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热点必刷题01 新定义与规律性探究题
题型一 数字类规律探索问题 2
题型二 图形类规律探索问题 3
题型三 数与式中新定义问题 6
题型四 方程与不等式中新定义问题 7
题型五 函数类新定义问题 9
题型六 四边形中新定义问题 10
题型七 圆中新定义问题 13
题型八 相似三角形新定义问题 16
题型九 三角函数新定义问题 19
题型一 数字类规律探索问题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏淮安·二模）将正整数按照如图规律排列：
第一层：
第二层：
第三层：
第四层：
······
在这个数字宝塔中，请问在第（ ）层．
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·一模）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ．

5．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，，
(1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
题型二 图形类规律探索问题
6．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点；则根据图示规律点A2025的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏镇江·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．

8．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个．
(1)填表：
n 1 2 3 4 …
s
(2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式．
(3)第10个图形中的正方体木块有多少个？
(4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由．
9．（2024·江苏连云港·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
(1)图1的彩色正方形有：；
图2的彩色正方形有：；
图3的彩色正方形有：；
图4的彩色正方形有：…；
图n的彩色正方形有：
(2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个．
(3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数．
10．（2024·江苏宿迁·一模）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
题型三 数与式中新定义问题
11．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
12．（2024·江苏苏州·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
13．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
14．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
15．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N 分式”．
例如.分式 与 互为“三 分式”．
(1)分式 与_____互为“六 分式”；
(2)若分式 与互为“一 分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五 分式”．
题型四 方程与不等式中新定义问题
16．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　）
A．
B．
C．，
D． ，，
17．（2024·江苏泰州·一模）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如4*2，因为4>2，所以4*2=42－4×2=8． 若a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则a*b= ．
18、（2024·江苏扬州·一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
19．（2024·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义:“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”.
例如:三点坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”.
(1)已知点.
①若三点的“矩面积”为12，求点的坐标;
②求三点的“矩面积”的最小值.
(2)已知点，其中.若三点的“矩面积”为8，求的取值范围.
20．（2024·江苏南京·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
题型五 函数类新定义问题
21．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·江苏徐州·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图象上，那么我们称点P为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数n，恒有两个“好点”，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·江苏苏州宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ．
24．（2024·江苏南京·模拟预测）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
(1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由：
(2)设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由．
25．（2024·江苏盐城·三模）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
题型六 四边形中新定义问题
26．（2024·江苏苏州·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·江苏无锡·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是 ；
如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为 ．
28．（2025·江苏常州·一模）综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
【问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
29．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形．
(1)如图1，中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；

(2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；

(3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．

30．（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上且，是否存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型七 圆中新定义问题
31．（2023·江苏苏州·二模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .

32．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为．
(1)在中，下列说法：
①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形；
②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形；
③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是___________．
(2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点．
①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线．
②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．
33．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长．
(2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长．
34．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：在平面内，将点关于过点的任意一条直线对称后得到点，称点为点关于点的线对称点．
理解：在直角坐标系中，已知点．
（1）点关于直线对称的点的坐标为________；
（2）若点、关于直线对称，则与的数量关系为________；
（3）下列为点关于原点的线对称点是________．
①；②；③；④；
运用：
（1）已知直线经过点，当满足什么条件时，该直线上始终存在点关于原点的线对称点；
（2）已知抛物线，问：该抛物线上是否存在点关于的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
35．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．

(1)若是“近直角三角形”，，，则　　度；
(2)如图1，在中，，．若是的平分线，
①求证：是“近直角三角形”；
②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长．
题型八 相似三角形新定义问题
36．（2024·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为，则称这个三角形为互融三角形．在中，，，，点是延长线上一点．若是“互融三角形”，则的长为 ．
37．（2024·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时， ．（结果保留根号）
38．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．

(1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可）
(2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”；
(3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）．
39．（2024·江苏泰州·一模）【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
40．（2024·江苏盐城·一模）定义点切圆：把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线外有一点，经过点且与直线相切于点，则称是点与直线的点切圆．

