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热点必刷题03 图形的变化类选填压轴题（翻折、旋转、平移、最值等）
题型一 选填压轴题之翻折问题 2
题型二 选填压轴题之旋转问题 14
题型三 选填压轴题之平移问题 26
题型四 选填压轴题之轴对称问题 38
题型五 选填压轴题之最值问题（含隐圆） 52
题型六 选填压轴题之相似问题 65
题型七 选填压轴题之三角函数问题 76
题型八 选填压轴题综合 89
题型一 选填压轴题之翻折问题
1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正弦值，勾股定理，等角对等边等等，延长交于G，过点D作于G，先证明得到，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，利用面积法求出，则，由折叠的性质可得，则，可得，则，证明，得到，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长交于G，过点D作于G，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可得，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得， ，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵将沿翻折到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
3．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作的延长线于点，设与交于点，根据矩形性质和翻折性质，设，，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，，证明，对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点，
四边形是矩形，
，，，
，
由翻折可知：，
，
，
由翻折可知：，，
，
，
设，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形．
4．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ．
【答案】或．
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，由正方形可得，，由折叠可得，，由等腰三角形可得或，分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠可得，，，
∵是等腰三角形，
∴或，
当时，则，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，过点作于，延长交于，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴等于或，
故答案为：或．
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由折叠可证四边形为菱形，是边上的中线，如图，连接，交于，是边上的中线，的角平分线，则，，，由，可得，则，，，可知当点P运动到点A时，最大，最大为，勾股定理求，则，计算求解即可．
【详解】解：为等边三角形，，
，
将沿翻折，得到，
，
四边形为菱形，
∴，，，
∴是边上的中线，
如图，连接，交于，
∵F是的中点，
∴是边上的中线，的角平分线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴当点P运动到点A时，最大，最大为，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键．
6．（2024·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质是解决此题的关键．
【详解】将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，
则三点共线，，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
由折叠成，
∴，
∴点在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵两点间线段最短，
∴，
即，
∴，
∴，
则的最小值为，
故答案为：．
题型二 选填压轴题之旋转问题
7．（2024·安徽淮南·二模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键．
过点作于点，过点作于点，先确定出当点三点共线时，最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
则当点三点共线时，，此时最小，
由旋转的性质得：，
∴是等边三角形，
∴点是的中点，，
∴，
又∵，点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即的最小值为，
故选：C．
8．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键．
如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，
∴，共线，，
由旋转可得：，，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值是；
故选B
9．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小
∵，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故选：A．
10．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点E是三角形内部一点，且满足，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ．
【答案】/
【分析】将绕点A顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，过点A作，过点O作，先证明，推出点E的运动轨迹为圆弧，再求得圆心角，然后按照弧长公式计算即可．
【详解】解：作的外接圆O，交于一点G，将绕点A顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，过点A作，过点O作，如图：
由旋转可知：，，，
，
在中，；
在中，；
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
点E在运动过程中所形成的图形的长为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质与弧长的计算等知识点，根据旋转的性质确定点的运动轨迹是解题的关键．
11．（2024·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，
则，
由旋转得：，，，
，，
，，
，，
正方形的边长为2，点是边上的动点，
设，则，
，，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
线段的取值范围为．
故答案为：．
12．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知与中，，，，将绕着点旋转，连接、、，分别取，，的中点，，，连接，在旋转一周的过程中，面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，先得出，进而得出，则，根据旋转的性质找到最大值，即可求解．
【详解】解：∵与中，，，，
∴，
∴
∴
∴,
设
∴，
∴
延长交于点，则
∵，，的中点，，，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴当最大时，即最大，的面积最大，
∵绕点旋转，
∴当时，取得最大值为，
∴
故答案为：．
题型三 选填压轴题之平移问题
13．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，根据三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，判断出三角板平移的角度，要求的路径长，只需要转化为求的路径长，而，主动点的运动路径即是线段，由此可求出从动点的路径长．
【详解】解： 三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，
，
，
当点沿方向从点运动到点，点的运动轨迹必须保证，因此三角板的运动轨迹如图所示，
要求点运动的路径，根据平移的性质，，
，
在中，
，又，
．
　点运动的路径长为．
故选：D．
14．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是边长为4的菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
由平移的性质得，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正确；
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③错误；
作于点，于点，
设，则，，
∴，，
∴等边、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
④正确．
综上，①②④正确，
故选：D．
15．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
如图，连接，，
由平移的性质可知，，，，
∴在直线上运动，四边形是平行四边形，
∴，
如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
16．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．

