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第四章 因式分解
4．1因式分解的意义
浙教版数学七年级下册《4.1因式分解的意义》是学生在掌握了整式的乘法运算和多项式相等的基础知识后，进一步学习的知识点．这一节内容主要介绍了因式分解的定义、方法和应用．教材通过具体的例子，引导学生掌握因式分解的基本技巧，并能够灵活运用到实际问题中．本节课的内容是学生后续学习二次方程及不等式等知识的基础，具有重要的意义．
学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算和多项式相等的基础知识．他们能够进行简单的整式乘法运算，但对于因式分解的概念和方法可能还比较陌生．因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子，引导学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法．
1.了解因式分解的概念和意义；
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系--相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式
分解的方法；
3.在探索过程中，体会转化、数形结合的数学思想，并养成善于思考的良好习惯.
重点：了解因式分解的概念和意义．
难点：认识因式分解与整式乘法的相互关系，会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法．
情境导入
在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整数的积，在代数中，我们也尝尝需要把一个多项式转化为几个整式的积．
复习回顾
1.你能说一说多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
2.你能说出整式乘法中的平方差公式吗？
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评．
设计意图：通过复习多项式与多项式相乘的法则及平方差公式，为引出因式分解的概念和意义做好学新知识的准备．
探究新知
活动一：探究因式分解的概念
前面我们学过整式的乘法，例如两个整式x和相乘的积是，即.根据等式的性质,可得 像这样把多项式转化为两个整式x与的积的形式，是一种重要的代数式变形．观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系
整式乘法 多项式转化为几个整式的积
=+2a+1 +2+1
一般地,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫作因式分解,有时我们也把这一过程叫分解因式.
活动二：根据要求编一道因式分解的例子
先写出两个整式相乘(其中至少一个是多项式)的例子，你能由此得到相应的多项式的因式分解吗 把结果与你的同伴交流.
解：= （不唯一）
总结：因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法，检验因式分解的正确性．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：让学生进一步体会因式分解的概念，提高学生探究创新的能力．
应用新知
例1．下列代数式变形中，哪些是因式分解？并说明理由.
(1) 2； (2)ab2-ab= ab b -2
(3) 2 (4) x2-3x+1=xx-3 +1
解： (1) 2是整式乘法，不是因式分解；
(2)ab2-ab= ab ( b -2是因式分解;
(3) 2是因式分解;
(4) x2-3x+1=x ( x-3+1结果是和的形式，不是因式分解.
例2．检验下列因式分解是否正确.
(1) x2y2 ； (2) 2；
(3) 2.
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
解： (1)因为x22，所以该因式分解正确.
(2)因为2x2，所以该因式分解不正确.
(3)因为22，所以该因式分解正确.
例3．用简便方法计算下列各题.
(1) 2； (2) 2
解： (1) 2
)
(2) 22
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，规范书写格式．
设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程，同时让学生领会因式分解的方法．
课堂练习
1．检验下列因式分解是否正确.
(1)+nm=m ( m+n ) ； (2)22；
(3) (x+2) (x 1)；　　
解： (1)因为+nm=m ( m+n ) ，所以该因式分解正确.
(2)因为22，所以该因式分解正确.
(3)因为(x2) (x + 1) ，所以该因式分解不正确.
2．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
(1) ； (2)
(3) 2 (4) 2
解：(1)不是积的形式，不是因式分解;
(2)是整式的乘法，不是因式分解;
(3)不是积的形式，不是因式分解;
(4)是因式分解.
3．把相等的代数式用线连起来.
222 2
2
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生用所学知识解决问题，加深学生对法则的应用和理解，进一步掌握解题技巧，激发学生兴趣．
课堂检测
1．下列因式分解正确的有（ ）个.
(1)2+ = (2+ ) ；(2) -2 2 + 4 =-2 (+2)；
(3) xy=x (x y)； (4) x-6=(x 2) (x 3).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： (1)因为2+= (2++1) ，所以原式错误.
(2)因为 ) ，所以原式错误.
(3)因为xy=x (x y) ，所以原式正确.
(4) x-6=(x 2) (x 3)所以原式正确.
故选B
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A. B.
C. D.
解：该变形为去括号，故A 不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B 不是因式分解；
C.符合因式分解定义，故C 是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D 不是因式分解．
故选C ．
3．下列多项式中，不能进行因式分解的是( )
B.
C. D.
解析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，进而判断得出即可.
，故此选项错误;
B. ，无法分解因式，故此选项正确;
C. ,故此选项错误;
D. ，故此选项错误; 故选: B
4.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
解：A.是单项式的变形，不是因式分解；是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解； C.左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；符合因式分解的定义，结果是整式的积， 正确；故选D .
总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．
5．下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
；
；
；
．
解：，从左到右是整式乘法运算，不是因式分解；
，从左到右是因式分解；
，从左到右变形，不符合因式分解的定义；
，从左到右是因式分解．
6．用简便方法计算下列各题，并说明你的算法.
(1) 2 ； (2) 2
分析： (1) 2可以写成，再计算即可.
2
分析：(2)22可以写成 ，再计算即可.
22
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：学生通过做题，明白运因式分解的定义，正确解答，提高学生解决问题的能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？
设计意图：在教师的引导下，学生自主归纳，使学生对所学知识及时纳入学生的认知结构．
本节课是第四章《因式分解》的第一节，是七年级数学下册一个重要的内容，也是初中阶段必考易错的知识点，同时也是教学难点，学习时节奏应该放慢一些，讲课的时候是一节课讲一种方法，先分析符合条件的形式再练习，主要是以练习为主．教学的过程是非常顺利的，我以为学生的掌握程度还好，就出了一些综合性的练习题，此时才发现效果是不太好的，他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手．
1.思想上不重视，觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，课后没有以足够的练习来巩固，忽略了学生的接受能力，也没有注意到灵活运用方面的巩固及题型的多样化．
2.在学习过程中太过于强调形式，按照教师的思路，直接教给学生解决问题的方法，忽略了学生对方法的理解．
3.为了达到理想的教学效果，本节课精心采用了合作探究学习的方式，在小组合作中，学生们相互交流、启发，教师则在一旁巧妙引导，助力学生进一步深入理解算理．通过这样的学习模式，学生应用知识的能力得到了显著提升．同时，针对应用过程中极易出现的易错点，教师进行了细致入微的辨析，让学生清晰认识到错误根源，并且严格规范学生的书写格式，使学生养成严谨的学习习惯，为后续的数学学习夯实基础．

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