阅读以上材料，解决问题；
已知直线外有一点，，，，是点与直线的点切圆．

(1)如图2，如果圆心在线段上，那么的半径长是______（直接写出答案）：
(2)如图3，以为坐标原点、为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点在第一象限，设圆心的坐标是．
①求关于的函数解析式：
②点是①中所求函数图象上对称轴右边的一点，过点作，垂足是，连接，，若中有一个角等于的2倍，求点的坐标．
题型九 三角函数新定义问题
41．（2023·江苏苏州·一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
42．（2023·江苏盐城·一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的长为 ．
43．（2024·江苏常州·一模）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ．
44．（2023·江苏宿迁·模拟预测）数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决：
(1)如图1，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1，已知A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，且以、为边的四边形是对等四边形，则顶点D的坐标为______；
(2)如图2，在圆内接四边形中，是的直径，．求证：四边形是对等四边形；
(3)如图3，在中，，，，点A为中点，动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动．设运动时间为t秒，若四边形是对等四边形时，求t的值．
45．（2023·江苏泰州·三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点必刷题01 新定义与规律性探究题
题型一 数字类规律探索问题 2
题型二 图形类规律探索问题 6
题型三 数与式中新定义问题 15
题型四 方程与不等式中新定义问题 23
题型五 函数类新定义问题 29
题型六 四边形中新定义问题 36
题型七 圆中新定义问题 53
题型八 相似三角形新定义问题 73
题型九 三角函数新定义问题 90
题型一 数字类规律探索问题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】每行的最后一个数是这个行的行数的平方，第行的数字的个数是，所以2024在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2024，进而得出2024是第85个数据，从而得出答案．
【详解】解：每行的最后一个数是这个行的行数的平方，
第行的数字的个数是，
，
所以2024在第45行，
，
行最后一个数字是2025，
第45行有个数字，从2025往前数3个数据得到2024，从而得出2024是第86个数据，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化．解题的关键是确定第45行的最后一个数字和第45行的第一个数字．
2．（2024·江苏淮安·二模）将正整数按照如图规律排列：
第一层：
第二层：
第三层：
第四层：
······
在这个数字宝塔中，请问在第（ ）层．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可知第n行有2n-1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n-1）=n2个，进而根据442，452与2024大小关系进而判断出2024所在的层数．
【详解】解：依题意可知第n行有2n-1个数字，前n行的数字个数为1+3+5++（2n-1）=n2个，
∵442=1836，452=2025，且1836＜2024，2025＞2024，
∴2024在第45层．
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类的规律题，解题的关键是求得前n行的数字个数．
3．（2024·江苏南京·一模）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.
4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ．

【答案】64
【分析】根据题意规律，可知各系数之和的变化特点，从而得到多项式（取整数）的展开式的各项系数之和，据此解答．
【详解】解：当＝6时，各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1，
那么的展开式中各项的系数的和为1+6+15+20+15+6+1＝64，
故答案为：64．
【点睛】本题考查杨辉三角的展开式的系数规律，能够运用规律解决问题是解题关键．
5．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，，
(1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)推理说明见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据前4个等式，写出结果即可；
（2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）证明等式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）解：推理如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
题型二 图形类规律探索问题
6．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点；则根据图示规律点A2025的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次求出点为正整数）的坐标，发现规律：点的坐标为，为正整数），，结合图象，则，即可解决问题．本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
，
由此可知，点的坐标为，为正整数），
又∵，
∴，
观察图象,得出，为正整数
即
∴点的横坐标为，纵坐标为0
∴点的坐标为．
故选：B．
7．（2024·江苏镇江·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．