【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形为正方形，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
；
，
，
的面积的最小值是，
故答案为：，．
17．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案．
【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，

∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
18．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将向右平移到的位置，点依次与点对应点，是的中点，若反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、求反比例函数解析式、三角形中位线定理、平移的性质，由题意得，，由平移的性质可得：，，，，证明四边形为矩形得出，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于，则四边形是矩形，得到，，设，求出，得出，求出的值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
由平移的性质可得：，，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
过点作轴于点，轴于点，过点作轴于，如图所示，

则，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，
∵为的中点，轴，轴，
∴
∵
∴
∴
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
题型四 选填压轴题之轴对称问题
19．（2024·江苏扬州·三模）如图，在正方形中，，点E是边的中点，点P是直线上的动点（点P不与点C重合），将沿所在的直线翻折，得到，作点F关于对角线的对称点，连接，，若为等腰三角形时，则线段的长为（ ）
A．1 B．1或4 C．1或2 D．1或2或4
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据折叠的性质分三种情况：当时，②当时，③当时，分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
取的中点，连接，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，，
∴点、关于直线对称，
∵点、关于直线对称，，
∴，
∴点在以点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，点在线段的垂直平分线上，
此时可得点与点重合，点与点重合，
故；
②当时，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∴点、、共线，
∵点、关于直线对称，
∴，
设，则，，
由勾股定理可得：，即，
解得：，即；
③当时，连接，
同②可证，
∴，
连接，，故点、，点、，点、分别关于直线对称，
∴与关于直线对称，
∴，
∴，
∵，点在上，
∴点与点重合，
∴；
综上所述，的长为或或，
故选：D．
20．（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长，交于点E，利用正方形的性质即可证明，有，则有，进一步证得，，有，结合对称性得，即可求得．
【详解】解：如图，延长，交于点E，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为2，点M为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点与点P关于直线对称，，
∴，
则．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及对称性，解题的关键是做辅助线和三角形性质之间的转化求解．
21．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，，
由折叠得，，，，，，
∴，，，，，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
当点在的延长线时，，
∴，
∴，
故选：．
22．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的应用-最短距离问题，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
已知，因此证明，表示出的长，在中，运用勾股定理求出的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出的长．根据两点之间线段最短，添加辅助线将和转化到同一条线段上，因此作A点关于的对称点为，连接，可证得是等边三角形，由垂线段最短可知当时，最小，即可求出结果．
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
∴，，，
∴，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，
∴是等边三角形，
∴，
∴当三点在一条线上时，最小，
又垂线段最短可知当时，最小，
∴，
故答案是：．
23．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理矩形的判定与相似三角形知识，并建立平面直角坐标系，求出是的最小值是解题的关键，过E点作于点H，得到,,从而求出，
方法一：延长到点，使得,并连接,过H点，作∥,可得,故当三点共线时最短，最小值为,从而即可求出线段和的最小值；
方法二：再建立平面直角坐标系，设,则,由勾股定理求出，并把求最小值转化为在x轴上找一点，使其到两点的最小距离，由轴对称即勾股定理即可求解.
【详解】解：过E点作于点H，
∴,
∵,
∴,
在矩形中，∥,，，，
∴,,,
∴,
又,
∴,
∴,
即,解得：,
方法一：如图，延长到点，使得,并连接,过H点，作∥,
∵,∥,∥,
可知四边形,四边形都是平行四边形，
∴,
∴,
故当三点共线时最短，最小值为,
方法二：如图，建立直角坐标系，则
设,则,
∴,
∴,
其中可以看作是点到两点的距离，则求最小值就可以转化为，在x轴上找一点，使其到两点的最小距离，
且关于x轴的对称点为,
故答案是：．
24．（2024·江苏苏州·二模）如图，在四边形中，，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为，若，，则

【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点E作于点H，设，在中，利用，即可求出x的值，已知，，由折叠可知，设，在中，利用即可求m的值，进而也可求出．
【详解】解：如图，过点E作于点H，

