是的最小值，当时，求得最小，则最小，即的值最小，再求出，代入即可求解；
（3）根据相似三角形的性质求得，则，如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，证明，得到，则，设，则，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），则，，从而求得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线与抛物线的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：把，分别代入，得
，解得：，
∴；
（2）解：∵二次函数与x轴交于两点，顶点为C，
根据抛物线的对称性，∴，，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴的最小值就是的最小值，
∵
∴
∴
∴当时，最小，则最小，即的值最小，
∴的最小值
∴的最小值为．
（3）解：∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，

∵，
∴，，
∴，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，（舍去），
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把 ，代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，则
解得：，
∴直线与二次函数的交点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，求二次函数与一次函数交点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，本题属二次函数综合题目，难度较大． 用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
38．（2024·江苏盐城·二模）如图1，已知直线与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线与x轴交于点A．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标；
(3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
(4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标．
【答案】(1)
(2)的坐标为或
(3)，
(4)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）要使以为顶点的三角形与相似，则有或，进而求解；
（3）由即可求解；
（4）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解．
【详解】（1）解：对于，令，解得，
令，则，
故点的坐标分别为，
将点的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故；
（2）由点的坐标知，，，
要使以为顶点的三角形与相似，
则有或，
①当时，即，
∵点的坐标为，
∴，
②当时，即，
解得，
∴，
即的坐标为或；
（3）∵轴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，四边形的面积最大为，
此时，
故点；
（4）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点，
理由：四边形的周长为最小，
∵，
∴关于轴的对称点，
∵在抛物线上，
∴，
∴点关于轴的对称点，
由点的坐标得：直线的解析式为，
令，则，
令，则，
∴．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
39．（2024·江苏扬州·二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
40．（23-24山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为
(3)最大值为，此时点P的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可；
（2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值；
（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点．设点的坐标为，则点，点，易得，，根据，并结合二次函数的性质即可求得的面积取最大值以及此时点的坐标．
【详解】（1）解：将、代入，
可得，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
可得，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的坐标为，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示，
∵点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴此时周长取最小值，
当时，，
∴此时点的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为；
（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示，
设点的坐标为，则点，点，
∴，，
∴，
∵点，
∴点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、最短路径、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
题型十一 二次函数的存在性问题
41．（23-24广东肇庆·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的周长的最小值，点M的坐标为
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点M，此时最小，进而求解；
（3）分、两种情况，然后分别求解即可．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接交于点M，此时最小，
又因为是定值，所以此时的周长最小．
令时，则有，即，
∴，
，同理，
∴此时的周长；
是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和，
，对称轴为，
由，得，
，
又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上，
；
（3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形．
设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为m，
∴点，点，
则，，，
当时，则，解得（舍去）或4；
当时，则，解得（舍去）或；
综上，或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
42．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解；
②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点，
设点，
则点，
①由点的坐标得，直线的表达式为：，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
解得：，
则点的坐标为：；
②存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当或角线时，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
综上，．
43．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
【答案】(1)，
(2)为定值，定值为
(3)
【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故；
（2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值；
（3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解．
【详解】（1）当时，即，
，
解得，，
点，点，
当时，，
点，
，
，
（2）为定值，理由如下：
点D为的外心，，
则，，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点，
则，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
则的面积，
为等腰直角三角形，
，
则的面积，
为定值；
（3） 在第一象限内的抛物线上存在一点，
以、、、为顶点的四边形只能是四边形，
又，
若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示，
由前面可知，点，点，点，设点，
若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得：
，
解得：或（不合题意舍去）；
综上，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
44．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点
(3)或或或
【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，利用表示出的长，即可求解；
（3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，
则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
题型十二 二次函数材料理解型问题
45．（2024·江苏扬州·二模）我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“2倍点”．

(1)若反比例函数的图象上存在一个“2倍点”的坐标为，则反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为 ；
(2)如图1，是否存在一个“2倍点”与抛物线的顶点A的距离最短？若存在，求出这个最短距离；若不存在，说明理由；
(3)如图2，已知点P是第一象限内的一个“2倍点”，将点P向下平移3个单位得到点Q．
①若一次函数的图象恰好经过点Q，则k= ；
②在①的条件下，若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，求所得直线与y轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)①2，②
【分析】（1）由反比例函数的对称性即可求解；
（2）P是第一象限内的一个“2倍点”，则点，即点P在直线上，证，得即可求解；
（3）①设点，则点则点Q在直线上，即可求解；
②过点N作于点G，在中， ，，设，则，则，则，即，求出点M坐标和直线直线的表达式，即y轴上点N的坐标．
【详解】（1）由反比例函数的对称性得，反比例函数的图象上另一个“2倍点”的坐标为
故答案为∶ ；
（2）存在，理由∶
设P是第一象限内的一个“2倍点”，
则点，即点P在直线上，
由抛物线的表达式知，点，
过点A作轴交直线l于点H，作于点N，

当时，，即点
则，，，
在和中
，
即最短距离为：，
（3）①设点，则点则点Q在直线上，
即，
故答案为∶2；
②若点Q的横坐标与纵坐标相等，将直线绕点Q顺时针旋转，
∴，即将直线绕点Q顺时针旋转得到如下图，

令，则，即点，
，
点，当时，即，即，
由直线知，，
过点M作于点G，
在中， ，，，
设，则，则，
则，即
解得∶ ，
则，
则点，
由点M、Q的坐标得，直线的表达式为∶ ，
点N为直线与y轴的交点坐标，
点，
即直线与y轴的交点坐标为．
【点睛】本题主要考查了函数与几何图形结合，涉及反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题，二次函数的性质，点的坐标与线段长度的关系，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
46．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当时，求点P的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，
（1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物

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