【答案】
【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是内切圆的圆心，，，，
，
设，
，，
，
解得：，
，
将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，
由图可得的坐标为：，即，
设的横坐标为，
根据切线长定理可得：，
解得：，
，
的坐标为，即，
每滚动3次为一个循环，
，
第2023次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键．
8．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个．
(1)填表：
n 1 2 3 4 …
s
(2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式．
(3)第10个图形中的正方体木块有多少个？
(4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1；6；15；28
(2)
(3)第10个图形中的正方体木块有190个
(4)存在，它是第30个图形
【分析】（1）由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…由此规律得出第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个，进一步代入求得答案即可；
（2）把代入函数解析式即可得到结论；
（3）把代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；
第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；
第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个；
第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个；
（2）解：第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个，
二次函数的表达式为；
（3）解：当时，，
答：第10个图形中的正方体木块有190个；
（4）解：当时，即，
解得：（舍去），，
存在，它是第30个图形．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键．
9．（2024·江苏连云港·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
(1)图1的彩色正方形有：；
图2的彩色正方形有：；
图3的彩色正方形有：；
图4的彩色正方形有：…；
图n的彩色正方形有：
(2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个．
(3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数．
【答案】(1)
(2)
(3)图n中有66个白色正方形
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程：
（1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可；
（2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可；
（3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可；
（4）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：图1的彩色正方形有：；
图2的彩色正方形有：；
图3的彩色正方形有：；
图4的彩色正方形有：，
……，
以此类推可知，图n的彩色正方形有，
故答案为：；
（2）解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；
图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：
图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个；
……，
以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个，
∴图n 的白色正方形有个，
故答案为：；
（3）解：图1中，等边三角形的个数为2个；
图2中，等边三角形的个数为3个：
图3 中，等边三角形的个数为4个；
图4中，等边三角形的个数为5个；
……，
以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个，
∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，
∴，
解得或舍，
当时，，
∴图n 中白色正方形的个数为66个．
10．（2024·江苏宿迁·一模）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
【答案】(1)
(2)＝
(3)
【分析】（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得；
（2）由（1）中规律可知＝；
（3）将wn+1＝减去wn＝即可得．
【详解】（1）解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，
故答案为：1+3+32+33；
（2）解：由（1）知，图n中挖去三角形的个数wn＝；
答：wn＝
（3）解：∵wn+1＝，wn＝
∴wn+1﹣wn
＝（）﹣（）
＝3n．
答：wn+1﹣wn＝3n．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是掌握对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
题型三 数与式中新定义问题
11．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
12．（2024·江苏苏州·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ．
【答案】4160
【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．
【详解】由题意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴
∴
故答案为：4160．
13．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组：
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
， 则有方程组，
解得，
∴．
14．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高”
(1)正比例函数的“单位铅直高”______；
(2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值；
(3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)当时，有最大值；当时，t没有最大值
【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解；
依据题意，可以列方程，进而可以得解；
由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解；
依据题意列出关系式，通过法变化即可得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，，
正比例函数的“单位铅直高”
故答案为：
（2）解：由题意得，，
或
经检验，或是方程的解．
或
（3）解：由题意得，
，
又，，
的最小值为
（4）解：由题意，，
，且对于关于m的一元二次方程有解，
或
当时，有最大值；当时，t没有最大值．
【点睛】本题主要考查了新定义问题的应用，解题时要能读懂题意，学会转化．
15．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N 分式”．
例如.分式 与 互为“三 分式”．
(1)分式 与_____互为“六 分式”；
(2)若分式 与互为“一 分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五 分式”．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据新定义，用即可求解；
（2）根据定义可得，根据分式的加减进行计算，即可求解；
（3）根据题意首先利用倒数关系，将、 进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断．
【详解】（1）解：依题意，，
∴分式 与互为“六 分式”，
故答案为：；
（2）解：∵分式 与互为“一 分式”
∴
即
∴，
即，
∵a，b为正数
∴
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴
∴
∴分式 与 互为“五 分式
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
题型四 方程与不等式中新定义问题
16．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　）
A．
B．
C．，
D． ，，
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键．
根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
