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第三章 整式的乘除
3.7整式的除法
《整式的除法》是浙教版初中数学七年级下册第三章第七节的内容.本节课的学习内容为掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，并能够综合运用所学知识解决实际问题.整式的除法在整式的运算中的地位和作用是很重要的，是对代数式运算的深化，也为后续分式、方程等知识学习铺就道路.教材编排遵循从特殊到一般、由浅入深的规律，借助实例引导学生自主推导法则，同时结合实际问题，强化知识应用，提升学生解决问题的能力.
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，对幂运算规则有基本认知，能借助同底数幂除法法则推导，然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生主动探究意识薄弱，面对复杂运算容易产生畏难情绪，需要教师在教学中给予更多引导与鼓励.
1.理解和掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则．
2.熟练、准确地进行计算各种类型的单项式除以单项式算式和多项式除以单项式算式．
3.理解除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
4.经历探索整式除法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力.
重点：引导学生归纳总结出单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则.
难点：熟练运用这些法则进行有关计算.
情景导入
2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接.如果中国空间站组合体环绕地球飞行一周所需的时间为5.5×103秒，行程为4.22×107米，那么它的速度为每秒多少米？
速度=米/秒.
师生活动：老师提出问题，学生根据所学知识回答.
设计意图：从实际问题引入同底数幂的除法运算，激发学生兴趣.
探究新知
活动一：探究单项式除以单项式
问题1：解决节前语中的问题时，你是怎样计算的？由此你能找到计算(3a8)÷(2a4)的方法吗？计算(6a3b4)÷(3a2b)呢？
方法一：
理解:
①分数线相当于除号；
②除以一个数等于乘以这个数的倒数.
可以尝试用约分的方法进行计算——分数的分子分母同时除以一个相同（不为0）的数，分数值不变.
方法二：
提示：利用同底数幂除法，把数字和每种字母分类计算.
思考交流：如何进行单项式除以单项式的运算？
规律：
（1）商的系数=被除式的系数÷除式的系数；
（2）相同字母：按同底数幂的除法计算；
（3）只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
商式=系数·同底的幂·被除式里单独有的幂
例如：
师生活动：学生组内交流，合作解决，教师引导学生归纳法则.
设计意图：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神.
活动二：探究多项式除以单项式
问题2：先填空，再用适当的方法验证计算的正确性.
（1）(625+125+50)÷25=( )÷( )+( )÷( )+( )÷( )=____；
（2）(4a+6)÷2=( )÷2+( )÷2=____；
（3）(2a-a)÷(-2a)=( )÷(-2a)+( )÷(-2a)=_____.
从上述第（2），（3）题的计算中，你能归纳出多项式除以单项式的运算方法吗？
计算:
注意：计算时先判断符号的正负.
运用多项式除以单项式法则时应注意什么？
1.在用多项式的每一项除以单项式时，注意每一项都要带着前面的符号.
2.所得商的项数应和多项式的项数保持一致.
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
例如：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0).
师生活动：通过老师提出层层递进的问题，同学之间交流合作，让学生从不同的角度，尝试探究出多项式除以单项式的运算法则．
设计意图：学生在探索多项式除以单项式运算法则的过程中，让学生自主探索法则，锻炼思维，提升知识运用能力.
应用新知
例1.计算（1） （2） （3）
解：（1）
解：（2）
解： （3）
例2.计算：（1） （2）
解：（1）
（2）
例3.解：（1）
解：（2）
解：（3）xy=3xy)-()3xy)=3x-2y
例4.根据多项式除以单项式法则，请你说一说下面计算正确吗？说出你的理由！
答：计算不对，有两个错误：
①丢项，被除式有三项，商式只有二项，丢了最后一项1；
②符号上错误，商式第二项的符号.
正确：
例5.解：（1）
解：（2）
师生活动：学生先独立解决问题.然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导.
设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程，同时让学生领会单项式
除以单项式和多项式除以单项式法则的运用方法以及需注意的问题.
课堂练习
1.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
2.填空：
（1）a
解：a=-3
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
3.下列计算错在哪里？应怎样改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
4.一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm).某种油漆每千克可漆面积为a()，问:漆这个模型需要油漆多少千克？
解：长方体的表面积为：
（cm2）
（千克）
答：漆这个模型需要油漆104a千克.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升.
设计意图：通过分层题型覆盖法则应用，结合典型题强化运算能力，提升学生熟练度，同时暴露易错点进行针对性指导.
课堂检测
1.计算：
（1） （2）
解：（1）
（2）
2.填空
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
3.计算：
（1） （2）
解：（1）
（2）
4. 先化简，再求值：
，其中m=2，n=-2.
解：
代入m=2，n=-2，
原式=2×2-3×.
5.我们所处的银河系是一个庞大的星系.据科学家探测，银河系的直径约为97800光年.如果火箭的速度为9×103米/秒，那么火箭从银河系直径的一端飞到另一端，大的需要多少年(精确到108位)？
解：银河系的直径约为97800光年，1光年等于光在一年中走的距离，即米/秒×365×24×60 ×60秒，银河系的直径约为米，火箭从银河系直径的一端飞到另一端需要时间为：（年）.
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：通过检测反馈学习效果，发现问题并针对性辅导，巩固整式除法运算能力.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.单项式除以单项式的运算法则？
3.多项式除以单项式的运算法则？
设计意图：在教师的引导下，学生自主归纳，提炼数学思想，培养学生善思乐学的学习习惯.
实践作业
聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1.你能说明其中的道理吗？
本节课是第三章“整式的乘除”的第七节《整式的除法》的内容，在教学时注重知识的衔接与迁移，依托学生已有的同底数幂乘法基础，引导他们类比推导运算法则.比如推导单项式除以单项式法则，学生凭借对同底数幂乘法指数运算的理解，快速掌握相除时指数的变化规则，让新知识的学习水到渠成，强化了知识间的联系；在探究多项式除以单项式方法时，小组讨论热烈，不同思维相互碰撞，学生不仅深化了对法则的理解，合作交流和表达能力也得到锻炼，课堂氛围活跃且高效；教学全程强调思维与方法渗透，借助乘除互逆关系，巧妙将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，培养学生转化思想，提升其思维灵活性与逻辑性，为今后解决复杂数学问题筑牢根基.

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