资源简介

第三章 整式的乘除
3.2单项式的乘法
《单项式乘法》是浙教版初中数学七年级下册第三章第二节的内容．单项式乘法是整式乘法的重要内容，是多项式乘法的基础．它是以幂的运算性质为基础，根据乘法交换律、结合律和分配律进行计算的．进行单项式乘法运算时，首先弄清每个单项式的系数，字母及各个字母的指数，注意单项式的系数包括前面的符号，对于只在一个单项式中出现的字母不能漏掉，单项式与多项式相乘时要特别注意分配律应用时项的符号处理．
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经掌握了有理数运算、整式概念及同底数幂乘法等知识，由于学生之间存在个体差异，部分学生对系数运算，尤其含负系数或分数系数时易出错，同时，将知识运用到实际问题上有难度，难以准确分析问题列式．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．
1．经历单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的运算法则的探究过程，体会乘法结合律的作用和转化思想，会进行单项式与单项式的乘法运算．
2．通过探究单项式乘单项式，单项式与多项式相乘的运算法则，培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力．
3．通过运用单项式乘单项式，单项式与多项式相乘的运算法则，调动学生的学习积极性、主动性增强学生学习数学的自信心．
重点：单项式乘单项式和单项式乘多项式的法则及应用．
难点：转化思想及法则应用的依据．
情境导入
天安门广场位于北京市中心，呈南北向为长、东西向为宽的长方形，其面积之大在世界上屈指可数．一位旅行者想估计天安门广场的面积，他先从南走到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步．
探究新知
活动一：单项式与单项式相乘的法则
问题1：（1）如果节前语中旅行者的步长用a（m）表示，你能用含a的代数式表示广场的面积吗？假设这位旅行者的步长为0.8m，那么广场的面积大约是多少平方米？
（2）通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算？运算的依据是什么？
解：（1）旅行者的步长用a（m）表示，则广场从南到北长：1100a（m），从东到西长：625a（m），广场的面积：1100a×625a=687500a2（m2）．假设这位旅行者的步长为0.8m，那么广场的面积大约是：687500×0.82=440000（m2）．
（2）两个单项式相乘可以随意交换相乘顺序，运算的依据是乘法交换律．
问题2：怎样计算(3×105)×(5×102)？
解：(3×105)×(5×102)
=(3×5)×(105×102)
=15×107
=1.5×108
计算过程中用到哪些运算律及运算性质
乘法交换律 结合律 同底数幂的乘法
问题3：如果将上式中的数字改为字母，比如2ac5·3bc2，怎样计算这个式子？
分析：利用 乘法交换律、结合律、 同底数幂的乘法
解：2ac5·3bc2
=(2×3)(a·b)(c5×c2)
=6abc5+2
=6abc7
问题4：观察下面两个单项式相乘的计算过程:
4xy·5x2 y=(4×5)(x·x2)(y·y)=20x3y2
( 3mn2)·( 2m2)=[( 3)×( 2)](m·m2)n2=6m3n2
请思考下面的问题:
（1）积的系数是怎样确定的？系数相乘
（2）积的字母与字母的指数是怎样确定的？相同字母的幂相乘
一般地，单项式与单项式相乘有以下的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
注意：（1）系数相乘；
（2）同底数幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过情景建立模型，数与数相乘，同底数幂相乘，让学生在观察、讨论、概括中总结出单项式与单项式相乘这一运算的本质特征，并组织语言归纳．
活动二：单项式与多项式相乘的法则
一幅画的尺寸如图 ．
（1）用两种不同的方法表示这幅画的面积．
（2）用这两种方法表示的面积应当相等你能用运算律加以解释吗？
（3）通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？
请举例验证你总结的规律是否成立．
(请与你的同伴交流)
解：（1）S=a（b-2m） S=ab-2am
a（b-2m）= ab-2am
运用了乘法分配律
（3）20a·（14a+0.5）
=20a·14a+20a·0.5
=280a2+10a
一般地，单项式与多项式相乘有以下的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．例如，a(b-2m)=ab-2am
注意:（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同；
（3）计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：用计算出的面积直观展示，让学生感悟单项式乘多项式可以转化成单项式乘多项式中的每一项再相加，学会转化思想，培养学生独立思考的能力．
应用新知
例1．计算：
（1）3b3×b2；
（2）( 6ay3)( a2)
（3）( 3x)3·(5x2y)
（4）(2×104)(6×103)×107 (结果用科学计数法表示)．
解：（1）3b3×b2=（3×）（b3×b2）=b 5
（2）( 6ay3)( a2)=[( 6)×( 1)](a·a2)·y3=6a3y3
（3）( 3x)3·(5x2y)=( 27x3)·(5x2y)=-135x5y
（4）(2×104)(6×103)×107=（2×6）（104×103×107）=12×1014=1.2×1015
方法总结：
单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法
例2．下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来．
（1）2x2·3x3=5x5 （2）4a3·a4=4a12
（3）2x·5x2=10x2 （4）6a4·2a2=12a2
解：（1）不正确，应为:2x2·3x3=(2×3)(x2·x3)=6x5
（2）不正确，应为：4a3·a4=4a7
（3）不正确，应为:2x·5x2=(2×5)(x·x2)=10x3