当时，，方程没有实数解；
当时，，方程没有实数解；
∴方程的解为0，
故选：B．
17．（2024·江苏泰州·一模）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如4*2，因为4>2，所以4*2=42－4×2=8． 若a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则a*b= ．
【答案】或/或12
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，得到，再根据新定义运算，分情况求解即可．
【详解】解：由方程可得，解得或，
当，时，，；
当，时，，；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及实数新定义运算，解题的关键是正确求解一元二次方程，理解新定义运算规则以及分类讨论的思想求解．
18、（2024·江苏扬州·一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【答案】（1）是，全整数为；（2）全整数为
【分析】（1）本题通过求解一元二次方程的根，判断它的根是否为整数以确定该方程是否是“全整方程”，继而带入题目所给公式求解“全整数”．
（2）本题可通过m的取值范围确定根的判别式范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“全整数”公式求解本题．
【详解】（1）是，理由：
∵解方程x2﹣x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴两个根均为整数，满足“全整方程”定义，
∴方程为“全整方程”，
∴T（a，b，c）＝；
（2）∵一元二次方程，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵关于x的一元二次方程是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方数，
即4m+29是完全平方数，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m为整数，
∴求解4m+29＝64，得m＝（舍去）；
求解4m+29＝81，得m＝13；
求解4m+29＝100，得m＝（舍去），
即原方程为x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）＝．
【点睛】本题考查一元二次方程，并在此基础上进行拓展延伸，解答“新定义”类型题，需要了解题目背后的常规考点，按照该考点常用考法求解该类型题目，求解一元二次方程时需要根据不同类型题目选择合适的解题方法，十字相乘法较为常用．
19．（2024·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义:“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”.
例如:三点坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”.
(1)已知点.
①若三点的“矩面积”为12，求点的坐标;
②求三点的“矩面积”的最小值.
(2)已知点，其中.若三点的“矩面积”为8，求的取值范围.
【答案】(1)①时，；时，；②；(2) 0＜m≤.
【分析】（1）①首先由题意可得：a=4，然后分别从：当t＞2时，h=t-1，当t＜1时，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）由E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，可得a=4，h=2，即可得．继而求得m的取值范围．
【详解】（1）①由题意：a=4．
当t＞2时，h=t-1，
则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h=2-t，
则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
故答案为4；
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a=4，h=2，
∴．
∴0≤m≤．
∵m＞0，
∴0＜m≤．
【点睛】此题考查了不等式组的应用．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解a与h的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
20．（2024·江苏南京·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
【答案】(1)
(2)或
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【详解】（1）解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
题型五 函数类新定义问题
21．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m，
∴点B的坐标为，
∵点A的坐标为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当取得最小值时，应满足的条件是，
故选：C
22．（2024·江苏徐州·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图象上，那么我们称点P为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数n，恒有两个“好点”，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数图象和性质，以及根于系数的关系，数量掌握根与系数关系是求解的关键． 由“好点”的坐标可得，可得，，整理得：，根据有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根，，根据对于任意常数，恒有两个“好点”，可得关于的一元二次方程无解，，即可求出的取值范围．
【详解】解：令，
有，整理得：
，
有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根
有，
即，
∵对于任意常数，恒有两个好点，
∴关于的一元二次方程无解，
∴
解得：，
故选：D．
23．（2025·江苏苏州宁波·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，如图，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，如图，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案．
【详解】解：如图，∵且，
∴，，
∴在正方形内，包括边界；
当一次函数过时，
，
解得：，
如图，当一次函数过时，
∴，
解得：，
∵，
∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为
且；
故答案为：且
24．（2024·江苏南京·模拟预测）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
(1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由：
(2)设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)是；理由见解析
(2)① ②存在；，
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
（1）把，代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点代入“组合函数”，整理得，把代入“组合函数”，消去，把代入解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：是函数，的“组合函数”，
理由：由函数，的“组合函数”为：，
把，代入上式，得，
函数是函数，的“组合函数”；
（2）解：①解方程组
得．
函数与的图像相交于点，
点的坐标为，
、的“组合函数”为，
，
，点在函数、的“组合函数”图像的上方．
，整理，得，
，
解得：，
的取值范围为；
②存在，理由如下：
函数的“组合函数”图像经过点．
将点坐标代入"组合函数"，得
，
，
，．
将代入，
把代入，得
解得：，
设，则，
．
对于不等于的任意实数，存在“组合函数”图像与轴交点的位置不变．
25．（2024·江苏盐城·三模）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值．
【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用．
初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论；
理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论；
知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值．
【详解】解：初步理解：∵，
∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点，
∴一次函数的永固点的坐标是，
故答案为：；
理解应用：，
当或时，，
∴无论m值如何变化，恒过定点和，
∴，，
故答案为：，；
知识迁移：为定值．
∵，
∴顶点，，
作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，
则，，，
分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则