设，
由折叠可知，则，
在中，
，
解得，
即，
，，
，
由折叠可知，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
题型五 选填压轴题之最值问题（含隐圆）
25．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，．
【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图，
则，，
，，，
平分，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
，
，，
，
设的半径为r，则，
，，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是的切线，
，
，
当时，．
故选：D．
26．（2024·江苏扬州·一模）如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造三角形用等面积法是解题的关键．延长交延长线于，当这个圆是的内切圆时，此圆的面积最大，构造三角形，通过等面积法求解即可．
【详解】解：延长交延长线于
，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
设这个圆的圆心为，与分别相切于，
，
，
，
，
，
即，
解得，
故选：B．
27．（2024·江苏淮安·模拟预测）在中，，，点P在射线上，过P分别作所在的直线于点F，作所在的直线于点H，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，添加合适的辅助线，构造四点共圆是解题的关键．连接，结合题意可知、、、四点共圆，为直径，取中点为，即点为圆心，进而可知，由垂线段最短，当时，最小，则取得最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴、、、四点共圆，为直径，取中点为，即点为圆心，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点最小时，取得最小值，
由垂线段最短，当时，最小，则取得最小值，
此时，
∴的最小值为，
故答案为：．
28．（2021·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时 ．
【答案】
【分析】首先证明，从而得到，，，再证明△ADF为等边三角形得到△CDF≌△BAF从而求出FC的长，E点关于AD的对称点E ，连接B E 与AD交于H，求出BH的长即可得到答案.
【详解】解：设BD与AF交于M，AB=a，则AD=
∵四边形ADCD是矩形
∴∠DAB=90°，
∴，∠ABD=60°
∴△ABE，△CDE都是等边三角形
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a
∵将△ABD沿BD折叠，A的对应点为F
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=
∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2
∴，
∴
∵在矩形ABCD中，BC∥AB
∴
∴即
∴
∴，，
∵∠GBM+ABM=90°=∠BAM+∠ABM
∴∠BAM=∠GBM=30°
∴
∴
又∵∠ADF=90°-∠BAM=60°
∴△ADF为等边三角形
∴FD=FA，∠ADF=60°
∴∠CDF=30°
∴△CDF≌△BAF
∴FC=BF=
如图作E点关于AD的对称点E ，连接B E 与AD交于H，连接EH，此时EH+BH的值最小
∴EN= E N
∵∠BAD=END=90°，E为BD的中点
∴AB∥EE
∴EN为三角形ABD的中位线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
29．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可．
【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点，
则有，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线顶点的坐标为，
∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小，
如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，，
设直线的解析式为，
将点和点代入，
可得，解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
且，
∴此时的周长；
同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，
设直线的解析式为，
将点和点代入，
可得，解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
且，
∴此时的周长；
∵，
∴，
∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．
30．（2024·江苏盐城·一模）在中，，，D为边BC上一点，当最大时，连接AD并延长至点E，使，则的最大值为 ．
【答案】32
【分析】以为圆心，为半径画圆，得到当时，最大；设，则，过点作于点，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
【详解】解：根据，，两条边为定值，以为圆心，为半径画圆，如图，
由图形可知，当与相切时，最大，此时．
设，则．
过点作于点，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，有最大值为32．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用圆的有关性质得到是解题的关键．
题型六 选填压轴题之相似问题
31．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．
根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可．
【详解】解：∵平分交于点E，且，
，
∴，
又∵，
∴，
设，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：D．
32．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，则，，，如图，作于，于，证明，则，，证明，则，设，，则，，，，，证明，则，即，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
如图，作于，于，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切是解题的关键．
33．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可．
【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点，
则：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中点，连接，则：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
∵，
∴长的最大值为8；
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
34．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理；添加辅助线，证明是解题的关键；首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数．
【详解】解：延长，交于点，
，
，
，，
，即，
，
，，
为中点，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
．
35．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点在上，，若、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值 ．
【答案】
【分析】过点作于点．利用相似三角形的性质求出，设，则，，，求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接，则，由，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中，
作点关于轴的对称点，连接，
，，
，
，当、M、J共线时取等号，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，两点坐标距离公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
36．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】此题是一个综合性很强的题目，主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是做辅助线构造．
作，且，连接，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题．
【详解】解：，则，
设，
由，可得，
∴，
作，且，
连接，

由可知，，
∵，即，
∴，
∴，即，则：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
，
，
，
由题意可知，，
当、、在同一直线上时取等号，即：的最大值为：，
故答案为：．
题型七 选填压轴题之三角函数问题
37．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，圆的定义，正弦函数．由，知的轨迹是以为圆心，4为半径的，故当在线段上时，最小，过作于，可得，，根据，即得，从而可得答案．
【详解】，
的轨迹是以为圆心，4为半径的，
当在线段上时，最小，过作于，如图：
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
38．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，，
，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D ．
39．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
40．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：过点C作，