（4）不正确，应为:6a4·2a2=(6×2)(a4·a2)=12a6
例3．（1）2a3b(ab 3ab2) （2）(x xy)·( 12y)
解：（1）2a3b(ab 3ab2)=2a3b·ab+2a3b·( 3ab2) =a3b2 6a3b3
（2）(x xy)·( 12y)=x·( 12y)+( xy)·( 12y)= 4xy+9xy2
方法总结：
单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘
例4．计算:
（1）2x·(3x2y+4xy2) （2） ( 2mn)2·(2m+3n 1)
解：（1）2x·(3x2y+4xy2)=2x·3x2y+2x·4xy2=6x3y+8x2y2
（2）( 2mn)2·(2m+3n 1)=4m2n2·(2m+3n 1)=4m2n2·2m+4m2n2·3n 4m2n2=8m3n2+12m2n3 4m2n2
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：学生通过做题形成程序化记忆，明白运算的顺序，正确解答，提高学生解决问题的能力．
课堂练习
1．计算：
（1） 3a·(2b)
（2）1.5x2·( 2x3)
（3）( st2)·( s2t)
（4）( 2a)3·2ab2
解：（1） 3a·(2b)=（ 3×2）ab= 6ab
（2）1.5x2·( 2x3)=[1.5×( 2)]×(x2·x3)= 3x5
（3）( st2)·( s2t)=[( )×( )]×(st2)·(s2t)=s3t3
（4）( 2a)3·2ab2=（ 23×2）×a3·ab2= 24a4b2
2．1cm3干洁空气中大约有2.5×1019cm3个分子，6×103干洁空气中大约有多少个分子？
解：2.5×1019×6×103
=15×1022
=1.5×1023（个）
答：6×103cm3干洁空气中大约有1.5×1023个分子．
3．计算：
（1） 2（a b+c) （2）(x 3y)·( 6x)
（3） 3a2(5a2 a) （4）4xy(x2 3xy y2)
解：（1） 2（a b+c)= 2a+2b 2c
（2）(x 3y)·( 6x)=x×( 6x) 3y×( 6x)= 6x2+18xy
（3） 3a2(5a2 a)= 3a2×5a2 ( 3a2)×a= 15a4+a3
（4）4xy(x2 3xy y2)=4xy×x2 4xy×3xy 4xy×y2=x3y 12x2y2 xy3
师生活动：学生独立解决问题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：使学生熟练运用单项式的乘法法则，进一步学生掌握解题技巧，激发学生兴趣．
课堂检测
1．计算：
（1）4y·( 2xy2)
（2）( x2)·( 4x)
（3）(3m2)·( 2m3)2
（4）( ab2c3)2·( a2b)3
解：（1）4y·( 2xy2)=4×（ 2）×y·xy2= 8xy3
（2）( x2)·( 4x)=（ ）×（ 4）×x2·x=10x3
（3）(3m2)·( 2m3)2=(3m2)·(4m6)=3×4×m2·m6 =12m8
（4）( ab2c3)2·( a2b)3=a2b4c6·( a6b3)= a8b7c6
2．计算：
（1） 5x(xy 2y2)
（2）(3a2b 2ab2)·3ab
解：（1） 5x(xy 2y2)=（ 5x)×xy （ 5x)×2y2= 5x2y+10xy2
（2）(3a2b 2ab2)·3ab=3a2b×3ab 2ab2×3ab=9a3b2 6a2b3
3．计算：
（1）2x2( 3xy2) x(x2y2 2x)
（2） 2(1 x) 4x(2 )
解：（1）2x2( 3xy2) x(x2y2 2x)= 6x3y2 x3y2+2x2= 7x3y2+2x2
（2） 2(1 x) 4x(2 )= 2+3x 8x+x2=+x2 5x 2
4．已知xy2=-6，求代数式-xy(x2y5-xy3-y)的值．
解：-xy(x2y5-xy3-y)=-xy×x2y5+(-xy)×(-xy3)+(-xy)×(-y)
=-x3y6+x2y4+xy2
=-(xy2)3+(xy2)2+xy2
因为xy2=-6，所以原式=-(-6)3+(-6)2+(-6)=216+36-6=246．
5．人类发射最多的宇宙飞船是卫星式载人飞船，这种飞船像卫星一样在离地面几百千米的近地轨道上飞行．如果卫星式载人飞船的飞行速度大约是7.9×103米/秒(物体能环绕地球最低运行轨道运动所需要的速度，称为第一宇宙速度)，那么它飞行6×102秒所行的路程是多少？
解：7.9×103×6×102=47．4×105=4.74×106（米）．
答：它飞行6×102秒所行的路程是4.74×106米．
6．如图，一张长方形纸片的长为a，宽为b(a>b)．若要从中裁得一张边长为b的正方形纸片，则裁去部分的面积是多少？
解：由题意可得，裁去部分的面积是：（a b)b=ab b2．
7．一家农户有农业和非农业两类收入．今年农业收入为x元，非农业收入为农业收入的2倍．预计明年农业收入将增加a%，非农业收入将增加2a%，那么预计明年的总收入为多少元？
解：根据题意，得:今年的非农业收入为2x元，明年的农业收入为x(1+a%)元，明年的非农业收入为 2x(1+2a%)元，故明年的总收入为x(1+a%)+2x(1+2a%)=(3x+5xa%)元．
答:预计明年的总收入为(3x+5xa%)元．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：检测学生对单项式乘法知识的掌握情况，运算能力、应用能力和思维水平．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．单项式与单项式相乘的运算法则？
3．单项式与多项式相乘的运算法则？
设计意图：在教师的引导下，学生自主归纳，使学生对所学知识及时纳入学生的认知结构．
实践作业
光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
本节课是第三章“整式的乘除”的第二节《单项式乘法》的内容，在教学中，通过具体实例逐步引导，学生能较好地掌握系数相乘、同底数幂相乘的基本运算方法．而且，多样化的例题设置，从简单到复杂，有效巩固了学生对法则的运用．但教学中也存在不足，部分学生在处理系数的正负以及多个字母幂的运算时，容易出现错误，反映出对法则的理解还不够深入，后续我会加强对易错点的专项练习，增加个别辅导．

展开更多......

收起↑