∴，，
∴，
∴，
即．
题型六 四边形中新定义问题
26．（2024·江苏苏州·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理．
连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则
，在中，根据构造方程，求解得到，从而．
【详解】连接，
∵矩形是黄金矩形，，，
∴设，，
∵矩形是黄金矩形，，
∴，
∴，
∵四边形是四边形翻折得到，
∴，，
，
∴，
∵在矩形中，，
又
∴，
∴，
∴，
设，则
，
∵在中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
故选：D
27．（2023·江苏无锡·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是 ；
如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答．
【详解】解：如图①，延长交于点H，
∵四边形与四边形都为正方形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是“等垂四边形”；
如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接
∴
∴．
∴
∴,
∴．
延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，
则，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
28．（2025·江苏常州·一模）综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
【问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
【答案】（），；（）；（）或
【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解；
（）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解；
（）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时，
分别画出图形解答即可求解．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过点作于点，
由（）知，，
∴，
∵，
∴，
同理（）可得，，
∴，
由折叠的性质可知四边形为正方形，
连接，则，，
分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴；
②如图，当点的对应点在的下方时，
同理可得，
∴；
综上可得，的面积为或．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键．
29．（2024·江苏扬州·二模）定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形．
(1)如图1，中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；

(2)如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；

(3)如图3，准矩形中，且为锐角，，当长最大时，求的值．

【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，即可判定四边形是准矩形；
（2）由四边形为平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出，即可得证；
（3）过点作，，则四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质求出，，，设根据相似三角形的性质求出，再根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
则四边形是准矩形，
故答案为：是；
（2）证明：四边形为平行四边形，
，且．
根据折叠的性质得，，，
，
，，，
，
四边形是准矩形；
（3）解：如图3，过点作，，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
，，，
设
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
长最大时，的值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、准矩形的判定、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟记平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．
30．（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上且，是否存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)证明见详解；
(3)或
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可；
（2）证明，得到，由余角的性质可证，可得结论；
（3）根据“双直四边形”的定义分当时，当时，当时三种情况讨论，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等．
故①不正确．
∵“双直四边形”的对角线互相垂直，
∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半．
故②正确．
中心对称的四边形是平行四边形，再根据“双直四边形”的定义得到四边形是正方形．
故③正确；
故答案为：②③；
（2）证明：设与交于点，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为“双直四边形”．
（3）解：设如图②，设与交于点，
点，，
，，
，，
，
，
，
点，
四边形是“双直四边形”，
，
，
，即点是的中点，
点，，
点，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表示为：，
当，点的横坐标为，
，
点，
当时，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
点，
当时，如图③，过点作于点，于点，
是的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，
设，则，，
即点坐标为，
代入，
得，
为，
综上所述，点的坐标或
题型七 圆中新定义问题
31．（2023·江苏苏州·二模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .

【答案】①③/③①
【分析】①设等边三角形的边长为，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明是奇异三角形，只需证即可；④由③可得是奇异三角形，所以，当是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论．
【详解】解：设等边三角形的边长为，
则，满足奇异三角形的定义，
等边三角形一定是奇异三角形，
故①正确；
在中，，
，
，，
若是奇异三角形，一定有，
，
，得．
，
，
，
故②错误；
在中，，
是的直径，
，
在中，；
在中，．
是半圆的中点，
，
，
，
又，，
．
是奇异三角形，
故③正确；
由③可得是奇异三角形，
．
当是直角三角形时，
由②可得或，
（）当时，
，即，
，
，
∴．
（）当时，
，即，
，
，
，
的度数为或，
故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理；圆周角定理及推论；直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键．
32．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为．
(1)在中，下列说法：
①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形；
②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形；
③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是___________．
(2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点．
①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线．
②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．
【答案】(1)②③
(2)①见解析；②（）
【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可．
（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得，由相似三角形的性质可得，根据切线的判定定理可得答案；②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．分两种情况考虑：当时，设，根据，可得，根据，得，根据，得，得；当时，y不存在．
【详解】（1）解：①错误．点B在射线上的射影值小于1时，可以是钝角，故不一定是锐角三角形；
②正确．点B在射线上的射影值等于1时，，是直角三角形；
③正确．点B在射线上的射影值大于1时，是钝角，故是钝角三角形；
故答案为：②③．
（2）解：①如图1，作于点H，
∵点B在射线上的射影值为，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．
过点D作，作，