∵，，
∴，
过点B作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
需使最小，显然要使得和越小越好，
∴显然点F在线段的之间，
设，则，
∴，
∴当时取得最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．
41．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键．
连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得．
【详解】解：连接，并延长交于点Q，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况，
则点M，点N分别是边上的中点，
∴点E为等边的重心，
∴，Q为中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
42．（2024·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，作的角平分线交于，过点作于，由题意可得，，，由得到，再证明，得到，，进而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则，

∵，，，
∴，，，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
若，则，
∴不符合题意，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型八 选填压轴题综合
43．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，直线与圆的位置关系，求的最大值，就是求的最大值是解答本题的关键．
根据题意先求出长，为直径的圆的变径长，分析发现点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，设直线，，整理得：，直线与轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，取到最大值，画出相切时的示意图，利用得到，解出值即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
把、代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
、，
，
线段的中点坐标为，
以为斜边在右上方作，点，
点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，
∵以为斜边在右上方作．
∴点C在第一象限，
，，
设直线，，
整理得：，
求的最大值，就是求的最大值，
直线与轴的交点坐标为，
当直线与圆相切时，取到最大值，此时t取得最大值，如图所示，过点B作，
∵直线的解析式为，
∴
∵直线与圆相切
∴
∵
∴，
∴四边形为矩形，
∴
∴
∵，
∴，
，
∵，
∴，，
∴
，，
，
解得，
的最大值是9．
故答案为：9．
44．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且，则即，从而把转化为，过点C作于点H，结合，设，则，得到，继而得到，即，把的最大值转化为的最大值，根据圆的性质解答即可．
【详解】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且，
则即，
∴，
过点C作于点H，
∵，设，则，
∴，
∴，
即，
∵直径是圆中最大的弦，
∴经过圆心O时，的值是最大的，
∵直线与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质，熟练掌握直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质是解题的关键．
45．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，
如图，连接，
由勾股定理得，，
如图，在上取点使，则，连接，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
如图，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
46．（2024·江苏连云港·三模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，三角函数，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键．
取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解．
【详解】解：取中点，连接，如图，
∵，，
∴，
即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴，
在中，，
∴的长最小是，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点必刷题03 图形的变化类选填压轴题（翻折、旋转、平移、最值等）
题型一 选填压轴题之翻折问题 2
题型二 选填压轴题之旋转问题 3
题型三 选填压轴题之平移问题 5
题型四 选填压轴题之轴对称问题 8
题型五 选填压轴题之最值问题（含隐圆） 10
题型六 选填压轴题之相似问题 11
题型七 选填压轴题之三角函数问题 13
题型八 选填压轴题综合 15
题型一 选填压轴题之翻折问题
1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ．
4．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ．
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
6．（2024·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ．

题型二 选填压轴题之旋转问题
7．（2024·安徽淮南·二模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点E是三角形内部一点，且满足，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ．
11．（2024·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．
12．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知与中，，，，将绕着点旋转，连接、、，分别取，，的中点，，，连接，在旋转一周的过程中，面积的最大值是 ．
题型三 选填压轴题之平移问题
13．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）
A．9 B．6 C． D．
14．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
15．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ．
16．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．

17．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．

18．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将向右平移到的位置，点依次与点对应点，是的中点，若反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
题型四 选填压轴题之轴对称问题
19．（2024·江苏扬州·三模）如图，在正方形中，，点E是边的中点，点P是直线上的动点（点P不与点C重合），将沿所在的直线翻折，得到，作点F关于对角线的对称点，连接，，若为等腰三角形时，则线段的长为（ ）
A．1 B．1或4 C．1或2 D．1或2或4
20．（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
21．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ．
23．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
24．（2024·江苏苏州·二模）如图，在四边形中，，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为，若，，则

题型五 选填压轴题之最值问题（含隐圆）
25．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．
26．（2024·江苏扬州·一模）如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）

A． B． C． D．
27．（2024·江苏淮安·模拟预测）在中，，，点P在射线上，过P分别作所在的直线于点F，作所在的直线于点H，连接，则的最小值为 ．
28．（2021·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时 ．
29．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
30．（2024·江苏盐城·一模）在中，，，D为边BC上一点，当最大时，连接AD并延长至点E，使，则的最大值为 ．
题型六 选填压轴题之相似问题
31．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（ ）
A． B． C．1 D．
32．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
34．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为 ．
35．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点在上，，若、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值 ．
36．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．

题型七 选填压轴题之三角函数问题
37．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）

A． B． C． D．
38．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
40．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．10
41．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ．
42．（2024·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为 ．

题型八 选填压轴题综合
43．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为 ．
44．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ．
45．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
46．（2024·江苏连云港·三模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ．
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