当时，如图2，
设，
∵D为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴①，
∵，
∴②，
①②消去h，得；
如图3，当点N与点O重合时，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴；
当时，
点B与点A重合，点D与点M重合，点D在中点，
∴，
∴；
当时，不存在，
∴y不存在．
综上所述，（）．
【点睛】本题考查新定义——射影值．熟练掌握射影值的定义，相似三角形的判定和性质，圆切线判定，勾股定理，面积法求三角形高，分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题，添加辅助线，是解题的关键．
33．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
(1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长．
(2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长．
【答案】(1)四边形的面积为，周长为；
(2)见解析；
(3)线段的长是．
【分析】（1）由四边形是对角互余四边形，，得，则，可求得， ，于是可求得，；
（2）延长交于点E，连接，由是的直径，得，而，则，即可证明四边形是“对角互余四边形”；
（3）作于点F，使点F与点A在直线的异侧，由，根据勾股定理得，可证明，得，，所以，由，得，而，则，因为，所以，连接，证明，可求得．
【详解】（1）解：如图1，
∵四边形是对角互余四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，周长为；
（2）证明：如图2，延长交于点E，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是“对角互余四边形”；
（3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长是．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
34．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：在平面内，将点关于过点的任意一条直线对称后得到点，称点为点关于点的线对称点．
理解：在直角坐标系中，已知点．
（1）点关于直线对称的点的坐标为________；
（2）若点、关于直线对称，则与的数量关系为________；
（3）下列为点关于原点的线对称点是________．
①；②；③；④；
运用：
（1）已知直线经过点，当满足什么条件时，该直线上始终存在点关于原点的线对称点；
（2）已知抛物线，问：该抛物线上是否存在点关于的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】理解：（1）；（2）；（3）①②③；运用（1）；（2） 或．
【分析】理解：（1）画出图形，判断对称点的位置，再利用垂直平分线的性质可得答案；
（2）画出图形，利用线段的垂直平分线的性质可得答案；
（3）如图，由，，取的中点，连接，可得，可得，证明，可得直线是线段的垂直平分线；故③符合题意；② 符合题意，④不符合题意；而①显然符合题意；从而可得答案；
运用：
（1）如图，设为点关于原点的线对称点，则，在以为圆心，半径为2的圆上，当为的切线时，切点为，与轴的交点为，则，，，证明，求解；再求解一次函数的解析式 即可得到答案；
（2）如图，记，若该抛物线上存 在点关于的线对称点，则，设，可得，再解方程即可．
【详解】解：（1）如图，，关于直线对称，
，
在轴上，，
；
故答案为：；
（2）如图，
点、关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线，
；
故答案为：；
（3）如图，描点，
，，取的中点，连接，
，
，
，，
，
，
直线是线段的垂直平分线；
故③符合题意；
同理可得：② 符合题意，
④不符合题意；
而①显然符合题意；
故①②③符合题意；
故答案为：①②③；
运用：（1）如图，设为点关于原点的线对称点，
则，
在以为圆心，半径为2的圆上，
当为的切线时，切点为，与轴的交点为，
则，，，
，
即，
可得；
，
直线为，
，
解得：，
直线与圆有交点，
；
（2）如图，记，若该抛物线上存在点关于的线对称点，
，
设，
，
解得：，
此时，
对称点的坐标为： 或．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，二次函数的性质，圆的性质，切线的性质，勾股定理的应用，新定义的含义，理解新定义再确定合适的方法解题是关键．
35．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．

(1)若是“近直角三角形”，，，则　　度；
(2)如图1，在中，，．若是的平分线，
①求证：是“近直角三角形”；
②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长．
【答案】(1)20
(2)①详见解析；②存在，
(3)或．
【分析】（1）根据题意可得不可能是或，当时，，，不成立；故时，，，由此即可得到答案；
（2）①由是的平分线得到，再由在中，，得到，则，由此即可证明；
②当是近直角三角形，得到或，当时，可证得此时D、E重合不符合题意；当时，得到，则，可证明，得到，即，则，；
（3）分两种情况：当时，是近直角三角形，当时，是近直角三角形，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴不可能是或，
当时，，
∴，
∴不成立；
当时，，
∵，
∴，
∴
故答案为：20；
（2）①证明：如图1所示，∵是的平分线，
∴ ，
∵在中，，
∴，
∴，
∴是“近直角三角形”；
②解：如图所示，假设在边上存在点E（异于点D），使得是“近直角三角形”
∵在中，，
∴，
∵是近直角三角形，
∴或，
当时，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴此时D、E重合不符合题意；
当时，
，
∴，
又∵，
则，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，由（2）①可知，当时，是近直角三角形，

∴由垂径定理得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，由（2）②可知当时，是近直角三角形，
过点A作交于点H，交于点G，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴为线段的垂直平分线，
∵是圆的直径，
∴G为圆心，，
∴
∴，
∴
∴，
∴，
设，则（圆的半径），
∵点H是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴
在中，，
∴综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够正确理解题意和掌握相似三角形的性质与判定．
题型八 相似三角形新定义问题
36．（2024·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为，则称这个三角形为互融三角形．在中，，，，点是延长线上一点．若是“互融三角形”，则的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，分两种情形：当时，则，当时，则，分别进行计算，依据定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：是“互融三角形”，
当时，则，
，
由勾股定理得，，
，
当时，则，
，
，
，
设，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：3或．
37．（2024·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时， ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点B作BD平分∠ABC交AC于D，设BC=x，AB=y；由三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质求得DA=DB=BC=x，则CD= y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解关于t的方程即可解答；
【详解】解：由题意作图如下：过点B作BD平分∠ABC交AC于D，
设BC=x，AB=y，
△ABC中：∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
BD平分∠ABC，则∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，
△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，
∴BC=BD=x，
∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，
∴DA=DB=x，
∴CD=AC-AD=y-x，
△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴，
令t=，则，解得：t=，
经检验t=符合题意；
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识；正确作出辅助线是解题关键．
38．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．

(1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可）
(2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”；
(3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形．
（1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可；
（2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明．
（3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；
【详解】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：

（2）∵是“型三角形”，
，
设，则，
∵，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴是“型三角形”．
（3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；

理由：∵是“型三角形”（为正整数），，
，
设，则，
∵，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴是“型三角形”．
39．（2024·江苏泰州·一模）【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】定义理解：；拓展提升：（1）；（2）①见解析；②是定值，
【分析】定义理解：由倍对角四边形的定义，结合四边形内角和可以推出的度数；
（1）方法一：根据倍对角四边形的定义，结合等腰三角形的性质，四边形内角和证明出是等边三角形，再证和是等边三角形，从而得到,
，从而表示出；
方法二：延长、交于点H，证、是等边三角形，再证也是等边三角形，从而变出从而表示出；
（2）①由定义理解，可知，，结合为等边三角形，可以知道，，再结合是的外角，可以得到
，得证；
②延长、交于点H，可证，结合，可以得到，从而证明出和相似，根据相似三角形对应边成比例，得到，从而算出定值．
【详解】定义理解：
解：，
又，，
，
，
．
（1）方法一：，
，
又四边形BDEC是倍对角四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，是倍角，
，
，
是等边三角形，
，
，
等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
方法二：延长、交于点H，易证、是等边三角形，
，，
也是等边三角形，
，
．
（2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，，
，
等边三角形，
，
，
，，
又，
，
．
②延长、交于点H，同①可证：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了倍对角四边形的定义，四边形的内角和公式，等边三角形的证明与性质，等角对等边，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
40．（2024·江苏盐城·一模）定义点切圆：把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线外有一点，经过点且与直线相切于点，则称是点与直线的点切圆．

阅读以上材料，解决问题；
已知直线外有一点，，，，是点与直线的点切圆．

(1)如图2，如果圆心在线段上，那么的半径长是______（直接写出答案）：
(2)如图3，以为坐标原点、为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点在第一象限，设圆心的坐标是．
①求关于的函数解析式：
②点是①中所求函数图象上对称轴右边的一点，过点作，垂足是，连接，，若中有一个角等于的2倍，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】（1）当点在上时（图中，作轴于点，则，可证得，从而，从而，从而求得；当点在的延长线上，同样的方法得出结果；
（2）①根据圆心到的距离等于点到轴的距离得出，化简得出结果；②先运用解直角三角形的相关性质得出，证明，且结合勾股定理得出，结合矩形性质得出，然后分类讨论，即当点B在对称轴右侧P点上方时，或当点B在对称轴右侧P点下方时，根据相似三角形的性质分别列式代入数值，运用公式法解方程，结合“点是①中所求函数图象上对称轴右边的一点”这个条件进行刷选，即可作答．
【详解】（1）解：如图1，

作轴于点，
则，
轴，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①由题意得，
圆心到的距离等于点到轴的距离，
，
；
即；
②过点P作，使，
∴，
在中，，
∴
∵
∴；
过H作，垂足为M，

∴
∵
∴
∴
∴，
则
即
∴
∴
可得，
过H作，垂足为N，
又∵四边形为矩形，
∴，
（1）当点B在对称轴右侧P点上方时，

当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
则
∴
当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
则
∴；
（2）当点B在对称轴右侧P点下方时，
当时，
设，
则
即
解得 （不在对称轴的右边），，
∴；
当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
把代入，得出
∴．
综上：满足题意的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及解直角三角形的相关性质以及相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，勾股定理，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型九 三角函数新定义问题
41．（2023·江苏苏州·一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答．
【详解】解：如图，作，垂足为H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
42．（2023·江苏盐城·一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，则的长为 ．
【答案】1或或3
【分析】分；；；四种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分；；；四种情况求解：
①当时，则，
∴，
∴；
②当时，同①可得；
③当时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
④当时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为1或或3；
故答案为1或或3．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，正切等知识，解题的关键在于正确理解“倍角三角形”的概念，并分类讨论．
43．（2024·江苏常州·一模）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ．
【答案】
【分析】要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45°，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，如图所示，
∵，
∴设，，
∵，互为半余角，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
故答案为：
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
44．（2023·江苏宿迁·模拟预测）数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决：
(1)如图1，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1，已知A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，且以、为边的四边形是对等四边形，则顶点D的坐标为______；
(2)如图2，在圆内接四边形中，是的直径，．求证：四边形是对等四边形；
(3)如图3，在中，，，，点A为中点，动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动．设运动时间为t秒，若四边形是对等四边形时，求t的值．
【答案】(1)或或；
(2)见解析
(3)若四边形是对等四边形时， t的值为或或．
【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可解题；
（2）根据对等四边形的定义，利用弧、弦、圆心角的关系，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况讨论：①若；②若，此时点D在、的位置；利用勾股定理和解直角三角形，求出相关相关线段的长度，即可解答．
【详解】（1）解：由有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
分以下两种情况讨论，
当时，如下图所示：
由图知，点D的坐标为或；
当时，如图所示：
由图知，点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或或；
故答案为：或或．
（2）证明：，
，
，
，
，
由题知，
四边形是对等四边形．
（3）解：在中，，，，
，
，
点A为中点，
，
四边形是对等四边形，
分以下两种情况讨论，
①若，
，
，
动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动．
秒；
②若，
过点A分别作，，垂足为E，F，
，
设，则，
，解得或（舍去），
，，
当在点处时，，
，
秒；
当在点处时，同理可得，
秒；
综上所述，若四边形是对等四边形时， t的值为或或．
【点睛】本题主要考查了对等四边形的定义，弧、弦、圆心角的关系，坐标与图形，勾股定理和解直角三角形，解题的关键是理解并能运用“对等四边形”这个概念．注意分类讨论思想的应用和勾股定理的应用．
45．（2023·江苏泰州·三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

【答案】【概念认识】；【数学理解】见解析；【问题解决】或
【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；
（2）作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形；
（3）连接，由（2）可得等腰，从而求出，作，根据条件证明，利用相似三角形的性质可求设，作，证明即可求出．
【详解】（1）解：由垂等四边形的定义得，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形， 如图，

以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，
以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点B、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C，
连接，四边形即为所求的垂等四边形；
（3）解：连接，由（2）可得等腰，

∴，
作，
∴，，
∵四边形是垂等四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：或3，
∴或3，
∵，
∴或，
作，
∵
∴，
∴，
∴ 或，
∴或；
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
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